增材制造过程热力学模拟基础教程 课件全套1-10 -绪论 - 增材制造过程热力耦合模拟

第1章绪论概要1.1增材制造的概念与分类1.2增材制造过程的复杂性1.3数值模拟的基本概念与步骤1.4数值方法与数值模拟软件1.5本书内容及学习方法

增材制造概念与分类增材制造（AdditiveManufacturing，简称AM）是一种新型制造技术，它涉及使用数字模型文件指导逐层堆叠材料来制造物理对象的过程。

增材制造与传统的减材制造技术不同，后者涉及到去除材料或在材料上进行切削来实现设计要求。

增材制造能够生产出传统制造方法难以实现的复杂和精细的几何结构，并且可以减少材料浪费和缩短制造时间。增材制造概念与分类增材制造有时被称为3D打印，因为它允许用户通过计算机软件和数控系统来设计和制造三维物体,通过激光、电子束、热熔喷嘴等方法逐层堆积而成。增材制造技术不仅融合了计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助制造（CAM）和控制系统（CNC），还包括了对新材料技术的运用，如金属粉末、丝材以及其他可变形的材料。此外，增材制造还涉及了对激光技术和智能制造的支持，被视为制造业中的一大创新和技术发展的前沿.分为非金属和金属AM两大类

非金属增材制造技术1.分层实体成形LOMLaminatedObjectManufacturing

(LOM)，将三维模型离散成片状，使用薄片材料，通过激光切割与热压方式将片材粘连成三维实体。

非金属增材制造技术2.光固化成形SLAStereoLitbographyApparatus/Appearence(SLA),使用计算机控制激光照射在液态光敏树脂中，逐层固化堆砌成实体部件。

非金属增材制造技术3.选择性激光烧结SLS

SelectiveLaserSintering(SLS)，在均匀铺设的粉床上利用激光有选择性地进行扫描烧结，未扫描部分作为支撑，通过逐层烧结制造出实体部件。

非金属增材制造技术4.熔融喷丝成形FDMFusedDepositionModeling(FDM)，使丝状材料加热到熔点后喷出，堆砌出所需的轮廓，形成实体部件。

金属增材制造技术粉床熔融(PBF)包括激光选区熔化SLM和电子束选区熔化EBSM，预先在粉床上铺设粉末，然后计算机控制激光或电子束，根据需要选择区域熔化成形。

金属增材制造技术2.定向能量沉积(DED)包括激光送粉、电弧送丝、电子束熔丝等。将原料以粉末或金属丝的形式输送到基板上，同时聚焦高能束热源形成熔池，按照设计的路径逐层连续沉积材料，形成三维实体部件。

金属增材制造技术3.固相增材(SAM)以搅拌摩擦增材最具代表性，先将材料堆叠，通过搅拌头的插入、旋转、平移等运动，将堆叠材料连接在一起，形成实体部件。

其他分类方式按照材料形态划分粉末/颗粒增材丝材增材带材/片材增材液体材料增材按照工艺组合划分单步增材多步增材复合增材……第1章绪论1.1增材制造的概念与分类1.2增材制造过程的复杂性1.3数值模拟的基本概念与步骤1.4数值方法与数值模拟软件1.5本书内容及学习方法复杂性-多尺度

宏观尺度上所关注的问题是制造过程中的温度场、应力和变形等的分布和演化规律、以及成形件的强度、韧性、疲劳等服役性能。

微观尺度上所关注的问题则为枝晶生长规律、柱状晶向等轴晶转化等方面的机理与调控。

介观尺度上所关注的问题是制造过程中的熔池流动行为、以及粉末的流动性和熔化后的蒸发、飞溅现象。

复杂性-多物理场d．熔池内流体流动影响增加材料与基体材料的混合过程和连接质量。e.热量传输的不均匀性是熔池流动的主要驱动力，直接影响熔池的尺寸及其流态。f．熔池内金属为动态稳定流动，以对流换热为主，影响熔池位置的热量传输。a.增材过程中的质量增加影响热量传输，改变温度分布。b.热量传输导致的温度分布影响增加质量的熔化与凝固，进而影响增加的有效质量。c．质量增加影响熔池的形成及其流动特征。多物理场耦合关系图

复杂性-多物理场g.熔池内液体流动影响沉积层的凝固过程，进而对微观组织和相变过程产生影响。h.沉积层的凝固行为影响流体流动的边界，进而影响熔池内的流体流动行为。i.熔池液态金属的流动影响熔池形态和材料分布，进而影响热应力和变形。j.热量传输的不均匀性及局部性会导致构件产生热应力和变形。k.热量传输引起的温度演变会引起材料组织的改变。l.材料组织演化会伴随吸收或放出潜热，对增材过程的温度场有较大影响。m．材料发生相变伴随着材料体积和属性的变化，对材料内部应力演化行为产生影响。第1章绪论1.1增材制造的概念与分类1.2增材制造过程的复杂性1.3数值模拟的基本概念与步骤1.4数值方法与数值模拟软件1.5本书内容及学习方法

NumericalSimulation是指采用一组控制方程及相应的边界条件来描述一个物理过程（或物理过程的某一方面）；并运用数值方法求解，以获得对该过程的定量认识。什么是数值模拟？

针对某一物理过程进行数值模拟的一般步骤：1.建立模型2.离散求解3.结果描述在求解域内对控制方程进行空间和时间的离散化，进而采用合适的数值方法对离散化后的方程进行求解，获得数值结果。对结果变量进行显示、甄别、判断和分析，通过结果描述，可以获得对所研究问题的深入、全面的认识。

反映事物本质的数学模型，即微分方程和边界条件。模型合理是基石，抓住主要矛盾而忽略次要矛盾。如何做数值模拟？

鉴于增材过程的复杂性，将所涉及的所有物理过程同时进行模拟往往是十分困难且不现实的。人们常常有针对性地选取所关心的某一物理过程，或者某一工艺环节进行模拟。增材过程模拟的特点？如重点关注温度场时，可仅建立固体传热模型；关心粉末铺展效果时可对粉末流动行为进行模拟，关注熔池时仅对熔池内部流动行为进行模拟等。第1章绪论1.1增材制造的概念与分类1.2增材制造过程的复杂性1.3数值模拟的基本概念与步骤1.4数值方法与数值模拟软件1.5本书内容及学习方法

也叫做计算方法，数值分析.1.有限差分法2.有限单元法3.有限体积法在固体领域应用最广泛，求解域划分为有限个互不重叠的单元，借助于加权余量等方法将微分方程变为积分方程，结合单元插值函数（及其导数）构造离散方程。适用于各种复杂形状和边界，且离散形式规范便于程序实现。应用于流体流动及传热。将计算域划分为网格，利用网格点周围的控制体积将微分方程转换为对每个控制体积的积分方程，从而得到离散方程。因为考虑了守恒性质，比差分法效率更高、更稳定。

