八年级数学下册dj10-阶段拔尖专训10 正方形中的常见模型

阶段拔尖专训10正方形中的常见模型荣德基图示条件结论四边形ABCD是正方形，点E是对角线

BD上一点，连结AE,CE△ADE≌△CDE;△ABE≌△CBE类型1

正方形中的“对称”模型【高分秘籍】荣德基UDoE

阳1.[2024随州期末]已知正方形ABCD,E为对角线BD

上一点.B

C荣德基①①

②【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴

AD=CD,∠ADE=∠CDE=45°∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE.(1)如图①,连结AE,CE,

求证：△ADE≌△CDE;荣UDoE德

(2)如图②,F是AE

延长线上的一点，CF⊥CE,EF交CD于点G,判断△CFG

的形状并说明理由；DGFC②荣德基①EAB【解】△CFG为等腰三角形，理由如下：∵

CF⊥CE,∴∠FCG+∠ECG=90°.由△ADE≌△CDE

知∠DAG=∠ECD.

∵四边形ABCD

是正方形，∴∠ADG=90°.∴∠DAG+∠AGD=90°,∴∠FCG=∠AGD.

∵∠AGD=∠CGF,

∴∠FCG=∠CGF,∴FG=CF,荣德基UDoE

阳AEB∴△CFG

为等腰三角形.DGC②荣德基ABDC①E>F(3)在(2)的条件下，若AB=3,CG=2DG,连结DF,则DF的长为

√

13荣德基UDoE

阳②①【点拨】过F作FH⊥CD

于点H.∴∠FHG=∠ADG=90°∵△CFG

为等腰三角形，∴CH=HG.∵CG=2DG,∴HG=DG.又∵∠AGD=∠HGF,∴△ADG≌△FHG,∴FH=AD.∵AB=3,∴FH=3,HD=2,荣德基UDoE

阳∴DF=√DH²+FH²=√13.AEB①D

EGC

②荣德基ABDCF图示条件结论在正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,AD上，AE⊥BF△ABF≌△DAE,BF=AEa.过两个顶点型【高分秘籍】类型2正方形中的“十字架”模型荣德基UDoE

阳新视角

·动点探究题2.

母题

·教材P121习题T2

如图，在正方形ABCD

中

，E,F

分别是BC,CD

上的点，AE,BF

相交于点P,

并且AE=BF.(1)如图①,判断AE

和BF

的位置关系并说明理由；荣UDoE德

②①∴Rt△ABE≌Rt△BCF,

∴∠BAE=∠CBF.∵∠BAE+∠BEA=90°,

∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BPE=90°

,∴AE⊥BF.∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△BCF中

，【解】AE⊥BF.

理由如下：∵四边形ABCD

是正方形，荣UDoE德

①②ANPB

E②(2)若AB=8,BE=6,求BP的长度；DMFCDFCABPE

①荣德基AE=√AB²+BE²=10.∵S∴8×6=10BP,∴BP=4.8.在Rt△ABE中，AB=8,BE=6,

根据勾股定理得△

·BP,①

②荣UDoE德

(

3

)

如

图

②

,DN⊥AE,FM⊥DN,当

点F在线段CD上运动时(点F不与点C,D

重合),四边形FMNP

能否成为正方

形?请说明理由.DFPE

C

①ANE②DFCAB荣德基

荣UDoE德

四边形FMNP不能成为正方形.理由如下：由(1)知AE⊥BF,∴∠APF=90°

.∵FM⊥DN,DN⊥AE,∴∠FMN=∠MNP=90°,∴

四边∵∠BAP+∠NAD=∠NAD+∠ADN=90°

∴∠BAP=∠ADN.在△BAP和△ADN中，

①

②形FMNP是矩形.∴AN=BP.∵AE=BF,∴AE-AN=BF-BP,∴EN=PF.

∵

点F在线段CD

上运动(点F不与点C,D

重合

)

,∴

P,E

不重合，∴PN≠PF,∴四边形FMNP不能成为正方形.∴△BAP≌△ADN,荣德基UDoE

阳图示条件结论①在正方形ABCD中，图①:AE⊥MF,图②:EF⊥GH图①:AE=MF,图②:EF=GHb.过一个顶点或不过顶点型【高分秘籍】荣德基UDoE

阳3.[2024郑州月考](1)如图①,正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，

若线段MN垂直AP

于点E,

交线段AB

于点M,

交线段CD

于点

N,

求证：AP=MN;①

②荣UDoE德

荣德基UDoE

阳【证明】如图①,过点B作BH//MN

交CD于点H,

则AP⊥BH.∵四边形ABCD

为正方形，∴

BM//NH,∴

四

①边形MBHN为平行四边形，∴

MN=BH.∵

四边形ABCD是正方形.

