八年级数学上册vm08-13.2 命题与证明-第3课时 三角形内角和定理的推论-直角三角形的性质与判定

荣德基

第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2

命题与证明第3课时三角形内角和定理的推论—直角三角形的性质与判定1.直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形两直角边分别是另一直角边上的高.2.直角三角形的判定：(1)有一个角是直角的三角形是

直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.荣德基UDoE

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案

呈

现DCCA荣德基681.在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形

的内角和等于180°”的是(D)基础提优题知识点1

三角形内角和定理的证明延长AC到点

F,过

点C

作

CE//AB过AB上一点

D作DE//BC,

DF//AC过点C

作

CD⊥AB于点D

德

过

点C

作EF//ABC.A.D.B.基础提优题知识点2

直角三角形的性质2.

[2025淮北第一中学期中]两个直角三角板如图放置，则∠BFE与∠CAF的度

数之和等于(

C

)A.140°B.145°C.150°

D.155°30°C45°

E(第2题)AB荣德基3.如图，已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.则下列结论中一定正确的是

(C

)A.

∠1=∠A

B.

∠1+∠B=90°C.

∠2=∠AD.

∠A=∠B(第3题)基础提优题荣德基UDoE

阳基础提优题

德基阳4.

[2025芜湖无为十校联考]如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°,

∠C=50

,

则∠DAE的度数为(

A

)

(第4题)A.10°

B.15°

C.20°D.25°△ABC的高，∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°.∵AD

是基础提优题【点拨】∵∠B=30°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°.

∵AE是△ABC

的角平分线，(第4题)荣德基UDoE

阳又5.

如图，在△ABC中，∠A=90°,

点E,F

分别为AB,AC

上一点，将△ABC沿直线EF

翻折至同一平面内，点A落在点A'处，EA′,FA'分别交BC

边于点M,N.若∠BEA′=80°

,则∠CFA'的度数为

(

A

)A.100°B.110°C.115°(第5题)基础提优题荣德基UDoE

阳D.120°∵∠A=90°,

(第5题)∴∠AFE=90°-∠AEF=40°.∴∠AFA′=2∠AFE=80°

.∴∠CFA′=180°-∠AFA′=100°

.

故选A.基础提优题【点拨】∵∠BEA′=80°

,∴∠AEA'=180°-∠BEA′=100°.

由折

叠得∠AFA′=2∠AFE,荣德基UDoE

阳基础提优题知识点3

直角三角形的判定6.

具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(AA.∠A=∠B=3∠CB.∠A-∠B=∠CC.

∠A+∠B=∠CD.

∠A:∠B:∠C=1:2:3荣德基UDoE

阳)基础提优题

荣德基【点拨】A.由∠A=∠B=3∠C

及∠A+∠B+∠C=180°

可得

,则△ABC

不是直角三角形，故

符合题意；B.由∠A-∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可

得∠A=90°,

则△ABC是直角三角形，故不符合题意；C.由

∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°,则△ABC是直角三角形，故不符合题意；D.由∠A:∠B:∠C=1:2:3及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°

,则△ABC是直角三角形，故不符合题意.故选A.7.如图，在△ABC中，AD⊥BC

于点D,E为AC

上任意一点，连接BE交AD于点F.AEC基础提优题ED荣德基B基础提优题(1)若∠ABD=40°,∠AFE=70°,求

证

：BE平分∠ABC;【证明】∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∴∠DBF+∠BFD=90°.又∵∠BFD=∠AFE=70°,∴∠DBF=20°.又∵∠ABD=40°,∴BE平分∠ABC.荣UDoE德

(2)在(1)的条件下，若∠AFE=∠AEF,请直接写出图中所有的直角三角形.AEC【解】△ABC,△ABE,△ABD,△ACD,△BDF都是直角三角形.基础提优题FD荣德基B易错点忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角导致漏解8.新考法

分类讨论法

在直角三角形ABC

中

，∠A:∠B:∠C=2:m:4,

则m的值是2或6.【点拨】设∠A,∠B,∠C的度数分别为2x,mx,4x.

当∠C为直角

时，2x+mx=4x,

解得m=2;当∠B为直角时，2x+4x=mx,

解得m=6.

故答案为2或6.基础提优题

荣德基点易错在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，力求不漏解不错解.基础提优题荣德基UDoE

阳综合应用题

荣UDoE德

9.将一副学生用三角板(一个锐角为30°

的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形)如图叠放，则下列4个结论中正

确的有

(D

)①0E平分∠AOD;

(第9题)②∠AOC=∠BOD;③∠AOC-∠CEA=15°;④∠COB+∠AOD=180°.A.0

个B.1

个C.2

个

D.3个【点拨】∵∠DOC=∠AOB=90°,∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB,∠AOC=∠BOD.

故②正确；∵∠AOB=∠COD=90°

,∴∠COB+

∠AOD=∠AOB+∠COD=180°,

故④正确；综合应用题(第9题)荣UDoE德

即∵∠CPE=∠APO,∠C=45°,∠A=30°,∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°,∴∠AOC-∠CEA=15°,

故③正确；没有条件能证明OE

平分∠AOD,

故①错误.故选D.B

CD

45°

p30°0A如图，设AB与OC交于点P,综合应用题荣德基10.

如图，四边形

ABCD

中，AB//CD,∠C=∠DAB,

点E在线段BC上，DF平

分∠EDC,

交BC于点M,

交AE延长线于

点F,

若∠C=90°,∠AED+∠AEC=180°,设∠AED=x,∠FDC=y,则x与y的数量关系是(

D

)AA.X+y=90°B.x+2y=90°C.x=4y

D.x-y=45°(第10题)综合应用题荣德基UDoE

阳【点拨】∵∠

AED+∠AEC=180°,∠AEC+∠FEC=180°

.∴∠AED=∠FEC=x,∴∠DEC=180°-2x.∵∠FDC=y,DF

平分∠

EDC,∴∠EDC=2y,∴∠DEC=90°-2y.∴180°-2x=90°-2y,

即x-y=45°

.综合应用题(第10题)荣UDoE德

D综合应用题11.如图，在△

ABC中，∠C=∠ABC=2∠BAC,

AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC.(1)求证：∠BAD=∠CAD;【证明】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.又∵∠

ABC=∠C,∴90°

-∠ABC=90°-∠C.∴∠BAD=∠CAD.B荣UDoE德

ADEC(2)求∠CBE的度数.B综合应用题荣德基【解】∵

BE平分∠ABC,

∴∠CBE=∠ABE.设∠CBE=∠ABE=x,则∠C=∠ABC=2x.

又∵∠C=2∠BAC,

∴∠BAC=x.∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°

.解得x=36°.故∠CBE=36°.AEBC

D综合应用题荣德基12

.新考法

动点位置探究法(1)如图①,在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB图中有与∠A相等的角吗?为什么?创新拓展题于点D,荣德基①【解】有

.理由：∵

CD⊥AB,∴∠BDC=90°

.∴∠B+∠BCD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°

.∴

∠BCD=

∠A.创新拓展题荣德基UDoE

阳①(2)如图②,把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E,

图中还有与∠A

相等的角吗?为什么?【解】有.理由：∵ED⊥AB,∴∠EDB=90