八年级数学下册ab12-22.5 菱形-第2课时 菱形的判定

荣德基

第二十二章四边形22.5

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2

489

A⑩

A答案呈现1314荣德基菱形的是(

B

)A.B.D.1.

[2024沧州期中]依据所标的数据，下列平行四边形一定为基础题荣德基UDoE

阳2.

如图，四边形ABCD

的两条对角线相交于点0,且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(B

)A.BC=CD

B.AB=ACC.AClBDD.∠ABO=∠CBD基础题(第2题)荣德基UDoE

阳基础题3.如图，在四边形ABCD中

，AB=BC=CD=DA,∠B=80°,连接AC,则∠ACD=(B

)A.45°B.50°

C.55°D.60°(第3题)荣德基UDoE

阳4.

(新视角

条件开放题如图，在△ABC中，D,E

分别是AB,AC

的中点，过点E作EF//AB,交BC于点F.当△ABC满足条件A

B

=

B

C(

答

案

不

唯

一

)

时，四边形

DBFE

是菱形.基础题(第4题)荣德基UDoE

阳5.母题教材P145例2如图，在△ABC中

，AD是∠BAC的平分线，DE//AC交AB于点

E,DF//AB交AC于点F,

若AE=4cm,则四边形AEDF的周长为16cm基础题

荣德基(第5题)【点拨】∵

DE//AC,DF//AB,∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠FAD.B∴∠EAD=∠EDA.

∴EA=ED.

(第5题)∴平行四边形AEDF是菱形.∴四边形AEDF的周长为4AE=16cm.基础题荣UDoE德基础题6.如

图

，AB=6cm,

分别以A,B

为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M,N

两点.连接AM,BM,AN,BN,则四边形AMBN的面积为

24

cm².荣德基UDoE

阳【点拨】如图，连接MN,

交AB于点0,由题意可知AM=AN=BN=BM=5cm,∴四边形AMBN

是菱形.∴AB⊥MN,∴∠AOM=90°.∴OM=√AM²-AO²=√5²-3²=4(cm).基础题,OM=ON.荣UDoE德

∴MN=20M=2×4=8(cm).∴菱形AMBN

的面积基础题荣德基UDoE

阳7.[2024石家庄期中]如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD,与BC相交于点E,EF//AB,

与AD

相交于点F.求证：

四边形ABEF是菱形.A

FDBE

C基础题

荣德基基础题【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF//BE.

∴∠FAE=∠BEA.∵EF//AB,∴四边形ABEF为平行四边形.∵AE

平分∠

BAF,∴∠BAE=∠FAE.∴∠BAE=∠BEA.∴BA=BE.∴

平行四边形ABEF是菱形.荣UDoE德B8.一

题多

解如图，在△ABC中，∠ACB=90°,0,D

分别是边AC,AB的中

点，过点C作CE//AB

交DO

的延长线于点E,

连接AE,CD.求证：四边形AECD是菱形.基础题荣德基UDoE

阳E基础题【证明】证法—∵0是AC的中点，∴OA=OC.∵CE//AB,

∴∠DAO=∠ECO.∵∠AOD=∠COE,∴△AOD≌△COE(ASA).∴AD=CE.又∵CE//AB,∴四边形AECD是平行四边形.∵D是AB的中点，∠ACB=90°,荣UDoE德

.

∴四边形AECD是菱形.证法二：∵0是AC的中点，∴OA=0C.∵CE//AB,

∴∠DAO=∠ECO.∵∠AOD=∠COE,∴△AOD≌△COE(ASA).∴AD=CE.又∵CE//AB,∴

四边形AECD是平行四边形.基础题荣UDoE德

基础题∵0,D

分别是边AC,AB

的中点，∴OD//CB.∴∠AOD=∠ACB=90°∴ACIED.∴

四边形AECD是菱形.AD0B荣德基CEA

DD.9.用尺规作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法错误的是(A

)A.C.BDB

CDBA

DB.BC综合应用题荣德基C10.

[2024上海]四边形ABCD

为矩形，过点A,C

作对角线BD的垂线，过点B,D

作对角线AC的垂线，如果将四条垂线拼

成一个四边形，那么这个四边形为(

A)A.

菱形

B.

矩形C.

直角梯形

D.