最早的数值方法，将求解域划分差分网格，用网格节点上的函数值的差商表示导数，微分方程变成差分方程。适用于规则几何特性和均匀材料。数值方法

通用CAE软件Nastran、Abaqus、Ansys、Marc、Adina等专用的CAE软件Deform、Forge、Dynaform、Fatigue、Adams、Fluent、Ls-Dyna、Optistruct，Simufact等嵌套在CAD/CAM系统中的CAE模块UG、I-Deas、Pro/E等数值模拟软件本课程中涉及的两个软件：Abaqus&Simufact。第1章绪论1.1增材制造的概念与分类1.2增材制造过程的复杂性1.3数值模拟的基本概念与步骤1.4数值方法与数值模拟软件1.5本书内容及学习方法本书内容增材制造过程的模拟案例增材制造过程热力学模拟基础教程增材制造过程基本概念、分类、复杂性以及数值模拟的必要性和重要性热力学基本理论与模拟方法弹塑性理论及模拟方法传热学理论及模拟方法热力耦合理论及模拟方法典型基本问题的模拟案例增材热力场的模拟案例很多人认为：“数值模拟就是软件操作”，跟设备操作一样简单。只要学会软件操作，就能得到仿真结果，就可以解决工程问题，不需要掌握有限元理论。这种观点是否正确？有人说：数值模拟“很难”，在模拟中总会遇到各种问题，根本原因在于：现有的商用软件太差，不够“智能”和“好用”。这种观点是否正确？答案：以上两个观点均错误!数值模拟的认识误区：学习方法1）软件操作的学习并不难，一般1-2个月可熟练掌握2）数值模拟是专业性极强、门槛很高的工作，模拟遇到问题时，首先应该考虑如何提高自身的专业水平，而不是把责任一味地推给软件。学习方法1）数值建模问题：模型的简化+计算效率。2）计算准确度问题：模型的合理性、结果收敛性。3）计算方法问题：算法的理解、选择和参数设定。4）新算法的开发：公式推导和编程能力。模拟的主要难点在于：（1）掌握基本的力学和有限元法知识；（2）认真学习软件的基础教程；（3）充分利用网络资源和帮助文档；（4）勤于思考并反复尝试。“理论知识+软件实践”有机结合是学习数值模拟的唯一正确之路！学习方法几条学习建议：谢谢大家！第2章弹性力学

及其有限元法概要概要2.1弹性力学的基本假设2.2弹性力学控制方程及边界条件2.3控制方程的等效积分形式2.4弹性力学问题的有限元方法二、均匀性假设：物体各处力学性质相同。单元体的力学性能可代表整个物体的力学性能一、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。1）引入连续性假设，就可以应用微积分知识解决大量工程问题。2）实践证明，研究物体宏观力学性能时，连续性假设可行。弹性力学的基本假设三、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质相同。沿各方向相同——各向同性材料,比如金属材料沿各方向不同——各向异性材料,比如复合材料四、小变形假设：构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小。FN,ABFN,AC受力分析—忽略变形影响；平衡方程—原位置和尺寸弹性力学的基本假设六、本构关系为线弹性注意区分：线弹性、非线性弹性、弹塑性等本构关系名词。五、本构关系与时间无关，不考虑应变率（蠕变松弛等）的影响弹性力学的基本假设1）在应变率不大、温度不太高和时间不太长的情况适用。2）每点的应力、变形与外载荷大小一一对应同步变化。

注意：对于增材制造，上述假定并不能够完全满足，例如增材制造材料表现出很强的方向性，而未融合、气孔等缺陷的随机出现也使得材料不再严格地满足均匀性假定。

但是，这些并不影响弹性力学及其有限元法的基础地位，即，要想发展更适合增材制造的分析方法，要以这些理论及方法为基础。概要2.1弹性力学的基本假设2.2弹性力学控制方程及边界条件2.3控制方程的等效积分形式2.4弹性力学问题的有限元方法提问：

连续体一点的基本力学变量有哪几类？分别是什么？基本变量汇总一点的基本力学变量位移:{u}=[u

v

w]T应变正应变切应变应力正应力切应力(x,y,z)dxdydzuvw提问：

这些基本变量之间是否有内在的关系？有什么样的关系呢？问题的描述在外力作用下物体产生变形，一点(x,y,z)的位移表示为：该点的体积力（重力）:表面力:三维物体，体积为V，表面为S，一部分边界Su有位移约束，一部分边界ST作用有分布外力

。三维微元体的平衡作用在微元体dV上的应力如图所示，一、平衡方程该点的平衡要求不同方向上的合力均为零，因此有：根据正应变和切应变的定义导出；分量与应力对应。二、几何方程syysyyszztyxsxxsxxtxytxytxzxyztyztzxtzy应力分量sxxsyyszz

xy

zx

yz应变分量

xx

yy

zz

xy

zx

yz三、物理方程（本构关系）-泊松比各向同性材料的广义胡克定律推导=++++各向同性材料的广义胡克定律力的边界条件四、边界条件位移边界条件弹性力学控制方程的向量-矩阵形式一点的基本力学变量体积力：位移:

应变：应力：空间问题-平衡方程空间问题-几何方程空间问题-本构方程平面弹性力学控制方程的矩阵表示平面问题-平衡方程平面问题-几何方程平面问题-本构方程平面应力：平面应变：概要2.1弹性力学的基本假设2.2弹性力学控制方程及边界条件2.3控制方程的等效积分形式2.4弹性力学问题的有限元方法控制方程的微分形式又称作强形式，难以通过解析方法求得其精确解，只能求其近似解。而近似求解方法需要将微分方程变换成积分方程，在此基础上通过放宽函数满足的条件，进而得到近似解。

弹性力学问题构造积分方程的方式主要有加权余量法和变分方法。前者数学意义明显，而后者物理含义明确。

这里主要介绍后者，包括最小势能原理和虚功原理两个。微分方程的积分形式δ弹性体在外力作用下会产生变形，外力做功的同时，弹性体也会存储一定的能量。最小势能原理一个弹性体的总势能π被定义为总应变能U和外力功势能Wp之和。最小势能原理—变分原理

对于弹性系统，在所有的许可位移场中，对应于平衡状态的位移场使得总势能取极值，如是最小值，则平衡状态是稳定的。许可位移是指满足位移单值条件和边界条件的位移。是系统处于平衡的充要条件。在数学上称为泛函，函数的函数。对泛函求导，称为变分。变形体的虚功原理若变形体有满足变形协调及约束允许的虚位移，则满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的虚位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功（虚应变能），即变形体平衡的充要条件：对于任意的虚位移，外力虚功等于变形体积蓄的虚应变能(即内力虚功）。变形体的虚功原理从平衡方程和力边条出发，推导虚功原理虚位移乘以方程：分部积分：代入上式：写作矩阵-向量形式：不同的构造方式，结果一样概要2.1弹性力学的基本假设2.2弹性力学控制方程及边界条件2.3控制方程的等效积分形式2.4弹性力学问题的有限元方法有限元法要点与流程1）将求解域离散化为若干单元，单元间通过节点连接成为组合体。2）在每个单元内假设场函数及其导数表达式，

