2025~2026学年山东省济南市市中区九年级第一学期数学期末考试试题（含答案）

年九年级上学期数学期末学情调研试题（满分150分时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求.1.榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（）2.已知x−yy=32，则xy的值为A.52B.2C.−123.一个反比例函数图象过点(2,−3)，该图象也一定过点（）A.(−6,−1)B.(6,1)C.(−3,2)D.(−2,−3)4.把抛物线y=(x+2)2+3的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A.y=(x−1)2+6B.y=(x−1)2−6C.y=(x+1)2+6D.y=(x+1)2−65.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（）A.8B.12C.16D.246.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（）A.2B.255C.127.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（）A.80cmB.60cmC.50cmD.40cm8.如图，AC是⊙O的直径．若∠ACB=65∘，则∠D的度数为（）A.15∘B.25∘C.45∘D.65∘9.反比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=−kx+3在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x=−1，以下结论：①abc>0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③5a+2b+c>0；④抛物线一定经过点(−c3a,0)；⑤关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A.5个B.4个C.3个D.2个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．11.已知∠A为锐角，且cosA=3212.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若OA′OA=113.如图，点A，D分别在函数y=kx，y=614.如图，正八边形ABCDEFGH和正方形GHIJ的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留π）15.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，且∠ACB=90∘，点D为线段BC的中点，将BD绕点B顺时针旋转60∘得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为______．三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分7分）计算：4−2cos45∘+(π−2025)0+∣−2∣+(13)−117.（本小题满分7分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB=10，BC=6，DE=3，求AD的长．18.（本小题满分7分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？19.（本小题满分8分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．（1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；（2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．20.（本小题满分8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22∘，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=30∘，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22∘≈0.37，cos22∘≈0.93，tan22∘≈0.40，3≈1.73）（1）求水平横管BC到水平线AD的距离；（2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．21.（本小题满分9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF=2，sin∠BEC=3522.（本小题满分10分）如图，用一根120cm的铁丝制作一个“日”字型矩形框架ABCD，铁丝全部用完．设矩形框架ABCD的一边长AB为x（单位：cm），所围成的矩形框架ABCD的面积为S（单位：cm2）．（1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；（2）当x的值是多少时，矩形框架ABCD面积S最大？最大面积是多少？23.（本小题满分10分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）连接OB，求△OAB的面积；（3）在y轴上存在一点P，使△PCD∽△AOD．求P点的坐标．24.（本小题满分12分）如图，抛物线y=−34x2（1）求抛物线的解析式；（2）当EFDF（3）第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得△BCO中有一个锐角与∠PCB相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．25.（本小题满分12分）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α=60∘时，BDCP（2）类比探究如图2，当α=90∘时，请写出BDCP（3）解决问题如图3，当α=90∘时，点E，F分别是CA，CB的中点，点P在线段EF上，当点C，P，D在同一直线上，且AP=2时，求出BD的长．答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求.1.榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（D）2.已知x−yy=32，则xy的值为A.52B.2C.−123.一个反比例函数图象过点(2,−3)，该图象也一定过点（C）A.(−6,−1)B.(6,1)C.(−3,2)D.(−2,−3)4.把抛物线y=(x+2)2+3的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（C）A.y=(x−1)2+6B.y=(x−1)2−6C.y=(x+1)2+6D.y=(x+1)2−65.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（C）A.8B.12C.16D.246.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（A）A.2B.255C.127.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（D）A.80cmB.60cmC.50cmD.40cm8.