2026年高考数学复习讲练测专题01 集合、常用逻辑用语、复数（题型专练）（解析版）

专题01集合、常用逻辑用语、复数

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

【选填题破译】

题型01元素与集合的关系

题型02集合的包含关系求参数

题型03集合的混合运算

题型04集合中的创新问题

题型05充分条件、必要条件

题型06全称量词命题、存在量词命题

题型07复数

【解答题破译】

题型01集合的新定义

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01元素与集合的关系

【例1-1】设M{1,2,,1995}，A是M的子集，且满足条件：当xA时，15xA，则A中元素个数的最大

值为（）

A．1862B．1866C．1868D．1870

【答案】D

1995133

【分析】易知x与15x只能有一个是集合A的元素，根据133、813可得集合A中的元素最多

1515

时有186281870个.

【详解】由题意知xA，15xA，

1995

由133，知当集合A中的元素最多时，

15

{134,135,,1995}A，共19951331862个；

133

又813，所以当集合A中的元素最多时，

15

{1,2,,8}A，共8个，

综上，集合A中的元素最多为186281870个.

故选：D

x

【例1-2】定义XYzzxy,xX,yY，已知A0,2,B1,2,C2028，则集合ABC

y

中所有元素乘积为．

【答案】0

【分析】根据定义得到0ABC，所以所有元素乘积为0.

【详解】因为A0,2,B1,2，所以AB0,4,5，

0

又020280，所以0ABC，

2028

所以集合ABC中所有元素乘积为0，

故答案为：0

求集合交、并、补集的2种方法：

（1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的

结果．

（2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，

应用“空心点”表示．

【变式1-1】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，集合Cx,y|yx，集合

2xy1

Dx,y|，则下列关系正确的是（）

x4y5

A．DCB．DC

C．CDD．CD

【答案】B

【分析】先求出集合D中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可.

2xy1

【详解】因为集合Dx,y|1,1，集合Cx,y|yx，

x4y5

因为是元素与集合之间的关系，而D,C均为点集，所以A错误；

因为集合Cx,y|yx包含1,1，所以B正确，C,D错误.

故选：B.

2n

【变式1-2】（25-26高三上·江苏常州·期中）已知集合Ax∣x25x40Bn是质数，nN，

n1

则AB（）

A．B．{2}C．{3}D．2，3

【答案】C

2n22n

【分析】通过解不等式先求出集合A，变形2，分析出要使nN,n1是质数，而n1必

n1n1n1

须是2的正因数，将n11和n12分别代入验证，即可求出集合B，再求AB即可得解.

【详解】由x25x4x1x40，解得1x4，故Ax1x4.

2n2n122

因为2nN,n1，

n1n1n1

2n2

要使是质数，必须是整数，而n1必须是2的正因数.

n1n1

因为2的正因数有1和2，

2n22

所以当n11时，n2，此时4，4不是质数，不符合要求，舍去；

n121

2n23

所以当n12时，n3，此时3，3是质数，符合要求，故B3.

n131

所以AB3.

故选：C

【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知集合M满足M{1,2,,2025}，且当kM时，25kM，则M中

元素的个数至多为.

【答案】1947

【分析】根据集合中元素的关系，得出所有元素的取值可能，得出相应的元素个数.

【详解】易知20252581，k与25k不能同在M中，其中k4，5，，81，

又25381244，所以M中元素的个数不大于2025(8141)1947；

另一方面，设S{1,2,3}，T{82,83,,2025}，

取MST，此时M中恰有1947个元素，满足要求.

故答案为：1947

题型02集合的包含关系求参数

2

【例2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合A4,x,2y,B2,x,1y，若AB，则实数x的取

值集合为（）

A．1,0,2B．2,2

C．1,0,2D．2,1,2

【答案】B

【分析】根据AB，可得2A，再分x2和2y2两种情况讨论即可.

【详解】因为AB，所以2A，

1

当x2时，则x24，所以2y1y，得y，

3

2

此时AB4,2,；

3

当2y2时，则y1，所以1y2，所以2A，所以x2，则x24，

此时AB4,2,2，

综上所述，实数x的取值集合为2,2.