∴

AB=BC,∠ABP=90°=∠C,∴∠CBH+∠ABH=∠BAP+∠ABH=90°,∴∠BAP=∠CBH,

∴△ABP≌△BCH,∴BH=AP,∴AP=MN.(2)如图②,正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，若线段MN

垂直平分线段AP,

分别交AB,AP,BD,DC

于点M,E,F,N.

求证：EF=ME+FN.①②荣UDoE德

∠ABF=∠CBF=45°.又∵

BF=BF,

∴△ABF≌△CBF.∴∠FAB=∠FCP.

∴∠FAB=∠FPC.

∵∠FPB+∠FPC=180°,

∴∠FAB+∠F

PB=180°∴∠ABC+∠AFP=180°

,F为对角线BD

上一点，∴FA=FC.又∵FE

垂直平分线段AP,∴FA=FP,∴FP=FC,∴∠FPC=∠FCP.

∵

四边形ABCD是正方形.

∴

AB=BC,如图②,连结FA,FP,FC.

∵正方形ABCD是轴对称图形，荣UDoE德

②∵∠ABC=90°,

∴∠AFP=90°,

∴AP=MN,∴MN=ME+EF+FN=AP=2EF,∴EF=ME+FN.

.

由(1)知，荣德基UDoE

阳图示条件结论四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°,

延长CB至点G,使得BG=DE,连结AG△ABG≌△ADE;△FAG≌△FAE;EF=BF+DE类型3

正方形中的“半角”模型【高分秘籍】荣德基UDoE

阳①②(1)如图①,在正方形ABCD中，点E,F

分别在边BC,CD

上

，连结AE,AF,EF,并延长CB到点G,使BG=DF,连结AG.若∠EAF=45°,猜想BE,EF,DF之间的数量关系并证明；

2024

·

信阳期末4.

新考法·构造全等法荣UDoE德

【解】EF=BE+DF.证明如下：∵

四边形ABCD为正方形，∴AD=AB,∠ABG=∠ADF=90°.又∵

DF=BG,

∴△ADF≌△ABG,∴AF=AG,∠DAF=∠BAG.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°

.∵∠EAF=45°

,荣德基UDoE

阳∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠BAG+∠BAE=45°,∴∠GAE=∠EAF=45°.又∵

AG=AF,AE=AE,

∴△AGE≌△AFE,∴GE=EF.∵GE=BE+GB=BE+DF,

∴EF=BE+DF.荣UDoE德

②①(2)如图②,当点E在线段BC的延长线上，点F在线段CD的延长线上，且∠EAF=45°

时，试探究BE,EF,DF

之间的

数量关系，并说明理由.

D德①②EF=BE-DF.

理由如下：如图，在BC

上截取BG=DF,

连结AG.∵四边形ABCD

为正方形，∴AD=AB,∠BAD=∠ABG=∠ADF=90°.

又∵DF=BG,

∴△ADF≌△ABG,∴AF=AG,∠DAF=∠BAG.∵∠EAF=∠DAE+∠DAF=45°,∴∠DAE+∠BAG=45°∵∠BAD=90°,荣UDoE德∴∠GAE=∠EAF=45°.

又∵

AG=AF,AE=AE,

∴△AGE≌△AFE,∴GE=EF.∵GE=BE-BG=BE-DF,∴EF=BE—DF.FADC

E荣德基BG类型4正方形中的“手拉手”模型5.如图①,正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD

为边作正方形DPFE,

连结CE.荣UDoE德

②③①P(1)AP

与CE的数量关系是

AP=CE,AP与CE的位置关系是B荣德基UoEAPlCE③②①(2)当点P在对角线AC

的延长线上运动时，B荣德基③②①①如图②,探究线段CP,CD

和CE三者之间的数量关系，并说明

理

由

；【解】CE-CP=

√2CD.理由如下：∵四边形ABCD

是正方形，∴AD=DC,∠ADC=90°,∴AC=√AD²+CD²=√2CD.

∵

四边形DPFE

是正方形，∴DP=DE,∠PDE=90°=∠ADC,∴∠ADC+∠CDP=∠PDE+∠CDP,

即∠ADP=∠CDE,∴△ADP≌△CDE,∴AP=CE,∴CE-CP=AP-CP=AC=√2CD.荣德基

②如图③,连结AE,PE,若AB=

√2,AE=

√29,求四边形DCPE的面积.∵

四边形ABCD为正方形，且AB=√2,∴∠DAC=∠ACD=45°,AD=CD=AB=√2,∴AC=√2+2=2.

由①得△ADP≌△CDE,∴∠DCE=∠DAP=45°,∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°