代入弱形式获得单刚方程。3）按照编号组集所有节点方程，求解。有限元法列式（1）单元位移场（2）单元应变和应力场（3）单元势能及单刚方程上式对节点位移取极值：（4）组集总刚方程并求解谢谢大家！第3章简单应力状态下的塑性理论概要3.1塑性力学简介3.2单轴试验与静水压力试验3.3单轴应力应变关系的简化模型3.4描述塑性行为的几个基本概念3.5真应力与真应变3.6塑性变形的物理基础增材制造过程中材料经历快速加热、快速冷却的过程，还常伴随有机械力的作用。此时材料往往表现出较强的非线性。

因此，对增材制造过程中的力学行为进行仿真时，仅考虑弹性显然是不够的，必须充分考虑材料的非线性，尤其是塑性行为的影响，以确保数值模型及其仿真结果的合理性。为什么要考虑塑性？

1）简单应力状态下

试验资料、塑性本构、以及塑性的物理基础。2）复杂应力状态下

屈服条件、加载卸载准则、硬化规律、塑性本构等。如何学习塑性力学？弹性力学任务

弹性变形可恢复，弹性力学研究物体在弹性变形范围内的应力和变形分布规律。塑性力学任务塑性变形不可恢复，塑性力学研究固体发生塑性变形时的应力和变形分布规律。同弹性力学一样，塑性力学也是连续体力学的一个分支，基本方程包括平衡、几何和本构三个方面。前两类方程与材料性质无关，因此普遍适用。二者的主要区别在于第三类方程。塑性力学内容及特点塑性力学内容包括两大部分：1）描述材料在塑性阶段的应力与应变之间的本构关系2）根据这些理论，应用合理的方法解决工程实际问题。由于塑性本构关系具有非线性和非单值对应（取决于加载历史）等特点，因而塑性力学比起弹性力学复杂的多，解析求解困难更大，更需要应用数值方法，如非线性有限元方法。长期以来，塑性力学的主要研究对象是金属，已形成了一套较完善的理论及方法体系。随着新型材料和结构的不断出现，如增材材料、复合材料、超材料等，塑性力学仍在不断发展。概要3.1塑性力学简介3.2单轴试验与静水压力试验3.3单轴应力应变关系的简化模型3.4描述塑性行为的几个基本概念3.5真应力与真应变3.6塑性变形的物理基础为了研究材料的塑性变形性质，通常要进行室温下的静载试验，其中最简单的就是单轴拉伸或压缩试验。低碳钢的单轴应力应变曲线如右图所示。低碳钢单轴应力--应变曲线单向拉伸/压缩试验低碳钢单轴应力--应变曲线无论是屈服、硬化还是软化阶段，材料都会产生新的弹性和塑性变形，称为加载过程。

那么，卸载和反向加载过程又如何呢？请从C点开始进行认识和讲解。两种硬化方式滞回环低碳钢单轴应力--应变曲线（1）加载过程中应力应变关系是非线性的。（2）应力与应变不再是一一对应的单值关系，如右图的OAB/OABCD/OABCEF。原因在于加载历史不同，所以称为历史相关性。（3）外力在塑性变形上做的功叫做塑性功，塑性功将被材料的塑性变形消耗掉，是不可逆的。请问塑性功对应图中哪些部分？（4）其他，如温度和加载速率，也会有影响。总结

Bridgeman对金属材料在静水压力（各向均压）下体积改变进行了实验研究，体积变形与静水压之间关系式为静水压试验发现：1）第二项远小于第一项，可以忽略；--体积变形与体积应力之间是线性关系。2）卸去静水压后没有残余体积变形，体积变形是弹性的；—静水压力不会引起塑性变形。3）这种体积变形很小，例如钢在1000MPa下仅为0.6%；—当发生较大塑性变形时，可忽略弹性体积变化。概要3.1塑性力学简介3.2单轴试验与静水压力试验3.3单轴应力应变关系的简化模型3.4描述塑性行为的几个基本概念3.5真应力与真应变3.6塑性变形的物理基础

单轴应力-应变关系的数学表达式，可以通过对单轴拉伸（压缩）的试验曲线进行数学拟合得到。

然而，在一些实际工程的弹塑性问题计算分析中，这样的表达式可能是较复杂的。

为此，需要针对不同材料的特点进行适当简化，得到基本上能反映材料的力学性质又便于数学计算的简化模型，最常用的简化模型有如下三种：

1）理想弹塑性模型； 2）线性硬化模型； 3）幂指数硬化模型。（1）理想弹塑性模型如图所示，当应力一旦达到屈服极限，就不能再增加，材料可以产生任意的塑性变形。是一个不确定数，可取任意值。理想弹塑性模型（2）线性硬化模型将连续的应力应变关系曲线近似为两个线性段。线性硬化弹塑性模型（3）幂指数硬化模型对于大多数材料而言，硬化曲线是非线性的，采用指数函数可以的到较好的近似程度某铝合金单轴应力应变曲线k和n需要拟合试验曲线得到。且这两个参数不是相互独立的，需要满足在时概要3.1塑性力学简介3.2单轴试验与静水压力试验3.3单轴应力应变关系的简化模型3.4描述塑性行为的几个基本概念3.5真应力与真应变3.6塑性变形的物理基础

注意：上面的几种简化模型是针对单调加载情况而言的，采用全量应力和全量应变表达。

当涉及到卸载和反向加载时，建立本构模型会更复杂，需要考虑加载历史，采用增量描述比较方便，一般完整的本构关系必须包括： 1）屈服函数与屈服条件 2）加卸载准则 3）加载历史与硬化规律。以上都是什么意思呢？（1）屈服函数与屈服条件也常称为屈服条件。屈服条件是判断某点是否达到屈服的充分必要条件，是弹、塑性的分界条件。根据试验可确定屈服应力，无论单轴拉伸还是压缩，当应力绝对值小于屈服极限时材料处于弹性状态，当应力绝对值达到屈服应力时材料屈服，引入屈服函数，该问题数学描述为：线性硬化材料（2）加、卸载判别准则对于如图所示的硬化材料，1）拉伸屈服后()：若dσ>0,加载；若dσ<0,卸载；2）压缩屈服后()：若dσ<0,加载；若dσ>0,卸载；3）拉伸或压缩：若dσ=0,不加载也不卸载。结合屈服函数表达式，加卸载条件表示为：（3）加载历史与硬化规律塑性应变给定，应力与应变就能一一对应。

前面指出：不同的应力路径达到相同的应力状态，塑性应变不同，但弹性应变相同。因为弹性变形只取决于应力状态，与加载历史无关，与是否产生塑性变形也无关。基于此，单轴加载本构关系可写作：因此，塑性应变反映了加载历史，通常我们把刻画加载历史的变量称为内变量，显然，塑性应变可以作为内变量。考察单轴拉伸情况，材料硬化使得屈服极限提高，新的屈服极限就是，进入初始屈服后历史上曾经达到的最大值。因此，新的屈服条件可表示为：上式表明：如果材料当前应力等于历史最大值时，则材料处于后继屈服状态，也称加载状态，上式称为后继屈服条件，又称加载条件。如果材料当前应力小于历史最大值，则材料处于卸载状态（或后继弹性加阶段）。（3）加载历史与硬化规律应力历史最大值在增大的过程中必将产生新的塑性变形，即引起内变量的改变，因此，它应是一个随塑性变形（内变量）历史单调增长的量，即可表示为后继屈服条件用函数形式表示为：这是拉伸条件下的，若要考虑压缩呢？（3）加载历史与硬化规律

