陕西省宁强县天津高级中学2026届数学高三上期末教学质量检测模拟试题含解析

陕西省宁强县天津高级中学2026届数学高三上期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．设，则（）A． B． C． D．3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸5．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．56．函数（且）的图象可能为（）A． B． C． D．7．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（）A．的值域是 B．是奇函数C．是周期函数 D．是增函数8．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A． B． C． D．9．集合中含有的元素个数为（）A．4 B．6 C．8 D．1210．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（）A． B．C． D．11．设，集合，则（）A． B． C． D．12．已知等差数列中，，则（）A．20 B．18 C．16 D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面，所在平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是__________.14．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.15．若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为___________．16．已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函数的定义域和值域.18．（12分）如图在棱锥中，为矩形，面，（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；（2）当为中点时，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函数，不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若，，，求证：.20．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，证明：.21．（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？22．（10分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，，，，则或与相交；故A错；B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.2、C【解析】试题分析：，．故C正确．考点：复合函数求值．3、B【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.4、B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.5、D【解析】

根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率.【详解】依题意得，，，因此该双曲线的离心率.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.6、D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7、C【解析】

根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为选项A，函数，故错误；选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.8、C【解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选：C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.9、B【解析】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B10、A【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．【详解】由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，设是的中心，则平面，，，外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，∴，解得，球体积为．故选：A．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．11、B【解析】

先化简集合A,再求.【详解】由得：，所以，因此，故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.12、A【解析】

设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据与相似，，过作于，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出，，利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在平面内的动点，且满足，又，∴与相似∴，即，过作于，设，，∴，化简得：，，根据函数单调性判断，时，取得最大值36，，在正方体中平面.三棱锥体积的最大值为【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.14、【解析】

将已知由前n项和定义整理为，再由等比数列性质求得公比，最后由数列各项均为正数，舍根得解.【详解】因为即又等比数列各项均为正数，故故答案为：【点睛】本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.15、【解析】

设直线l与函数及的图象分别相切于，，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，令，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以实数的最小值为．16、【解析】

设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为【解析】

（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.【详解】解：（1）因为是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函数的定义域为.化简，得，因为，且，，所以，所以.所以函数的值域为.（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【详解】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点.法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ，由题意知PD＝CD＝1，，设，，，由，得，即存在点E为PC中点.（2）由（1）知，，，，，，设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为由的法向量为得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19、（1），.（2）见解析【解析】

（1）分三种情况讨论即可（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式可化为.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集为，故，.（2）由（1）知，，即，由，得，，当且仅当，即，时等号成立.故，即.【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.20、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）求得的导函数，对分成两种情况，讨论的单调性.（2）由（1）判断出的取值范围，根据韦达定理求得的关系式，利用差比较法，计算，通过构造函数，利用导数证得，由此证得，进而证得不等式成立.【详解】（1）.当时，，此时在上单调递减；当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增.（2）由（1）知.，，，不妨设，∴，，令，∴，∴在上是减函数，，∴，即.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21、（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，则，化简得，解之得，或（舍），（2）设BP＝t，则，，设，，令f'（t）＝0，因为，得，当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因为恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.22、（1）；（2）【解析】

（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化