宁夏回族自治区银川市兴庆区宁一中2026届高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

宁夏回族自治区银川市兴庆区宁一中2026届高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.2．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）A.1 B.2C.4 D.63．在正方体中，异面直线与所成的角为（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（）A. B.C. D.25．已知，，，则a、b、c的大小顺序为（）A. B.C. D.6．幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（）A. B.C. D.和7．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（）A.π B.πC.4π D.π8．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（）A.倍 B.倍C.倍 D.倍9．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10．若偶函数在区间上是减函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数y=的单调递增区间是____.12．已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足，则函数的解析式为____________________；若函数有唯一零点，则实数的值为____________________13．的值为______14．已知点为角终边上一点，则______.15．已知函数，设，，若成立，则实数的最大值是_______16．已知，若，则的最小值是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积18．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于轴对称且经过坐标原点.（1）求的解析式；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数．（1）求方程在上的解；（2）求证：对任意的，方程都有解20．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．21．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.【详解】的定义域满足，由，所以在上恒成立.所以的定义域为则所以，即为奇函数.设，由上可知为奇函数.当时，，均为增函数，则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数，则在上为增函数，且所以在上为增函数.所以在上为增函数.由，即所以对任意实数x恒成立即，由当且仅当，即时得到等号.所以故选：C2、C【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.【详解】令，则函数有最小值∵，∴当函数是增函数时，在上有最小值，∴当函数是减函数时，在上无最小值，∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.3、C【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.【详解】连接因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角．又,可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.4、B【解析】根据幂函数的性质确定正确选项.【详解】A选项，是奇函数，不符合题意.B选项，为偶函数，且在上是减函数，符合题意.C选项，是非奇非偶函数，不符合题意.D选项，，在上递增，不符合题意.故选：B5、D【解析】由对数的运算性质可判断出，而由已知可得，从而可判断出，进而可比较大小详解】由，故，因为，所以，因为，所以，所以，即故选：D6、D【解析】分别代入的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.【详解】因为，，所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；所以当时，，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在上是增函数；所以当时，，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在上是增函数；故选：D7、D【解析】首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.【详解】设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：则的最小值为，解得.如图所示：为正四面体的高，，正四面体高.所以正四面体的体积.设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：则到正四面体四个面的距离相等，都等于，所以正四面体的体积，解得.所以内切球的体积.故选：D8、C【解析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,由已知可得，则，故故选：C.9、D【解析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.【详解】A.若，则或异面，故A不正确；B.缺少垂直于交线这个条件，不能推出，故B不正确；C.由垂直关系可知，或相交，或是异面，故C不正确；D.因，所以平面内存在直线，若，则，且，所以，故D正确.故选：D10、C【解析】根据，可得，根据的单调性，即可求得结果.【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故可得，即，又因为，故可得；是偶函数，且在单调递减，故可得在单调递增，故.故选：C.【点睛】本题考查由函数奇偶性判断函数的单调性，涉及余弦函数的单调性，属综合中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设函数，再利用复合函数的单调性原理求解.【详解】解：由题得函数的定义域为.设函数，因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数是单调递减函数，由复合函数的单调性得函数y=的单调递增区间为.故答案为：12、(1).(2).或【解析】把方程中的换成，然后利用奇偶性可得另一方程，联立可解得；令，可得为偶函数，从而可得关于对称，由函数有唯一零点，可得，从而可求得的值【详解】解：因为函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，因为，①所以，即，②①②联立，可解得令，则，所以为偶函数，所以关于对称，因为有唯一的零点，所以的零点只能为，即，解得或故答案为：；或【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查函数的零点，解题的关键是令，可得为偶函数，从而可得关于对称，由函数有唯一零点，可得，从而可求得的值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题13、【解析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可【详解】14、5【解析】首先求，再化简，求值.【详解】由题意可知.故答案为：5【点睛】本题考查三角函数的定义和关于的齐次分式求值，意在考查基本化简和计算.15、【解析】设不等式的解集为，从而得出韦达定理，由可得，要使，即不等式的解集为，则可得，以及是方程的两个根，再得出其韦达定理，比较韦达定理可得出，从而求出与的关系，代入，得出答案.【详解】，则由题意设集合，即不等式的解集为所以是方程的两个不等实数根则，则由可得，由，所以不等式的解集为所以是方程，即的两个不等实数根，所以故，，则，则，则由，即，即，解得综上可得，所以的最大值为故答案：16、16【解析】乘1后借助已知展开，然后由基本不等式可得.【详解】因为，所以当且仅当，，即时，取“=”号，所以的最小值为16.故答案为：16三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】根据题意知由直角梯形绕其直腰所得的几何体是圆台，根据题意求出圆台的两底面的半径和母线长，再代入表面积公式求解【详解】以所在直线为轴旋转一周所得几何体圆台，其上底半径是，下底半径是16cm母线DC＝13(cm)该几何体的表面积为【点睛】本题的考点是旋转体的表面积的求法，关键是由平面图形想象出所得旋转体的结构特征，再求出所得旋转体的高以及其它几何元素的长度，考查了空间想象能力18、（1）；（2）【解析】（1）根据周期计算，，时满足条件，即，过原点得到，得到答案.（2）设，，根据函数最值得到，计算得到答案.【详解】（1），，故.向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=.即，故，即，时满足条件，即，，故.故（2），故，故，.设，即恒成立.即的最大值小于等于零即可.故满足：，即，解得【点睛】本题考查了三角函数解析式，函数恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.19、（1）或；（2）证明见解析【解析】（1）根据诱导公式和正弦、余弦函数的性质可得答案；（2）令，分，，三种情况，分别根据零点存在定理可得证.【详解】解：（1）由，得，所以当时，上述方程的解为或，即方程在上的解为或；（2）证明：令，则，①当时，，令，则，即此时方程有解；②当时，，又∵在区间上是不间断的一条曲线，由零点存在性定理可知，在区间上有零点，即此时方程有解；③当时，，，又∵在区间上是不间断的一条曲线，由零点存在性定理可知，在区间上有零点，即此时方程有解．综上，对任意的，方程都有解20、（1）见解析；（2）【解析】（1）易得BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；（2）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．试题解析：(1)证明如图，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．又侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC.(2)如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A