如图，AC是⊙O的直径．若∠ACB=65∘，则∠D的度数为（B）A.15∘B.25∘C.45∘D.65∘9.反比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=−kx+3在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（A10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x=−1，以下结论：①abc>0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③5a+2b+c>0；④抛物线一定经过点(−c3a,0)；⑤关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（B）A.5个B.4个C.3个D.2个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．11.已知∠A为锐角，且cosA=32，则∠A等于____3012.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若OA′OA=13，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为___13.如图，点A，D分别在函数y=kx，y=6x的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形且矩形的面积为8，则k的值为___14.如图，正八边形ABCDEFGH和正方形GHIJ的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为___3π415.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，且∠ACB=90∘，点D为线段BC的中点，将BD绕点B顺时针旋转60∘得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为___2+23___．三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分7分）计算：4−2cos45∘+(π−2025)0+∣−2∣+(13)−1=2－2+1+2+3=617.（本小题满分7分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB=10，BC=6，DE=3，求AD的长．解：在△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6∴AB=82∵∠A=∠A,∠AED=∠C,∴△ADE∼△ABC则DEBC＝ADAB．即3∴AD=5.18.（本小题满分7分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？解：(1）设这个反比例函数的表达式为y=kx根据题意，得50=k8这个反比例函数的表达式为y=400x(2）当x=4时，y=400÷4=100.由图象可知当x≤4时，y≥100.答：平均每天至少要装载100吨货物．19.（本小题满分8分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．（1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；（2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．解：(1）∵共有4张卡片∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是1(2）根据题意，画树状图如图由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为612=20.（本小题满分8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22∘，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=30∘，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22∘≈0.37，cos22∘≈0.93，tan22∘≈0.40，3≈1.73）（1）求水平横管BC到水平线AD的距离；（2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．解：(1）过B作BF⊥AD于F,∠AFB=90°,在Rt△ABF中，sin∠BAF=BF∵AB=2.5米，∠BAF=39°,BF=AB·sin39°≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米．答：水平横管BC到水平线AD的距离约为1.6米；∵∠FBC=∠BCD=∠D=90°∴四边形BCDF为矩形，∴BC=DF,CD=BF=1.6米，CE=0.6米∵DE=CD-CE=1.6-0.6=1（米）在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE∵∠DAE=22°∴AD=1tan22°又：∵在Rt△ABF中，cos∠BAF=AB∵AB=2.5米，∠BAF=39°∴AF=AB·cos39°≈2.5x0.777=1.9425≈1.94（米）.∴DF=AD-AF=2.48-1.94=0.54≈0.5（米）∴BC=DF=0.5米，答：水平横管BC的长度约为0.5米．21.（本小题满分9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF=2，sin∠BEC=35如图，连结OE.∵∠BCE=12∠ABC,∠BCE=12∠∴∠ABC=∠BOE∴OE//BC∴∠OED=∠BCD∵EF//CA∴∠FEC=∠ACE∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE,级∠FEO=∠ACB∵AB是直径∴∠ACB=90°,∴∠FEO=90°∴FE⊥EO.∵EO是⊙O的半径∴EF是⊙O的切线．（2）∵EF//AC∴△FEO∼△ACB∵BF=2,sin∠BEC=35，∠BEC=∠∴sin∠BAC=BCAB=设⊙O的半径为r，则FO=2+r,AB=2r∴r1.2r=解得r=3,.⊙O的半径是3.22.（本小题满分10分）如图，用一根120cm的铁丝制作一个“日”字型矩形框架ABCD，铁丝全部用完．设矩形框架ABCD的一边长AB为x（单位：cm），所围成的矩形框架ABCD的面积为S（单位：cm2）．（1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；（2）当x的值是多少时，矩形框架ABCD面积S最大？最大面积是多少？解：(1）由题意可得：3x+2y=120,∴y==-32∴S=xy=x(-32x+60)=-32x2+60x;（(3)S=-32x2+60x=-32x2(x-20)由（2）可得：0<x≤24,当x=20时，S的值最大，为600cm2.23.（本小题满分10分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）连接OB，求△OAB的面积；（3）在y轴上存在一点P，使△PCD∽△AOD．求P点的坐标．（1）将B的坐标为(−2,−2)代入y=kx，∴反比例函数表达式为y=4将A的