从零应力O点加载至C点，然后卸载到E点，所产生的塑性变形为OE，再从E点反向加载到G，最后卸载回到H点，在反向加载中所产生的塑性压应变，大小为HE，因此最终总的塑性应变为OH，而累积塑性应变则为|OE|+|EH|。（3）加载历史与硬化规律无论加载还是反向加载，只要产生新的塑性变形，塑性功总是增加的，且与塑性变形相对应的。拉伸变为压缩并反向进入塑性时，内变量可取累积塑性应变这样可以反映塑性变形的历史累积效应。此外，内变量也可取为塑性功:硬化函数k的初值是（3）加载历史与硬化规律请对比认识屈服条件和后继屈服条件表达式等向硬化下，若取内变量为，则加载条件可表示为:（3）加载历史与硬化规律相当于曲线的原点随硬化过程移动到新的位置O’，该点应力值称为背应力b，其值取决于塑性历史。

随动硬化，由于包辛格效应减小了反向的屈服应力，使得拉压屈服应力之差始终为此时，加载条件表示为：对比三种屈服和加载条件（3）加载历史与硬化规律加载过程中背应力增量为即确定了背应力。等向硬化函数k和随动硬化背应力b均可通过单轴试验确定。从如下左图所示的试验曲线

中减去弹性应变后可得到右图所示的曲线，即可得硬化函数：。定义该曲线切线斜率为塑性模量，即（3）加载历史与硬化规律塑性模量Ep与应力应变关系切线模量Et的关系推导如下：概要3.1塑性力学简介3.2单轴试验与静水压力试验3.3单轴应力应变关系的简化模型3.4描述塑性行为的几个基本概念3.5真应力与真应变3.6塑性变形的物理基础真应力与真应变拉压杆横截面上的应力定义为式中A一般取杆件的初始横截面积A0，称为名义应力（Nominalstress），相应的应变度量为式中分母l也取杆件初始长度l0。

对应的应力应变曲线也称为名义应力-应变曲线，适用于小变形下的弹性问题。真应力与真应变

塑性变形较大时，名义应力应变曲线不能真正代表加载和变形状态。例如，颈缩阶段，试件横截面积（及长度）变化较大，再用初始值会带来很大误差。此时，应使用真应力和真应变，分别为“轴力除以真实横截面积”和“长度改变量除以当前长度”。真应变又称为对数应变，也称自然应变。应力推导中应用了材料的体积不变。真实面积和当前长度是不断变化的，如何表示呢？概要3.1塑性力学简介3.2单轴试验与静水压力试验3.3单轴应力应变关系的简化模型3.4描述塑性行为的几个基本概念3.5真应力与真应变3.6塑性变形的物理基础塑性变形的微观机理—晶格物质由原子构成，原子间存在引力和斥力。

没有外力作用时，原子处于平衡状态；受外力变形时，原子间距及力平衡态随之改变。

金属材料内部原子结构具有几何规则性和周期性，排列方式称为晶格，主要有三种类型：

(1)面心立方FCC(Face-centeredCubic)(2)体心立方BCC(Body-centeredCubic)(3)六方密排HCP(HexagonalCloselyPacked)三种晶格具体长什么样子？塑性变形的微观机理—晶格1）面心立方晶格FCC：原子位于正立方体的角点及各面的中心，这类金属有铝、铜、镍和许多铁基合金，如奥氏体钢等。2）体心立方晶格BCC：原子位于正立方体的角点及立方体的中心，这类金属有铁、钛、铌、钼、钒等。3）六方密排晶格HCP：原子位于六边形柱体的角点、顶面和底面的中心、及不相邻三角柱体的中心，这类金属有镁、锌、铍等。注意：晶格边界上的原子是与相邻晶格所共有的。（a）面心立方

（b）体心立方

（c）六方密排塑性变形的微观机理—晶格滑移

晶格中存在原子排列最密平面，称为解理面。各层原子间发生相对滑动时（剪切变形），总是沿着与解理面平行的面进行，所以解理面又称为滑移面。

在滑移面内，原子排列最密的方向是最易滑动的方向，称为滑移方向。每个滑移面与其上的滑移方向构成晶体的一个滑移系。例如，六方密排晶格中，只有一个滑移面（即上下底面），其上有三个滑移方向，因此共有三个滑移系。外力作用下，晶格中的原子偏离原来的平衡位置，引起晶格畸变，晶格变形情况如图所示。塑性变形的微观机理—晶格滑移

当外力较小时，晶格变形不足以改变晶体点阵的基本排列形式，如图（b）和（c）所示。此时，外力卸除后各原子又恢复到原先稳定的平衡位置。即：晶体变形是弹性的，弹性模量的大小则取决于晶格原子间的结合力。塑性变形的微观机理—晶格滑移

当外力较大时，各层原子之间沿着某一滑移面上的某一滑移方向产生相对滑移，或者说开动了某一个(或多个)滑移系，如图（d）所示。

这样的滑移改变了晶体点阵的基本排列形式，当外力卸除后，原子再不能恢复到原先的位置，晶体产生不可恢复的塑性变形。

晶体产生塑性变形的条件是：沿滑移面至少滑动一个原子间距；即剪切应变达到“1”的量级，根据剪切胡克定律，塑性变形的微观机理—晶格滑移剪应力应为剪切弹性模量的量级。但是,单晶体试验测定的极限剪应力比上述理论值小100-1000倍，理论与试验偏差较大，原因在哪里？早在20世纪20年代，人们提出使用位错理论来解释这种偏差。

位错：实际结晶时受杂质、温度变化影响，内部质点排列变形所形成的线状缺陷，如图（a）所示。塑性变形的微观机理-位错滑移

位错改变了晶体剪切滑移方式：不再是滑移面上原子层的所有原子一起滑动，而是位错上的原子首先滑动，同时位错线的位置也逐步移动，最终使得上下原子层滑动一个晶格的间距，如图（b）-（d）所示。

由于每次只需将位错线上原子的原子键断开，因此推动滑移的剪切力很低。

同时由于剪切滑动是逐步进行的，材料会表现出较好的延性。位错在晶体内运动引起原子层的滑动，这就是金属材料产生塑性变形的主要原因。塑性变形的微观机理—屈服极限位错运动不是自由的，要受到各种阻力。材料屈服极限的提高，归根结底是由于位错运动的阻力增加。阻力主要来源于两个方面，一是位错之间的相互作用，另一是由于金属中存在非纯原子（所谓杂质原子）。“添加少量其他元素”提升金属性能的理论基础单晶体的塑性变形显然与外力相对于晶体取向的方向有关。因此，单晶体是各向异性的。塑性变形的微观机理—各向异性当它在某一方向承受很大的外力时，材料内的各个晶粒逐渐向外力施加的方向转动，形成所谓的择优取向，使材料逐渐变为各向异性。我们所研究的物质点包含大量单晶，晶粒大小和形状各不相同且取向无序。因此，材料在宏观上各向同性的。