故选：B.

x2x3x

【例2-2】（25-26高三上·上海·期中）已知集合MxN|1x16，Ax,x,xM，若123Z，

1233

则满足条件的集合A个数为（）

A．408B．409C．410D．411

【答案】C

【分析】由题意得x1,x2除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可.

x2x3x

【详解】MxN|1x16，Ax,x,xM且123Z

1233

x2x3x

123Z,x2x能被3整除，∴x,x除以3的余数相同，

31212

Mx|1x16,xN{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},

集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}的元素中，

能被3整除的整数有3,6,9,12,15，

被3除余1的整数有1,4,7,10,13,16，

被3除余2的整数有2,5,8,11,14，

当x1,x2都被3整除时，则x1,x2,x3从被3整除的5个数中选取3个，

或x1,x2可从被3整除的5个数中选取2个，x3从其余11个数中选择，

32

∴A的个数为C5C511120，

当x1,x2被3除余1时，则x1,x2,x3从被3除余1的6个数中选取3个，

或x1,x2可从被3除余1的6个数中选取2个，x3从其余10个数中选择，

32

∴A的个数为C6C610170，

当x1,x2被3除余2时，则x1,x2,x3从被3除余2的5个数中选取3个，或x1,x2可从被3除余2的5个数中

选取2个，x3从其余11个数中选择，

32

∴A的个数为C5C511120，

∴满足条件的集合A共有120170120410个．

故选：C.

根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做

到不漏解.

①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互

异性.

②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点

值能否取到

2

【变式2-1】已知集合Pxx1，Qxax1，若PQQ,则a的值是（）

A．1B．1C．1或1D．0,1或1

【答案】D

【分析】由a0和a0分类讨论即可求解.

【详解】由PQQ得QP,

又Pxx211,1，

当a0时，Qxax1，符合题意，

1

当a0时，Qxax1，

a

11

则1或1，解得a1或a1，

aa

所以a的值是0,1或1，

故选：D

【变式2-2】（2025高三上·湖北·专题练习）已知集合Ax|2x10，Bx|1mx1m.若

ð，

BRA则实数m的取值范围为（）

A．m3B．m9C．m3或m9D．3m9

【答案】A

ð

【分析】首先确定集合A的补集，然后根据BRA求出m的范围.

【详解】因为集合Ax|2x10，

ð

所以RA,210,.

ð

因为集合Bx|1mx1m，BRA，

当B不为空集时，

1m2

所以1m10，解得0m3.

1m1m

当B为空集时，1m1m，解得m0.

综上，m的取值范围为m3.

故选：A

【变式2-3】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数fxx2mx2mn（m,nR），若非空集合

Axfx0，Bxffx24且AB，则下列说法中正确的是（）

A．n的取值与m有关B．n为定值

C．0m2D．0m22

【答案】B

【分析】先通过换元将集合B转化为关于fx的不等式，再利用AB建立方程和不等式，解得n的值和m

的范围，最后判断各项正误.

【详解】令fx2,

则不等式ffx24化为f4，

设f4的解集为a,b，

即a＃mb，af(x)2b，

即a-2＃f(x)b-2，

所以Bxffx24xa2f(x)b2，

又Axfx0，且AB，

所以，且，

b20fxmina2

故，且，

b2fxmina2

则fbf(2)42m2mn4，

解得n0，

故A错误，B正确；

故fxx2mx2m，

因为集合A非空，

则fxx2mx2m0有解，

则m28m0，

解得m0或m8；

因为a,b是方程fx4的两个根，

即a,2是方程x2+mx-2m-4=0的两根，

则a22m4,am2，

mm28m

故fxfm4,

min24

解得-2-25＃m25-2，

故0m252，

故C错误，D错误.

故选：B.

题型03集合的混合运算

x1

【例3-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知集合M∣x2，Nx∣logx1，则MN（）

22

1

A．x∣x2B．x∣1x2

2

1

C．x∣0x2D．x∣0x

2

【答案】C

【分析】利用指数、对数不等式求解出集合M，N，再利用交集的定义求解即可.

x1∣∣∣

【详解】Mx2xx1,Nxlog2x1{x0x2}，所以MN{x∣0x2}，

2

故选：C.

x3ð

【例3-2】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合Ax0，Bx3p2x2p1，BRA，

x2

则p的取值范围是（）

111313

A．,B．,C．,D．,

333232

【答案】A

ð

【分析】解分式不等式得到集合A，从而得到RA.讨论集合B是否为空集，得到不等式（组）解得p的取

值范围.

x3x3x20

【详解】令0，则，所以x3或x2，

x2x20

ð

即Axx3或x2，可得RAx3x2，

ð

而BRA，分如下情况讨论，

①B，即3p22p1，则p1，

1

②B，则33p22p12，则p1，

3

11

∴p，即p,.

