北京市朝阳区北京中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

/北京市朝阳区北京中学2025−2026学年九年级上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（

）A． B． C． D．3．如图，在中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．4．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．5．如图，是半径，是的弦，且于点，若，则弦的长是（

）.A．8 B．12 C．16 D．206．已知的半径为，为所在平面内某直线上一点，若，则直线与的公共点个数可能为（）A．0 B．1 C．2 D．1或27．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则∠的度数是（）A． B． C． D．8．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或二、填空题9．将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是．10．如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是．11．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是．12．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为．13．若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是．14．已知二次函数，且当时，y随x的增大而增大，若点，为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为．15．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为．16．已知二次函数，且满足条件，，给出以下结论：①；②存在满足条件的，，，使得二次函数在时取得最小值；③；④对任意满足的实数，都有；其中正确的有．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．解方程：．18．下面是小艾同学“作一个角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：，使得．作法：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接，．，是①________②________，（③________）．19．如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．连接，点恰好落在线段上．（1）求证：；（2）连接，若，，求的长．20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（1）求抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式．21．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．（1）求证：；（2）若，，，请直接写出的度数．22．2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程.某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米.（1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长；（2）求矩形养殖园面积的最大值.23．已知一直线l与，是的直径，于点D．（1）如图1，当直线l与相切于点C时，求证：平分；（2）如图2，当直线l与相交于点E，F时，若，，求y关于x的函数解析式．24．某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为，①求a，b的值；②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离．（2）当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过．25．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接．（1）求证：是的切线（2）连接，若，，求的长．26．在平面直角坐标系中，抛物线（）．（1）求该抛物线的对称轴；（2）若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式；（3）若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围．27．在中，，，是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点：如图，当点在线段延长线上，点在线段延长线上．（1）连接，猜想________（用含的式子表示），并证明你的猜想．（2）探究线段与的数量关系，并说明理由．28．给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系中，已知点，，．（1）在点，，中，与点O关于线段双对合的点是________；（2）点K是x轴上一动点，的直径为1．①若点A与点关于双对合，求t的取值范围；②当点K运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．

答案1．【正确答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选A．2．【正确答案】C【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．故选C．3．【正确答案】D【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．【详解】解：，，．故选D．4．【正确答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，故选．5．【正确答案】C【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，先求出，由垂径定理可得，由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键．【详解】解：，，，是的弦，且于点，，，，，故选C．6．【正确答案】D【分析】根据圆心到直线的距离是R，则直线和圆相交或相切，据此可以得到公共点的个数．【详解】∵⊙O的半径为R，P为⊙O所在平面内某直线l上一点，若OP=R，∴直线与圆相切或相交，故公共点的个数为1或2．故选D．7．【正确答案】A【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，进而由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，∴，，∴，故选．8．【正确答案】D【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集．【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为，由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上，由图可知，当或时，对应的y值小于3，因此的解集为：或．故选D．9．【正确答案】【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．直接运用二次函数图象的平移规律解答即可．【详解】解：由平移规律可得：将二次函数向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为：，即．10．【正确答案】或【分析】利用直角三角形的面积减去扇形的面积解答即可．本题考查了三角函数的应用，扇形的面积，分割法求面积，熟练掌握三角函数的应用和扇形面积公式是解题的关键．【详解】解：∵，，，．∴，，∴，，∴阴影部分面积是.11．【正确答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据是一元二次方程的两个实数根，得出，据此列式，代入数值，进行计算，即可作答．【详解】解：设该方程的另一个根为，∵是一元二次方程的一个根，∴，∴.12．【正确答案】32【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解．【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，，∴，，，∴．13．【正确答案】且【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程，当时有两个不相等的实根．【详解】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数，即．因为关于的一元二次方程有两个不相等实数根，所以判别式．即．解得．所以的取值范围是且．14．【正确答案】【分析】由二次函数解析式可得对称轴为直线，由当时随的增大而增大可知抛物线开口向上，从而点离对称轴越远函数值越大；由可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，解此不等式可得的取值范围．【详解】解：二次函数的对称轴为直线，∵当时随的增大而增大，∴抛物线开口向上，即，∵点，在抛物线上，且，∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，化简得：，解不等式，两边平方得：，展开得：，整理得：，解得：．15．【正确答案】【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可．【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，