实际材料中的位错形式和分布及其运动非常复杂。直接由复杂的位错模型建立材料的塑性理论是细微观塑性力学的重要内容之一。“晶体塑性模型”CrystalPlasticModel，从晶体塑性理论出发，描述多晶体中晶粒内非均匀形变区演化的模型。塑性变形的微观机理—晶体塑性例题3.1：如图所示，简单拉伸下材料的应力-应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为然后卸载并反向加载，针对随动和等向硬化，找出反向加载中的应力应变关系。代入式（3.15）得到：根据式（3.16）得到：当应力σ<-153.5MPa,将产生压缩塑性变形，塑性应变增量为，累积塑性应变为当应力从246.5MPa开始卸载时，f<0，直到反向加载到-153.5MPa，f=0，重新进入屈服。在这个过程中，塑性应变保持为0.002不变。因此，在σ=-153.5MPa时对应的应变是：根据式（3.16）背应力演化为代入式（3.14）得因此，应力应变关系为例题3.1：如图所示，简单拉伸下材料的应力-应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为然后卸载并反向加载，针对等向硬化，找出反向加载中的应力应变关系。等向硬化情况，请自行学习和练习。例题3.2：如图所示的平面杆系结构由三个杆组成，杆件为理想弹塑性材料，各杆的横截面积均为A，第2杆长为l，它与相邻的第1杆和3杆夹角均为450C，在O点作用垂直向下的荷载P，求使杆件开始屈服的荷载，并讨论屈服开始后各杆的变形情况。解：由平衡关系由几何关系当P从零开始增大，先弹性阶段，σ=Eε，联立上述三个方程，可得O点向下位移为杆2应力最大，首先进入屈服，此时载荷及位移为：

屈服后，随着载荷的增大，2杆的应力不再增加，单从本构方程来看，其塑性变形可以任意，但由于受1杆和3杆限制，实际并不能任意增加。这时杆系结构退化为静定结构，第1、3杆的应力应变易求出为

结合变形协调条件（a）式，O点向下位移为称为塑性极限载荷。将式（i）代入式（h），并考虑式（e），可得对应的位移为。随着P的进一步增大，，三杆全部屈服，结构丧失承载能力，根据（f）可得对应载荷大小为综上可得载荷位移曲线如下卸载过程，请同学们课下练习。谢谢大家！第4章复杂应力状态下的塑性理论概要4.1研究方法简介4.2应力张量分析4.3应变张量分析4.4弹性本构关系分析回顾：前章讲了什么内容？

前章通过简单应力状态试验说明了塑性变形的特点，并给出单轴弹塑性行为涉及到的一些基本概念，包括：

1）屈服条件；2）加卸载判断；3）变形历史；4）硬化规律5）应力应变关系。

1）建立屈服条件

对于给定的应力状态和应力历史，确定材料是否超过弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服。2）判断加、卸载

加、卸载过程应力应变关不同，需要建立相应的判断准则。3）记录应力或变形历史应变不仅取决于应力状态，还取决于达到该状态的应力历史，须对演变历史进行记录。涉及塑性的基本点有哪些？4）描述硬化规律

随着塑性变形的发展，屈服应力也会改变，金属材料会硬化，需要确定屈服应力随塑性变形的变化规律。5）建立增量塑性应力应变关系塑性问题应从某一状态出发，跟随加载过程，用增量形式描述并逐步求出每个时刻的增量，累加后得到当前应力和应变。所以需要建立增量型弹塑性本构关系。涉及塑性的基本点有哪些？实际问题的特点？

以上五个问题对于单轴加载易通过试验确定，对于多轴复杂应力状态，应力分量有6个，加载路径无限多。要把每种应力路径都做试验是不可能的，更何况复杂加载的试验在设备和技术上仍然存在很大困难。

实际问题的研究/处理方法？1）宏观唯象塑性理论

研究宏观塑性性质时，将材料看作连续体，以宏观试验数据为基础，提出简化假设，通过分析和推理建立塑性力学的宏观理论。只是在一定范围内获得合理的近似结果。2）细微观塑性理论细微结构在外力作用下的不可逆改变是材料产生塑性变形的内在机制。从细微结构出发研究宏观塑性就是细微观塑性理论。尽管细微观塑性理论正在迅速发展，但目前工程应用仍然以宏观塑性理论为主，本书限于宏观塑性理论的基础内容。概要4.1研究方法简介4.2应力张量分析4.3应变张量分析4.4弹性本构关系分析为什么要探讨分解？

要在一般应力状态下讨论塑性变形问题，首先要对应力及应变的张量表述、不变量、以及其分解特点进行分析。应力张量的分解

静水压力不影响塑性行为。因此，为了研究塑性变形，很自然地要把应力分解为静水压和产生塑性变形的两部分。切应力互等定理静水压力的特点是物体各点均承受相同的正应力，而不存在切应力，结合应力的张量表示，分解式可写作应力张量的分解称为平均正应力，公式中用到了指标求和约定。

应力张量的这种分解在塑性力学中具有基础和重要意义!!应力张量的分解δij为单位球张量，sij为偏应力张量，

或应力偏张量。

应力不变量《材料力学》中已经从主应力不变量出发，结合相关试验及假定，推导和构建了四个强度理论：启示：基于应力不变量可以更好地分析和讨论应力状态及失效等问题。在《工程力学》的应力状态相关学习中已经了解到，一点总可以找到互相垂直的三个主平面，其上剪应力为零。主平面的法线方向称为主方向或应力主轴，主平面上的正应力称为主应力。三个主应力通常按照代数值排序，即有。主应力不随坐标轴的选取而改变，可看作是衡量一点应力状态的三个“不变量”。讨论图示四面体ABCD的平衡问题，外力作用的边界面ABC上，单位面积的外力分量：边界面的外法线分量：沿着三个坐标轴方向上的力平衡：边界上的应力平衡-力边界条件若该斜面为主应力斜面，上面的公式怎么变化？

应力不变量根据斜面上应力公式（力的边界条件），主应力方程为：上式是关于nx、ny和nz的齐次方程，具有非零解的条件是式中：

应力不变量特征方程的系数J1-J3，是塑性力学中常用的应力张量的三个不变量。同样地，应力偏量也存在三个不变量第二不变量用的最多，其量纲是什么？应力不变量等效应力对于简单拉伸有若假定相等的两个状态力学效应相同，则可定义上式即为在意义下衡量的等效应力或应力强度。等效应力特点：1)

与空间坐标系的选取无关；

2)与应力球张量无关，即与静水压力无关；3)

当主应力全都反号时数值不变。4)上式即为材料力学中第四强度理论的相当应力。

应力不变量注意区分等效应力和等效剪应力的定义，并明确二者在数值上的关系。等效剪应力类似地，对于简单拉伸有进而可定义等效剪应力练习题：某点的应力张量如右所示。试求：1）平均正应力及应力偏张量；2）该应力张量的三个不变量；2）应力偏张量的三个不变量；3）等效应力及等效剪应力。应力空间