等腰梯形综合应用题荣德基UDoE

阳∵四边形ABCD为矩形，∴S△oBC=S△OAD,OC=0B=OA=0D.CO

HBD

EG【点拨】如图所示.综合应用题荣德基A∵过点A,C作对角线BD的垂线，过点B,D

作对角线AC的垂线

，OA·DG.∴BF=CH=AE=DG.∴

四条垂线拼成的四边形为菱形.综合应用题荣德基UDoE

阳11.母题教材P146习题B组T2

两张全等的矩形纸片按如图所示的位置重叠放置

.综合应用题(第11题)荣德基UDoE

阳综合应用题(1)重叠的四边形是

是”)

.DACB菱形(填“是”或“不(第11题)荣德基【点拨】如图所示，连接AC,BD,由题意得，矩形BFDE≌矩形BHDG,∴AD//BC,AB//CD,DE=DG.∴四边形ABCD是平行四边形.易知∠ADG=∠EDC=90°,∴平行四边形ABCD的面积=

BC·DG=AB·DE.∴AB=BC.∴

四边形ABCD是菱形.综合应用题荣德基UDoE

阳(2)若矩形的长和宽分别是8和6,则重叠的四边形的面积

是

2.57(第11题)综合应用题荣德基UDoE

阳综合应用题【点拨】由题知BG=8,DG=6.ABCD

的边长为x,

则BC=CD=x,

∴CG=8-x.在Rt△CDG

中，由勾股定理可得DG²+CG²=CD²,∴6²+(8-x)²=x²,

解S菱形ABCD=BC

·(第11题),即即重叠的四边形的面积设菱形荣德基人综合应用题12.新

视

角最值探究题如图，在四边形ABCD

中

，AC⊥BD

于

点

0

,A0=CO=8,BO=DO=6,P为线段AC

上的一个动点.(第12题)荣德基UDoE

阳(1)CD

的长是10

.【点拨】∵AC⊥BD

于点0,∴△COD为直角三角形.∵CO=8,DO=6,∴CD=√DO²+CO²=√

6²+82=10.综合应用题(第12题)荣德基UDoE

阳综合应用题(2)过点P分别作PM⊥AD

于点M,作PH⊥DC于点H.连接PB,

在点P的

运动过程中，PM+PH+PB

的最小值78为

5

.(第12题)荣德基UDoE

阳【点拨】如图，连接PD.∵AO=CO=8,∴AC=16.综合应用题荣UDoE德

·OD,即∴

当PB最短时，PM+PH+PB有最小值.由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，PB最

短，PB的最小值为OB的长，为6,∴当点P与点0重合时，PM+PH+PB

有◎最小值，最小值=综合应用题荣UDoE德

综合应用题13.如图①,CD是△ABC的角平分线，E,F

分别是边BC,AC上的点，

满足CE=CF,连接EF交CD于点G,

且

CG=GD,

连

接DE,DF.荣德基UDoE

阳②①(1)求证：四边形CEDF是菱形；【证明】∵CE=CF,CD

平分∠ACB,∴CD⊥EF,GF=GE.又∵CG=GD,∴四边形CEDF是菱形.

①综合应用题荣德基UDoE

阳②(2)如图②,若∠BAC=90°,∠B=60°,BC=

√3+2,求四边形CEDF的边长.B综合应用题荣UDoE德

①②【解】由(1)可知，四边形CEDF是菱形，∴CF=DF=DE=CE,CF//DE.∴∠EDB=∠BAC=90°.∵∠B=60°

,∴∠BED=90°-60°=30°.∴BE=2BD.设BD=x,

则BE=2x,∴CE=DE=√BE²-BD²=√3x.B综合应用题荣UDoE德①②∵CE+BE=BC,BC=√3+2,∴√3x+2x=√3+2,∴x=1.∴CE=√3,

即四边形CEDF的边长为√3.

①综合应用题荣德基UDoE

阳②创新拓展题

荣德基14.

新视角动点探究题

如图，0为坐标原点，在四边形OABC中

，BC//OA,BC=24,A(26,0),C(0,12),D是OA的中点，

动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动.设动点P的运动时间为t

s.PDA

x0CB创新拓展题荣德基UDoE

阳∴BP=BC-PC=24-2t.∵四边形PDAB是平行四边形，∴PB=AD=13.

∴24-2t=13,

解得t=5.5.∵D是

0A的中点，∵BC=24,【点拨】由题意可知0A=26,PC=2t,创新拓展题荣德基UDoE

阳创新拓展题

荣德基(2)在直线CB

上是否存在一点Q,

使得以0,D,Q,P四点为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出t的值和Q点的

坐标；若不存在，请说明理由.【解】存在.当t=2.5时，Q