33

故选：A.

集合的运算求参数的方法

（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.

（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.

［注意］在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.

∣痧

【变式3-1】（25-26高三上·北京·月考）已知集合A{xxa},B1,3．若RARB，则a的取值范围为

（）

A．(,1]B．(,3]C．[1,)D．[3,)

【答案】A

痧

【分析】根据RARB得到BA，再根据BA得到a的取值范围.

痧

【详解】由RARB可得，BA，则a1，

故选：A.

【变式3-2】（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合AU,BU，若

痧

AB1,3，UAB2,6,7,AUB5，则下列说法正确的是（）

A．A1,3,5

B．AB1,2,3,4,5,6,7

痧

C．UAUB4,8

痧

D．UAUB2,5,6,7,8

【答案】AC

【分析】利用集合的运算法则求得集合A,B，再验证各个选项.

【详解】利用集合的运算法则得：

ð

A(AB)(A(UB)){1,3}{5}{1,3,5}，

ð

B(AB)((UA)B){1,3}{2,6,7}{1,2,3,6,7}.

对于A：A{1,3,5}，故正确；

对于B：AB{1,3,5}{1,2,3,6,7}{1,2,3,5,6,7}，故错误；

痧

对于C：(UA)(UB){2,4,6,7,8}{4,5,8}{4,8}，故正确；

痧

对于D：(UA)(UB){2,4,6,7,8}{4,5,8}{2,4,5,6,7,8}，故错误.

故选：AC

【变式】设全集，AxN*y22x，Bxa21x10，若ðBAU，则实数

3-3URUa

的所有取值构成的集合为；

【答案】1,2

【分析】先求出A1，分B和B1两种情况，得到相应的方程，求出答案.

【详解】由题意得22x0，解得x1，又xN*，故A1，

2ð2

a1x1，若B，满足UBAU，此时a10，即a1；

ð2

若B1，也满足UBAU，此时a11，解得a2；

故实数a的所有取值构成的集合为1,2.

故答案为：1,2

题型04集合中的创新问题

【例4-1】设集合Ax1,x2,x3,x4,x5xi1,0,1,i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件

“x1x2x3x4x51”的元素个数为（）

A．15B．35C．40D．45

【答案】D

【分析】设x1,x2,x3,x4,x5中，有k个1，m个1，则可得km1，再分k1、k2及k3进行讨论即可

得.

【详解】设x1,x2,x3,x4,x5中，有k个1，m个1，则有5km个0，

则需k1m15km01，解得km1，

1

则当k1时，m0，x1,x2,x3,x4,x5共有C55种情况；

21

则当k2时，m1，x1,x2,x3,x4,x5共有C5C330种情况；

3

则当k3时，m2，x1,x2,x3,x4,x5共有C510种情况；

故共有5301045种情况，

即集合A中满足条件“x1x2x3x4x51”的元素个数为45.

故选：D.

【例4-2】不等式|sinxtanx|a的解集为N，不等式|sinx||tanx|a的解集为M，则解集M与N的关系是

()

A．NMB．MNC．M=ND．MN

【答案】B

【分析】由题意及绝对值的三角不等式知|sinxtanx||sinx||tanx|，即可得M,N间的关系．

【详解】由于不等式|sinxtanx|a的解集为N，不等式|sinx||tanx|a的解集为M，

由绝对值三角不等式知：|sinxtanx||sinx||tanx|，

所以MN.

故选：B

解决以集合为背景的新定义问题的关键点

（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求

进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关

性质求解.

【变式4-1】（25-26高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组M:m1,m2,m3，

有序数组N:n1,n2,n3，定义“间距置换”：n1m1m2，n2m2m3，n3m3m1.已知有序数组T:x,y,z，

经过一次“间距置换”后得到新的有序数组S:a,3,bab，且S中所有数之和为2026，则a（）

A．1004B．1007C．1010D．1013

【答案】C

【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数.