对于各向同性体，力学行为与空间方向无关，因此可只关注主应力的大小，而不考虑方向，即采用主应力空间，如图所示。它是以为坐标轴的假想三维空间。

三维空间中x、y、z三个坐标值可以确定空间一个点的位置。类似地，一点的独立应力分量有六个，以它们为坐标轴就得到六维应力空间。若采用表示主应力空间中3个坐标轴方向的单位基矢量，则任一点P的应力状态表示为应力空间下面我们来讨论主应力空间中具有重要性质的线和面。直线ON代表的正是静水压状态，称该直线为静水压力轴。过原点O以静水压力轴为法线做一个平面（图中虚线平面），该平面上任意一点所代表的应力状态有此平面代表的就是偏应力状态，称为π平面。在主应力空间，过原点O作一条与3个坐标轴具有相同夹角的直线（图中ON），该直线上任一点所代表的应力状态为应力空间几何上，矢量OP可分解为在静水压力轴和在π平面上投影的矢量和，这就直观地给出了任意应力状态可以分解为静水压力部分和偏应力部分之和，表达式为

OQ为主偏应力矢量，位于π平面上；ON为静水压矢量，位于静水压轴线上。

综上，基于试验结果结合应力张量分解，本小节指出塑性变形只与应力偏张量有关；

通过主应力以及应力不变量的探讨定义了等效应力、等效剪应力，它们都与应力偏张量的第二不变量息息相关；

主应力空间则为应力张量的分解提供了几何形象和数学工具。应力张量分析总结概要4.1研究方法简介4.2应力张量分析4.3应变张量分析4.4弹性本构关系分析体积应变下面讨论图示微六面体的体积变化。设六面体的边长分别为dx、dy、dz，则变形前体积是V0=dxdydz。变形后的边长及体积分别表示为：计算上述行列式，略去高阶小量得到：体积应变为：体积改变只与线应变相关，与剪切无关！！应变张量分解类似于应力张量，应变张量可以做分解如下：张量标记形式为：其中平均应变为：看一下平均应变与体积应变之间的关系？平均应变更具数学意义，而体积应变更具物理意义。式中第二项为偏应变张量应变张量不变量类似于应力张量和应力偏张量，应变张量和应变偏张量也存在不变量。其中与塑性相关的是应变偏张量的三个不变量表示为其中，和（i=1-3）分别是应变张量和偏应变张量的主值。等效应变当材料不可压缩时（泊松比0.5），在简单拉伸情况下有在纯剪切下，等效应变（或应变强度）为于是，等效剪应变（或剪应变强度）定义为例题：某点的应变张量如右所示。试求：1）体积应变及应变偏张量；2）应变偏张量的三个不变量；3）等效应变及等效剪应变。概要4.1研究方法简介4.2应力张量分析4.3应变张量分析4.4弹性本构关系分析弹性本构关系分析采用张量下标记号时，广义胡克定律可以表示为考虑到应力和应变的分解，上式亦可表示为--分别为平均正应力和平均正应变，--分别为偏应力和偏应变张量--为体积应变--称为体积模弹性量此外，需要注意到

综合等效应力/应变、等效剪应力/剪应变公式，以及以上三式，可建立等效应力与等效应变、等效剪应力与等效剪应变之间的关系式弹性本构关系分析

请同学们尝试该推导过程。弹性本构关系进一步分析由上面公式，进一步得到

上式在弹性范围内给出应力偏量与应变偏量之间的关系，同时它在形式上便于推广到应力-应变非线性关系的情况。

当应力从加载面卸载时，由于塑性应变的存在，应力与应变全量间不再满足广义胡克定律，但是应力增量与应变增量之间仍满足，即弹性应变能

此外，在建立Mises屈服强度准则时提到弹性应变能可以分解为体积应变比能和形状改变比能两部分，根据本节讨论其中形状改变比能还可以表示为

上式不仅在更一般的形式下给出了应变比能与偏应力第二不变量之间的正比例关系，而且给出了由等效应力和应变表示的形状改变比能。谢谢大家第4章复杂应力状态下的塑性理论概要4.5屈服条件4.6加载条件、内变量、一致性条件4.7硬化模型在复杂应力状态下，材料初始弹性状态的界限称为初始屈服条件，简称屈服条件或者屈服准则，它是判定材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。屈服条件的概念与几何特征对于简单拉伸/压缩，屈服条件是什么？简单剪切呢？复杂应力状态呢？屈服条件的概念与几何特征

复杂应力状态时,一点的应力状态有六个分量，不能选取某一个分量作为判断标准，而应考虑所有应力分量对材料塑性的影响。因此，屈服准则是六个应力分量的函数

该函数在应力空间中构成一张曲面，该曲面称为屈服面。

应力较小时，对应点位于坐标原点（零应力）附近，此时材料处于弹性。

这就是说在应力空间中，围绕着坐标原点有一个弹性区域，应力若在弹性区内变化时，只会产生弹性变形。屈服条件的概念与几何特征当应力增加到一定程度，材料便进入塑性状态。

这就是说，弹性区存在一个边界，当达到或超过这个边界时，材料开始塑性变形，所以边界以外的区域称为塑性区。

实际上，这个边界就是屈服面，屈服面将应力空间分成弹性区和塑性区两个区域，且塑性区将弹性区包围在内。因此，又可以叙述为：应力状态

位于屈服面之内时，即材料处于弹性状态；当应力状态位于屈服面上时，即材料开始屈服，进入塑性状态。对于各向同性材料，坐标变换对屈服没影响，故可用主应力或应力不变量来表示屈服函数静水压不影响屈服此外，一般假定拉伸和压缩屈服是一致的，所有应力分量改变正负号时屈服函数的值保持不变，即屈服条件的概念与几何特征

在如下主应力空间中，任一点的应力状态可用矢量表示，进而可以方便地刻画屈服函数的几何特征，也即屈服面。在主应力空间中，屈服面是什么样的呢？屈服条件的概念与几何特征P点和Q点应力状态的比较：

沿着静水压力轴ON方向，二者的坐标不同，Q点的静水压力为零，而P点的静水压力大于零。

但是，在垂直于静水压轴的方向上（π平面及与之平行的平面内），二者与原点O的相对位置是一样的。

由于静水压不影响屈服，当P点达到屈服时，Q点以及PQ所在直线上的所有点都进入屈服。所以，屈服面是一个与π平面垂直的曲柱面，如右图常用屈服条件根据试验结果确定屈服面的方法：1）选择有限个应力路径进行加载试验，得到屈服面上的有限个点后进行数学拟合；2）通过试验观测和理论分析，针对影响屈服的主要宏观力学因素提出某种假设，进而给出屈服条件的表达式，再由实验进行验证。

经典塑性力学中最常见的两种屈服条件是Tresca屈服条件和Mises屈服条件，它们分别基于最大剪应力和偏应力第二不变量是影响屈服的主要因素的假定而提出，均能基本符合实验结果。式中常数k1可由单轴拉伸或纯剪切实验确定。如单轴拉伸时屈服应力是σs

，此时，代入屈服条件可得k1=σs/2。

纯剪切时屈服剪应力为τs

，此时，代入屈服条件可得

。常用屈服条件不同试验确定的材料常数不一样，如何理解？(1)Tresca屈服条件Tresca于1864年基于金属挤压试验提出：当最大剪应力达到某个极限值时，材料发生屈服，表达式为常用屈服条件单轴拉伸试验确定纯剪切试验确定

