2023-2024学年广东深圳翰林实验学校九年级(上)10月考数学试题及答案

试题2023-2024学年广东省深圳市福田区翰林实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：（每题3分，10小题，共30分）1．（3分）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、AD、CD、BC的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．82．（3分）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B． C．1 D．3．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝04．（3分）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（）x1.01.11.21.3x2+12x1314.4115.8417.29A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.845．（3分）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣16．（3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289 C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝2897．（3分）一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）已知ab＝cd，则下列各式不成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝9．（3分）如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图形中阴影部分的周长为（）A．8 B．4 C．8 D．6二、填空题：（每题3分，5小题，共15分）11．（3分）如果方程ax2+2x+1＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．12．（3分）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．13．（3分）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为10的概率为．14．（3分）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．15．（3分）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．三、解答题：（本题共7小题，共55分）16．（6分）解方程：（1）x2﹣x﹣1＝0；（2）x2﹣2x＝0．17．（6分）解方程：（1）x2﹣2x＝2x+1；（2）x（x﹣2）﹣3x2＝﹣1．18．（9分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．（1）点A的坐标是，点C的坐标是；（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是．19．（9分）经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设三种可能性相同．现有两个人经过该路口，请用画树状图列出所有可能出现的结果，并求下列事件的概率：（1）两人都左拐；（2）恰有一人直行，另一人左拐；（3）至少有一人直行．20．（8分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．21．（8分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b＞0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知点M的坐标为（4，2），当b＝时，直线l：y＝﹣2x+b（b＞0）经过点M；（2）若直线l与x轴、y轴分别交于点P、点Q，若△PQM为等腰三角形，求对应的b值；（3）如图2，若已知矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．

2023-2024学年广东省深圳市福田区翰林实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，10小题，共30分）1．（3分）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、AD、CD、BC的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】连接AC，根据三角形中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，得到△BEH∽△BAC，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：连接AC，∵E、H分别为边AB、BC的中点，∴EH∥AC，EH＝AC，∴△BEH∽△BAC，∴S△BEH＝S△BAC＝S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积＝×2×4＝4，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（3分）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B． C．1 D．【分析】有一个内角为60°，可得这条较短对角线与菱形的两条边构成等边三角形，由此可得出答案．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，周长为4，∴AB＝AD＝CD＝BC＝1，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝1；这个菱形较短的对角线长是1；故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质；属于基础题，注意有一个内角为60°的菱形，连接较短对角线可得出等边三角形．3．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是分式方程，故A错误；B、是二元二次方程，故B错误；C、a＝0时，是一元一次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．（3分）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（）x1.01.11.21.3x2+12x1314.4115.8417.29A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.84【分析】观察表格第二行中的数字，与15最接近时x的范围即为所求根的范围．【解答】解：∵14.41＜15＜15.84，∴一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围为1.1＜x＜1.2．故选：B．【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．5．（3分）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴αβ＝＝，故选：D．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．6．（3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289 C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝289【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2＝256．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x）2，由题意得：289（1﹣x）2＝256．故选：A．【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．7．（3分）一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（）A． B． C． D．【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【解答】解：10个黑球，8个白球，12个红球一共是30个，所以从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是＝．故选：C．【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（3分）已知ab＝cd，则下列各式不成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行变形即可得解．【解答】解：A、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；B、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；C、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；D、∵＝，∴cd+c+d＝ab+a+b，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟记并熟练应用两内项之积等于两外项之积的性质是解题的关键．9．（3分）如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C． D．【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE＝S△BCP+S△BEP求出h＝PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则S△BCE＝S△BCP+S△BEP，即BE•h＝BC•PQ+BE•PR，∵BE＝BC，∴h＝PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为2，∴h＝2×＝．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ+PR等于点C到BE的距离是解题的关键．10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图形中阴影部分的周长为（）A．8 B．4 C．8 D．6【分析】根由图形翻折变换的性质可知AD＝A′D′，A′H＝AH，D′G＝DG，由阴影部分的周长＝A′D′+A′H+BH+BC+CG+D′G即可得出结论．【解答】解：如图：由翻折变换的性质可知AD＝A′D′，A′H＝AH，D′G＝DG，阴影部分的周长＝A′D′+（A′H+BH）+BC+（CG+D′G）＝AD+AB+BC+CD＝2×4＝8．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．二、填空题：（每题3分，5小题，共15分）11．（3分）如果方程ax2+2x+1＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．12．（3分）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案为：（﹣1，5）．【点评】考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，根据题意求得点G的坐标是解题的难点．13．（3分）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为10的概率为．【分析】根据题意，列出表格，数出所有去情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列出表格如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可知，一共有36种情况，所得点数之和为10的有3种情况，∴所得点数之和为10的概率＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解答本题的关键要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（3分）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为12．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．15．（3分）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是14．【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本题共7小题，共55分）16．（6分）解方程：（1）x2﹣x﹣1＝0；（2）x2﹣2x＝0．【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，，解得：；（2）x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝0，x2＝2．【点评】本题主要考查了解二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．17．（6分）解方程：（1）x2﹣2x＝2x+1；（2）x（x﹣2）﹣3x2＝﹣1．【分析】（1）先将方程化为一般式，再用配方法求解即可；（2）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x＝2x+1，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，，解得：；（2）x（x﹣2）﹣3x2＝﹣1，x2﹣2x﹣3x2＝﹣1，2x2+2x﹣1＝0，a＝2，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×2×（﹣1）＝12，，解得：，．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的法和步骤．18．（9分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．（1）点A的坐标是（﹣5，4），点C的坐标是（﹣1，2）；（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是（0，）．【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）分别作出A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′即可；（3）作点C关于y轴的对称点C1，连接AC1交y轴于点P，连接CP，此时PC+PA的值最小，再求出直线AC1的解析式，可得点P的坐标．【解答】解：（1）如图，A（﹣5，4），C（﹣1，2）．故答案为：（﹣5，4），（﹣1，2）；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）如图，点P即为所求．∵A（﹣5，4），C1（1，2），∴直线AC1的解析式为y＝﹣x+，∴点P的坐标是（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．19．（9分）经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设三种可能性相同．现有两个人经过该路口，请用画树状图列出所有可能出现的结果，并求下列事件的概率：（1）两人都左拐；（2）恰有一人直行，另一人左拐；（3）至少有一人直行．【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“两人都左拐”的结果数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）找出恰好有一人直行，另一人左拐的结果数，然后根据概率公式求解；（3）找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）根据题意画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中“两人都左拐”的结果数为1，则两人都左拐”的概率是；（2）恰好有一人直行，另一人左拐的结果数为2，所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率是；（3）至少有一人直行的结果数为5，所以“至少有一人直行”的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20．（8分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）解：∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．21．（8分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．【解答】解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x，故答案为2x；50﹣x；（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100（0≤x＜50）化简得：x2﹣35x+300＝0，即（x﹣15）（x﹣20）＝0，解得：x1＝15，x2＝20∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x＝20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b＞0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知点M的坐标为（4，2），当b＝10时，直线l：y＝﹣2x+b（b＞0）经过点M；（2）若直线l与x轴、y轴分别交于点P、点Q，若△PQM为等腰三角形，求对应的b值；（3）如图2，若已知矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2