【详解】由“间距置换”定义，得axy，3yz，bzx.

由a3b2026，得ab2023.

因ab且yz30，故xyz或xyz.

若xyz，则axy，3yz，bxz，

于是a3b2xz2026，

得xz1013，即b1013，故a202310131010.

若xyz，同理可得a1010.

综上所述，a的值为1010.

故选：C.

k

【变式4-2】（25-26高三上·上海·期中）已知集合Ak{1,2,3,,2}，非空集合PAk，且满足:对任意aP，

均存在bP，使ab2k.记符合要求的P的个数为gk.则对于正整数m，g(2m1).

【答案】2m11

【分析】根据条件，分析可得当k2m1时，满足要求的元素个数，可得(a,b)的个数，根据组合数的性质，

即可求得答案.

kn

【详解】因为ab2，所以P中元素是Ak中满足2且n0,1,k的元素，

2m1

对于g(2m1)，则A2m1{1,2,3,,2}，

所以满足要求的元素有1,2,,2m,2m1,,22m1，共有2m2个元素，

所以(a,b)在不考虑a,b顺序的情况下，共有m1对，

12m1m1

故g(2m1)Cm1Cm1+Cm121.

故答案为：2m11

【变式4-3】若集合A1,A2满足A1A2A，则称A1,A2为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1A2时，

A1,A2与A2,A1为同一种分拆，则集合A0,1,2的不同分拆种数为（）

A．8B．16C．20D．27

【答案】D

【分析】按照A1分类列举出所有的分拆，即得答案.

【详解】若A1，则A20,1,2；

，

若A10则A21,2或A20,1,2；

若A11，则A20,2或A20,1,2；

若A12，则A21,0或A20,1,2；

若A10,1，则A22或A20,2或A21,2或A20,1,2；

若A10,2，则A21或A20,1或A21,2或A20,1,2；

若A11,2，则A20或A20,1或A20,2或A20,1,2；

，

若A10,1,2则A2或A20或A21或A22或A20,1，或A20,2或A21,2或

A20,1,2；

所以集合A0,1,2的不同分拆种数为27.

故选：D

题型05充分条件、必要条件

【例5-1】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知向量ax2,x，bx,1，则（）

A．“x3”是“ab”的必要条件B．“x3”是“a//b”的必要条件

C．“x0”是“ab”的充分条件D．“x2”是“a//b”的充分条件

【答案】C

【分析】结合向量垂直和平行的条件，对各选项中的命题进行充分性或必要性判断．

2

【详解】若ab，则abxx2x1x3x0，解得x0或x3，

x3ab,但由ab推不出x3，x3是ab的充分条件，故A错误；

同理x0ab,但由ab推不出x0，x0是ab的充分条件，故C正确；

22

若a//b，则x21xxx20，解得x2或x1，

即a//b等价于x2或x1，与x3无关，

“x3”不是“a//b”的必要条件，故B错误；

当x2时，a0,2，b2,1，由012240，故得不出a//b，

“x2”不是“a//b”的充分条件，故D错误．

故选：C．

【例5-2】（2026高三·全国·专题练习）已知p:log3x3，q:xa2，若p是q的必要不充分条件，则实

数a的取值范围是．

【答案】2,25

【分析】先求出p，q，由题设可得pq，qp，进而得到xa2xa2是x0x27的真子

集，根据包含关系求解即可.

【详解】由p:log3x3log327，则0x27，

由q:xa2，则2xa2，即a2xa2，

因为p是q的必要不充分条件，所以pq，qp，

则xa2xa2是x0x27的真子集，

a20

则，等号不能同时成立，解得2a25，

a227

所以实数a的取值范围是2,25.

故答案为：2,25.

充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的

不等式（组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够

取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.

1ix1iy

【变式5-1】（25-26高三上·河北沧州·期中）已知x,yR,i为虚数单位，则“xy”是“”

i

为纯虚数的（）

A．必要不充分条件B．充要条件

C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】A

1ix1iyxy0

【分析】利用复数的除法运算先求，利用纯虚数得，进而求解.

ixy0

1ix1iyxyixy

【详解】由xyxyi为纯虚数，

ii

xy0

得，即xy0，

xy0

1ix1iy

所以“xy”是“”为纯虚数的必要不充分条件，

i

故选：A.