从理论上讲，若Tresca条件准确，则常数k应当仅取决于材料，与达到屈服时的应力状态无关，也就是说通过任意应力状态所确定的常数值都应相等。

即对于该材料，单轴拉伸屈服应力是纯剪切屈服应力的两倍。然而，对于多数实际材料，这个关系是不能准确满足的。Tresca条件还可以写作上式就是材料力学中四大强度理论中的第三强度理论。此时，对比上面两种简单试验结果，需要有常用屈服条件(2)Mises屈服条件Mises在1913年提出了另一种屈服条件：当偏应力的第二不变量达到某个极限时，即与Tresca条件相比，Mises条件与多数实际材料的实验结果更加接近。k2由简单实验确定。采用单轴拉伸和纯剪切实验分别得到如果材料严格服从Mises屈服条件，则其单轴拉伸和纯剪切的屈服极限满足结合等效应力的定义，Mises条件还可以写为这就是材料力学中的第四强度理论概要4.5屈服条件4.6加载条件、内变量、一致性条件4.7硬化模型材料进入塑性屈服后，继续加载时，屈服条件是否变化呢？

如果材料是理想塑性的，屈服面不会发生变化，始终为图中所示的初始屈服面，应力状态点不能落在屈服曲面以外。

此时的后续“加载”过程，表现为在屈服面上从一个点变换到另一个点，即所谓的塑性流动状态。

同时，屈服面是弹性边界，应力点从屈服面内部逼近曲面时，材料始终为弹性，所以屈服条件总可以写成应力分量的函数，即

。加载条件材料进入塑性屈服后，继续加载时，屈服条件是否变化呢？

对于硬化材料,塑性应变增加导致屈服面随之变化。如图所示，A点所在曲线为初始屈服面，从A点加载到B点将产生塑性变形，屈服面随之变化。

从B点卸载回到弹性，然后沿任意路径重新加应力，如沿BDO卸载，再沿OEF加载。当应力达到初始屈服面（E点）时，材料不屈服，只有达到新的屈服面（F点）时，材料才会重新进入屈服。加载条件材料进入塑性屈服后，继续加载时，屈服条件是否变化呢？

因此随着塑性变形的不断发展，屈服面会不断变化，材料不断硬化。

加载、硬化、屈服面变化是相互伴随、同时发生的,塑性变形是其根本诱因。

若继续加载，应力路径会向新的屈服面外变化，又将产生新的塑性变形，进而使得屈服面再次改变。

通常将变化中的屈服面称为后继屈服面或加载面，描述加载面的方程称为后继屈服条件或加载条件。加载条件

显然，加载面或加载条件的变化取决于材料所经历的塑性变形历史。使用一组内变量描述变形历史，它可以是一个或多个标量、矢量或张量。则加载条件表示为上式称为后继屈服函数或加载函数。在应力空间中所代表的加载面是一簇以

为参数的曲面，即

的等值面。材料进入初始屈服时尚未产生塑性变形上式退化为初始屈服面。随着塑性变形的产生和发展，内变量不断变化，加载面将按照上式随之产生变化，这种改变也称演化。加载面随内变量的演化规律实质上就是材料的硬化规律。加载条件首先来理解一下内变量的概念。描述连续介质的力学量一般可分为两类：

一类是能直接从外部观测得到的量，如总的应变、载荷、温度等，称之为“外变量”；

另一类是不能（或不易）直接观测的量，它们表征材料内部的变化，如塑性应变、以及在塑性变形过程中消耗掉的塑性功等，称为“内变量”。内变量

定义内变量的方法有两种：1.“微细观物理”方法2.“宏观唯象”方法内变量通过塑性应变和其他宏观变量构成。除塑性应变外，最简单的“宏观唯象”内变量，是一个被称为硬化参数的变量。使用描述材料内部微细结构不可逆改变的微细观变量作为内变量，比如金属材料中的位错密度、晶格取向分布等；内变量内变量

对于硬化参数的定义，一般要求它随塑性变形而递增，即只要产生新的塑性变形，硬化参数就应增加。

通常使用的硬化参数有两个：1）累积塑性应变，2）塑性功，下面使用增量的概念对这两个量的定义进行说明。内变量回顾：一维简单应力情况下的累积塑性应变是什么？对于任意的应力增量，若其产生的塑性应变增量为，其偏量为，累积塑性应变增量采用类似于等效应变的定义上式第二个等式成立是因为屈服条件与静水压力无关，也即塑性体积应变增量为零内变量

将每一个应力增量下的累积塑性应变增量或塑性功增量按照上面的公式计算，然后累加起来，即计算积分

或可得当前状态的累积塑性应变或塑性功。塑性功增量是指单位体积内应力在塑性应变增量这部分能量是不可恢复的，它将在塑性变形过程中耗散掉。塑性内变量一致性条件当应力状态从加载面上向加载面外变化时，将产生新的塑性变形，引起内变量增加，这时，加载面会随之改变，使得更新的应力状态处在更新的加载面上。即，应力状态始终都不能位于加载面之外。如图所示，t时刻应力和内变量位于加载面上；在t+dt时刻，应力和内变量应位于加载面上，即一致性条件将上式使用泰勒级数展开，略去高阶项，并考虑到

则得到加载过程中应力增量与内变量增量之间的关系上式称为一致性条件，它是根据加载过程中应力点始终保持在不断更新的加载面上这一原则导出的，它给出了内变量随应力改变的演化方程。概要4.5屈服条件4.6加载条件、内变量、一致性条件4.7硬化模型硬化模型

材料在加载过程中，加载面随塑性变形的历史发展而不断地改变。

而且，对于特定的应力路径而言，加载面的变化应满足更新的应力状态点始终处在更新的加载面上，满足这个条件的加载面变化从理论上讲无限多。

因此，如何确定加载面随内变量的演化规律，即硬化规律，一般是很复杂的，不容易通过实验方法完全确定。硬化模型对于初始各向同性的金属材料，在塑性变形过程中，由于晶格的择优取向，常常会导致材料性质呈各向异性（称之为变形诱导的各向异性）。

随着塑性变形的增长，这种诱导的各向异性效应会更加显著，这使得加载面的演化更加复杂。

为了便于实际应用，人们不得不对加载面的演化规律进行若干简化，下面介绍几种简化的硬化模型。等向硬化模型在单向应力情况下，等向硬化理解为：材料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所有其他方向上的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。等向硬化模型认为加载面形状和中心位置不变，只有大小变化，即在应力空间作形状相似的扩大，如图所示。这实质是假定材料在硬化后仍保持各向同性，忽略了塑性变形诱导的各向异性的影响。加载面数学公式为与一维公式一样吗？等向硬化模型1）对于两个任意的加载路径，在任何时刻，如果它们经历的累积塑性应变相同，则它们的应力状态处在同一加载面上,相应地相同。2）这就意味着：对于所有的加载路径，比如单轴拉伸、纯剪切等，