∴，，∴，，∴，根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，∴，作轴于点，∴，，∴，∴点的坐标为.16．【正确答案】①③④【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的各个知识点是解题的关键．①根据，，通过正、负来判断；②根据对称轴列式得到，与已知的矛盾；③分两种情况讨论，将和代入可得结论；④利用数形结合的方法，设抛物线与轴的交点为，，分两种情况：当，，时，抛物线对称轴在轴的左侧，画出函数图象，可知当时，，此时，可知，从而得出；当，，，抛物线对称轴在轴的右侧，同第一种情况讨论即可．【详解】，，，①、、中有正、负，为最小，为最大，，，，故①正确；②，图象一定经过，对于二次函数，当时，有最小值，即，，故②错误；③当时，时，，当时，，即时，，，故③正确；④如图所示，设抛物线与轴的交点为，，分两种情况：i）当，，时，抛物线对称轴在轴的左侧，如图1，当时，，当时，，，，当满足时，即当时，，此时，，则当时，，，ii）当，，，抛物线对称轴在轴的右侧，如图2，，当时，，，当时，即当时，，此时，，则当时，，，④正确.17．【正确答案】,【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．利用因式分解法解答即可．【详解】解：∴或，∴．18．【正确答案】（1）见详解（2）等边三角形，，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．【分析】本题主要考查尺规作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点．（1）①作射线；②在射线上取一点O，以O为圆心，为半径作圆，与射线相交于点C；③以C为圆心，为半径作弧，与交于点D，作射线即可即可v（2）根据圆周角定理及等边三角形的判定和性质作答即可．【详解】（1）解：①作射线；②在射线上取一点O，以O为圆心，为半径作圆，与射线相交于点C；③以C为圆心，为半径作弧，与交于点D，作射线．即为所求；（2）证明：连接，．，是等边三角形，（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）．19．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题主要考查图形旋转的性质：（1）旋转所得到的图形与旋转前的图形全等，结合多边形内角和，即可求得答案；（2）在中，利用勾股定理，即可求得答案．【详解】（1）根据旋转的性质可知，，，．∵，∴．∵，∴．（2）根据旋转的性质可知．在中，根据勾股定理，得．20．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟知以上知识是解题的关键．（1）把点，代入，求出、的值即可得出结论；（2）把（1）中抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得，此抛物线的解析式为；（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线的解析式为：，即．21．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明．（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可；（2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论．【详解】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到，，，是等边三角形．，，，在和中，，；（2）解：，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，．22．【正确答案】（1）12米（2）平方米【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用：（1）设养殖园的边的长为，则，根据围成的矩形养殖园面积为108平方米，即可列式计算作答．（2）设矩形养殖园面积为，建立关于x的式子表达，化为顶点式，再结合开口方向，即可作答．【详解】（1）解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米.∴设养殖园的边的长为，则，那么解得∵墙长为16米.∴∴养殖园的边的长为米；（2）解：设矩形养殖园面积为，∴∵∴开口向下，在时，有最大值，且为平方米．23．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．（1）如图①，连接，易得，根据平行线的性质就可以得到，再根据得到，就可以证出结论；（2）如图②，连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，由三角形外角的性质，可求得的度数，又由圆的内接四边形的性质推导出，继而证得结论．【详解】（1）解：如图①，连接，∵直线l与相切于点C，∴，又∵，∴，∴；又∵，∴，∴，即平分；（2）解：如图②，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，在中，四边形是圆的内接四边形，∴，则,∴，∵，，，∴．24．【正确答案】（1）①；②或（2）【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）①将代入抛物线和直线解析式并求解即可；②首先确定抛物线的顶点坐标，得出比火箭运行的最高点低的高度为，进而求得当时，对应的x的值，然后进行计算即可；（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可获得答案．【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为，∴抛物线和直线均经过点，∴和直线，解得；②由①知，，，∴，∴火箭运行的最高点高度为，当时，则有，解得，又∵时，，∴将代入直线，可得，解得，∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低的两个位置分别为，∵，，∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为或；（2）解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过时，火箭第二级的引发点为，将，代入，得，解得，∴．25．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；（2）连接，延长交于点H，可证明四边形是矩形，由，，，，得，，则，求得，则，所以．【详解】（1）证明：连接，则，，，，，，于点E，，是的半径，且，是的切线；（2）解：连接，延长交于点H，是的直径，，由（1）知：，∴四边形是矩形，，，∴，，，，，，，，，解得，，，的长为．26．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．（1）根据对称轴的公式，进行计算即可；（2）根据对称轴是直线，得出时取得最大值，将代入二次函数中，求出，即可得出答案；（3）先求出，得出二次函数解析式为，求出直线与二次函数的两个交点的横坐标为，根据点在点的下方，得出的取值范围是．表示出．根据二次函数的性质，结合线段的长度随的增大而减小，得出的取值范围是，从而得出m的取值范围即可．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；（2）解：，抛物线的对称轴是直线，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴当时，函数值最大，∴将代入二次函数中，得，解得，二次函数表达式为．（3）解：把代入中，得，将代入中，得，解得，，令，解得，点在点的下方，的取值范围是．点的坐标可分别表示为，，．，对称轴为直线，当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是．综上所述，的取值范围是．27．【正确答案】（1），证明过程见详解；（2），理由见详解．【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，可得，，由三角形的内角和定理，结合旋转的性质，可得，，证明