【变式5-2】（25-26高三上·江苏南通·期中）设函数f(x)的定义域为R，对于任意的x1，x2，且x1x2，则

f(x)f(x)

“121”是“f(x)是增函数”的（）

x1x2

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合函数单调性的定义，即可判断选项.

f(x)f(x)f(x)f(x)

1212

【详解】若1，则0，则当x1x2时，fx1fx2，所以fx单调递增，

x1x2x1x2

f(x)f(x)

12

反过来，若函数fx单调递增，则当x1x2时，fx1fx2，即0，但不能推出

x1x2

f(x)f(x)

121，

x1x2

f(x)f(x)

所以“121”是“f(x)是增函数”的充分不必要条件.

x1x2

故选：B

【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知A、B为两个随机事件，1PA，PB0，则“A、B相互

独立”是“PA|BPA|B”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】要判断“A、B相互独立”与“PA|BPA|B”的条件关系，需从充分性和必要性两方面，利用条

件概率公式及事件独立性定义进行推导即可.

PABPAB

【详解】由题意，PA|B，PA|B，

PBPB

若A、B相互独立，则A、B相互独立，A、B相互独立，

PABPAPBPABPAPB

所以PA|BPA，PA|BPA，

PBPBPBPB

所以PA|BPA|B，故充分性成立；

PABPAB

若PA|BPA|B，即，

PBPB

则PABPBPABPB，

即PAB1PBPAPABPB，故PABPAPB，

即A、B相互独立，故A、B相互独立，故必要性成立，

故“A、B相互独立”是“PA|BPA|B”的充分必要条件．

故选：C

题型06全称量词命题、存在量词命题

【例6-1】若“xR,ax23ax90”是假命题，则a的取值范围为（）

A．0,4B．0,4C．0,4D．4,

【答案】B

【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可.

【详解】xR,ax23ax90是假命题，那么它的否定xR,ax23ax90是真命题，

当a0时，90恒成立；

2

当a0时，对任意xR，ax23ax90恒成立，则开口向上且判别式3a4a90，即

9a236a9aa40，解得0a4，

综上所述，a的取值范围为0a4.

故选：B.

【例6-2】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）若“x0,2，2x12xm0”为假命题，则m的取值范围

为.

9

【答案】,

4

【分析】先求出原命题为真命题的时候m的范围，再取其补集即可.

【详解】假设若“x0,2，2x12xm0”为真命题，则m2x12x，

t1

令t2x，不等式即为m，当x0,2时，t1,4，

2t

t1

由对勾函数单调性可知，函数ft在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，

2t

39

故其最大值在端点处取得，比较f(1)与f(4)，

24

99

可知ftf4，则m，

max44

9

所以若“x0,2，2x12xm0”为假命题，则m的取值范围为,.

4

9

故答案为：,

4

根据命题的真假求参数的值（范围）的思路

与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类

问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式（组），

再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.

π142

【变式6-1】（2025·安徽·模拟预测）若“0,,m1恒成立”为真命题，则实数m的

2sin2cos2

取值范围是.

【答案】22,22

【分析】转化为最值问题，利用“1”的代换求最值求解.

π14214π

【详解】因为0,,m1，令f,0,，

2sin2cos2sin2cos22

则m21f，

min

22

14sin2cos24sincoscos24sin2

f14

sin2cos2sin2cos2sin2cos2

5249，

cos24sin22

当且仅当，即tan时取等号，

sin2cos22

所以m219，解得22m22，

即实数m的取值范围是22,22.

故答案为：22,22.

【变式6-2】若命题“p:a1,3，使ax2a2x20”为真命题，实数x的取值范围为.

2

【答案】{x|x2或x}

3

【分析】把ax2a2x2看作是a的函数，讨论该函数的单调性，求得该函数的最小值.令最小值大于零，

即可得到实数x的取值范围.

【详解】若命题“p:a1,3，使ax2a2x20”为真命题，

则命题：“a1,3，使x2xa2x20”为真命题，

即命题：“a1,3，使x2xa2x2的最小值大于零”为真命题.

令fax2xa2x2，a1,3.