关系相同，因此，通过个别加载路径比如单轴拉伸确定的关系曲线，可以适用于所有其他的加载路径。

下面以Mises材料为例，说明如何根据一些简单的实验确定等向硬化模型加载面的演化。参照式（3.45），Mises材料的加载面方程可写成如取内变量为累积塑性应变，则有随动硬化模型

当塑性变形较大，特别是应力反复循环变化时，金属材料表现出明显的各向异性特点，等向硬化模型不再适用。

一些金属材料在单轴拉、压反复载荷作用下，具有包辛格效应，即正向屈服极限提高多少，则相反方向上的屈服极限就降低多少。

Prager等将这个模型推广到复杂应力情况，认为在硬化过程中，加载面的大小和形状不变，只是中心移动，即加载面在应力空间中作刚体平移，如图所示。加载面表示为

是一个表征加载面中心移动的二阶对称张量，称为背应力,它取决于塑性变形历史，也属于内变量，k是材料常数。混合硬化模型

加载面大小、形状和中心位置都随加载过程改变，如图所示，它是前面两种情况的综合，数学上表达为

应当指出：以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在应力空间中进行的。

由于应力可以通过应变表示，因此，屈服条件和加载条件也可以在应变空间中讨论，这对岩土类应变软化材料来说会更方便。谢谢大家！第4章复杂应力状态下的塑性理论概要4.8Drucker公设4.9加卸载准则4.10塑性本构关系的增量表达塑性功与Drucker公设

由于本节讨论的塑性本构关系都建立在Drucker公设的基础上，而Drucker公设的本质是说明塑性功具有不可逆的性质。为此，首先清楚什么是塑性功，以及如何计算。

塑性功属于内变量，定义和计算时要对塑性行为做出一些假设，这里再次明确列出：i）材料的塑性行为与时间、温度无关，因此塑性功与应变率无关，在计算中没有惯性力、也没有温度变量的出现。ii）任意时刻的应变均可以分解为弹性应变和塑性应变两部分之和，即iii）材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变，即有：始终成立,不管塑性如何。塑性功与Drucker公设

在这些假设下，塑性应变可由下式计算：伴随着总应变的分解，总功也可以分解为相应地，作为内变量的塑性功也可以通过外变量计算：塑性功与Drucker公设1952年Drucker根据热力学第一定律，对一般应力状态的加载过程提出了如下公设：

对于处在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。塑性功与Drucker公设如图所示，t0时刻的应力为，它可以在加载面上或内部，数学表示为施加附加应力后，设t1时刻为开始发生塑性变形的时刻，此时应力为，则有继续加载直到t2，在[t1,t2]期间，应力增加到，并产生塑性应变。从t2时刻开始卸去附加应力，到t3时回到状态。塑性功与Drucker公设如果表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态，那么

就是附加应力。Drucker公设要求在应力循环中附加应力所作的功非负，就是要：由于在闭合的应力循环中，应力在弹性应变上做的功为零，即上式可以改写为：塑性功与Drucker公设但是，整个应力循环内仅在产生了塑性应变。于是，当为小量时，上式可写为在一维情况下上式代表着一个梯形的面积，如图中的阴影部分所示。塑性功与Drucker公设Drucker公设：1）如果在加载面内，1/2dσij相对于而言很小可忽略，有2）如果在加载面上，则，有加载面外凸性和正交流动法则

根据Drucker公设可得：加载面外凸性和正交流动法则。为了几何直观，假定塑性应变空间与应力空间重合，即对应坐标轴重合，并将

的起点放在加载面应力点

处,如图所示。（a）初始应力位于加载面内

（b）初始应力位于加载面上加载面外凸性和正交流动法则过A点做垂直于的超平面，欲使上面条件始终满足，必须有：1）点必须在超平面异于所指的一侧，这只有在加载面是外凸时才可能；2）塑性应变增量必须沿加载面外法线方向，即与加载面正交。说明两个向量夹角为锐角或直角。（a）初始应力位于加载面内

（b）初始应力位于加载面上加载面的外法线方向为，因此，塑性应变增量可表示为加载面外凸性和正交流动法则式中dλ为一个非负的比例因子，表示塑性应变增量的大小。由于塑性应变增量与加载面正交，故上式称为塑性应变增量的正交流动法则。概要4.8Drucker公设4.9加卸载准则4.10塑性本构关系的增量表达加卸载判断准则

根据前述可知，要判断能否产生新的塑性变形，不仅需要判断应力

是否在加载面上，还需要判断应力增量与加载面的相对关系，这个判断准则就叫做加卸载准则。

在这里，加载是塑性加载的简称，指的是材料产生新的塑性变形，即从一个塑性状态进入另一个塑性状态的情形。而卸载则是指材料从塑性状态回到弹性状态的情形。加卸载判断准则

理想弹塑性材料的加载面与初始屈服面重合，应力状态只可能在屈服面上和屈服面内变化。（1）理想弹塑性材料的加卸载准则当应力状态从屈服面上的一点

移动到另一点

时，

与屈服面相切时，为加载。这时可发生任意的塑性变形。当应力状态从屈服面上移动到屈服面内，指向屈服面内，则为卸载，如图所示。该准则的数学式表示为加卸载判断准则上式Taylor级数展开，略去高阶项，加卸载准则可进一步表示为加卸载判断准则（2）硬化材料的加卸载准则

对于硬化材料，当应力处在加载面上，再施加应力增量会出现3种情况：a）加载：应力增量指向加载面外，产生新的塑性变形，内变量

随之增加。b）中性变载：应力增量沿着加载面，无新塑性变形，内变量不变。c）卸载：应力增量指向加载面内，变形从塑性状态回到弹性状态，材料响应是纯弹性的。加卸载判断准则综上，硬化材料的加卸载准则为概要4.8Drucker公设4.9加卸载准则4.10塑性本构关系的增量表达塑性本构关系概述增量理论经典塑性本构理论全量理论将整个加载历史看成一系列微小增量组成，研究每个增量应变与应力之间的关系,依次积分得到最终的状态。自然反映/记录应力历史相关性，但数学处理相对复杂。不考虑应力路径/历史的影响，认为应力应变之间存在一一对应关系，直接建立应变全量与应力全量之间的关系。相当于非线性弹性问题，数学处理简单，但适用范围有限。塑性本构关系概述

增量理论比全量理论更全面、准确地反映了材料的塑性变形本质特性，特别是近代计算机和有限元的发展与应用，人们可以比较容易地实现沿加载路径的增量积分计算，所以增量理论得到了迅速的发展和广泛的应用.方向最重要，选择正确的道路！路虽远，行则将至；事虽难，做则必成！增量理论一般表达式材料进入塑性状态后，应变增量可分解为弹性和塑性之和其中弹性应变增量也满足广义胡克定律另一方面，依据Drucker公设综上可得增量形式本构关系增量理论一般表达式

在Drucker公设之前，Mises提出了塑性位势理论:ii）

，上式称为非关联流动法则，常用于岩土材料和某些复合材料。

在Drucker公设之后，塑性位势理论又被区分为两种情况：i）g=f，上式称为与加载条件相关联的流动法则，简称关联流动法则，金属材料多用。其中g是塑性位势函数。理想塑性增量本构关系对于理想塑性材料，采用Mises屈服条件