当x2x0，即xx10，即x1，或x0时，fa是增函数，

所以当a1时，fa取得最小值，最小值为x23x2.

由x23x20，得x2,或x1.所以x2,或x0.

当x2x0，得x1或x0，

若x1，则fa0，不满足题意；若x0，则fa20满足题意，所以x0.

当x2x0，即1x0，fa是减函数，

所以当a3时，fa取得最小值，最小值为3x25x2.

22

由3x25x20，得x1,或x.所以x0.

33

2

综上所述：实数x的取值范围为{x|x2,或x}.

3

2

故答案为：{x|x2,或x}.

3

方法二：命题“p:a1,3，使ax2a2x20”为真命题.

2

2a2a2

令gxaxa2x2，则方程gx0的实数根为x.

2a

因为a1,3，所以函数ygx的图象开口向上.

a22a2a22a

所以当a1,2时，x，或x1.

2aa2a

2

因为此时的最小值为-2，所以x2，或x1.

a

a2a2a2a22

当a2,3时，x1，或x.

2a2aa

222

因为此时的最大值为，所以x1，或x.

a33

2

综上所述：实数x的取值范围为{x|x2,或x}.

3

2

故答案为：{x|x2,或x}.

3

【变式6-3】命题p:xR,x22xm0，命题q:xR,x2mx10若命题p､q一真一假，则实数m的

取值范围为.

【答案】(,2](1,2)

【分析】根据题意，分别求得命题p和q为真命题时，实数m的取值范围，分类讨论，即可求解.

【详解】若命题p:xR,x22xm0为真命题，

即方程x22xm0在xR上有解，则满足(2)24m0，解得m≤1，

若命题q:xR,x2mx10为真命题，

即不等式x2mx10在xR上恒成立，则满足(m)240，解得2m2，

当命题p为真命题且q为假命题时，则满足m2；

当命题p为假命题且q为真命题时，则满足1m2；

所以命题p､q一真一假时，可得m2或1m2

所以实数m的取值范围为(,2](1,2).

故答案为：(,2](1,2).

题型07复数

【例7-1】（25-26高三上·江苏南通·期中）已知复数z满足1iz12i，则z（）

1055

A．B．C．D．5

222

【答案】A

【分析】应用复数的除法及乘法运算，再结合复数的模长公式计算求解.

12i12i1i1i2i2i213i13

【详解】因为复数z满足1iz12i，所以zi，

1i1i1i2222

22

1310

则zz.

222

故选：A.

【例7-2】（2026高三·全国·专题练习）已知i为虚数单位，且z2i1，则z的最大值是．

【答案】3

【分析】设zabia,bR，利用模的几何意义求解即可.

【详解】设zabia,bR，由z2i1的几何意义知，

2

z对应的点a,b的轨迹是以0,2为圆心，1为半径的圆，即a2b21，

因为z的几何意义为点a,b到坐标原点0,0的距离，

所以22.

zmax002013

故答案为：3.

复数代数形式运算的策略

【变式7-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）已知复数z1a2i，z213ai，其中aR，则（）

z1

A．存在a，使得z1z2B．存在a，使得R

z2

C．存在a，使得z1z2RD．存在a，使得z1z21

【答案】AB

【分析】对于A选项：先利用复数的模长公式，分别求出z1和z2，令模长相等，解方程即可；对于B选

zz

项：先利用复数的除法公式求得1，1R即虚部为零，最后解方程即可；对于C选项：先利用复数的乘

z2z2

法公式求得z1z2，z1z2R即虚部为零，最后判断出方程无解；对于D选项：由z2得z2，再计算z1z21，

最后解方程即可.

【详解】对于选项：由题意得2，2，

Az1a4z219a

226

由z1z2，得a419a，解得a，故存在a，使得z1z2，故A正确；

4

za2ia2i13ai7a23a2

1

对于B选项：22i，

z213ai13ai13ai19a19a

2z

23a61

令20，解得a，故存在a，使得R，故B正确；

19a3z2

222

对于C选项：z1z2a3ai2i6a5a23ai，23a0恒成立，故不存在a，使得z1z2R，

故C错误；

对于选项：22，

Dz1z2a2i13aia123a1

2

化简得5a5a20，Δ0，方程无解，故不存在a，使得z1z21，故D错误.

故选：AB.

【变式7-2】（2