河北省石家庄第二十三中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

/河北省石家庄第二十三中学2025−2026学年上学期12月月考九年级数学试卷一、单选题1．有下列函数关系式：①；②；③；④，其中一次函数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一组数据：0，10，3，5，3，5，2，1的中位数是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．53．方程的根是（

）A． B． C．， D．，4．在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形5．如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（

）A． B． C． D．6．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（

）A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变7．如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．8．小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下：，根据公式信息，下列说法中，错误的是（

）A．数据个数是5 B．数据平均数是8 C．数据众数是8 D．数据方差是09．如图，C、D是上直径两侧的点，若，则等于（）A． B． C． D．10．已知反比例函数,下列说法不正确的是()A．图象经过点B．图象分别在二、四象限C．时,或D．在每个象限内y随x增大而减小11．如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程：甲：；乙：其中正确的是（

）A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对12．如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（）A． B． C． D．13．将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为(

)A． B．C． D．14．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：…0123……303…以下结论正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴是轴C．方程的根为0和2 D．当时，随增大而增大15．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（

）A． B． C． D．16．图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2．将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．小易在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（

）结论I：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；结论Ⅱ：图2中，点P到杯口的距离为5．A．I不对Ⅱ对 B．I对Ⅱ不对 C．I和II都对 D．I和II都不对二、填空题17．若方程是一元二次方程，则m的值为．18．在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1=度．19．已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是．20．如图，中，，，，点，点分别是，边上的动点，，以为直径的交于，两点，则线段的最大值为．三、解答题21．（1）解方程；（2）计算22．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；②扇形统计图中圆心角______度；（2）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．23．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求M点的坐标及的最小值．（3）根据图象，直接写出当时，y的取值范围．24．如图，的直径，弦，的平分线交于点D，过点D作交延长线于点E，连接、．（1）求图中阴影部分的面积；（2）求证：是的切线．（3）求线段的长．25．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx＋b，部分数据如表：销售单价x（元/kg）1210每日销售量（kg）490048004000经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．（1）y与x的函数关系式是，x的范围是；w与x的函数关系式是；（2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？（3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查一次函数的定义，在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果满足这样的关系：(k为一次项系数且，b为任意常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量(又称函数）．【详解】解：①是一次函数，②是一次函数，③的自变量的次数为2，不是一次函数，④的在分母上，不是一次函数，所以一次函数有个，故选B．2．【正确答案】B【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的概念，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数．根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，最中间两个数的平均数是：，则中位数是，故选B．3．【正确答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，解得：，，故选D．4．【正确答案】D【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状．【详解】解：，，，，，，，，则是直角三角形．故选D．5．【正确答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，由，得，把，，代入求出，然后由线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，故选．6．【正确答案】A【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项．【详解】移动前的主视图为：，左视图为：，俯视图为：移动后的主视图为：，左视图为：，俯视图为：，所以它的主视图会发生变化．故选A7．【正确答案】D【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案．【详解】解：如图所示，连接，

与相切于点，，，，，，，，故选D．8．【正确答案】D【分析】根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵，∴数据个数是5，故选项A正确，数据平均数是：=8，故选项B正确，数据众数是8，故选项C正确，数据方差是：s2=[(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2]=，故选项D错误，故选D．9．【正确答案】D【分析】利用直径所对的圆周角是，求出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，以及，求出，再利用三角形内角和定理，即可求出【详解】∵是的直径，∴，∵，∴，∴，故选D10．【正确答案】D【分析】此题主要考查了反比例函数的性质,正确掌握反比例函数增减性是解题关键．根据反比例函数的图象和性质逐项进行分析判断即可．【详解】解：A、,图象经过点(4,-2),正确,不符合题意；B、,图象分布在第二、四象限,正确,不符合题意；C、反比例函数,时,或,正确,不符合题意；D、反比例函数,在每个象限内y随x增大而增大,不正确,符合题意；故选D．11．【正确答案】A【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程．【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为，种植花草的面积为，从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为，矩形的面积为，可列方程，甲列的方程正确；两条竖着的小路的长为，宽为，两条竖着的小路的面积为，横着的小路的长度为，宽为，横着的小路的面积为，三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形，重叠部分的面积为，小路的面积可表示为，可列方程为，乙列的方程错误；综上所述，甲对、乙不对．故选A．12．【正确答案】C【分析】本题考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为点，连接，，根据题意得出，勾股定理求得，根据，即可求解．【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接，，∴是正六边形的外接圆的直径，则依题意，，∴，∵是边上一个动点，∴，∵，∴的值可能是，故选C．13．【正确答案】B【分析】根据“左加右减”，“上加下减”的平移规律即可得出答案．【详解】将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为故选B．14．【正确答案】C【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据二次函数解析式和性质依次进行判断即可.【详解】解：将代入抛物线的解析式得；，解得：所以抛物线的解析式为：

A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B、抛物线的对称轴为直线，故选项错误，不符合题意；C、方程的根为和，故选项正确，符合题意；D、在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意.故选C．15．【正确答案】D【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论．【详解】解：∵点I是的内心，∴，，∴，∵，∴，∵点O是的外心，∴，故选D．16．【正确答案】B【分析】由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论Ⅱ．【详解】解：由题意得，，，，设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，把、代入得，解得：，∴∵，∴，∴，∴设直线的解析式为把、代入得：，解得：，∴直线：由，解得，（舍）当，，∴，此时点P到杯口的距离为，∴I对Ⅱ不对，故选B．17．【正确答案】【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零且未知数的最高次数为2，列方程求解．【详解】解：由一元二次方程的定义，得且，解得：且，故．18．【正确答案】42【详解】正六边形的内角是：（6-2）×180°÷6=120°，正五边形的内角是：（5-2）×180°÷5=108°，正方形的内角是90°，则∠1=360°-120°-108°-90°=42°，故答案为42.19．【正确答案】【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得．【详解】解：设这个扇形的半径是，则，解得，所以这个扇形的半径是2.20．【正确答案】【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理和三角形的等面积法，熟练掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理和三角形的等面积法是解决问题的关键．过点做，连接，根据垂径定理和勾股定理推出最小时，取最大值，过点作于点，根据勾股定理求出的值，再由三角形的等面积法求出，根据，求出的最小值，最后根据勾股定理求出，即可求出的值．【详解】解：过点做，连接，∵为的直径，，∴点在上，∴，在中，是定值，故最小时，取得最大值，∵，∴，∴最大时，取得最大值，过点作于点，∵，，，∴，∵，∴，由图可知，，∴，∴点在上时，最小，最小值为4，∴在中，，∴．21．【正确答案】（1），；（2）【分析】本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的混合运算，掌握解一元二次方程的方法和各个特殊角的锐角三角函数值是关键．（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；（2）先将各个特殊角的三角函数化简，再进行计算即可．【详解】（1）解：，，，所以，．（2）解：．22．【正确答案】（1）①；②（2）见详解，（恰好抽中甲、乙两人）【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意读懂统计图是解题的关键．（1）①用B组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；②先求出A组的人数，再求出C组的人数，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案；（2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中甲、乙两人的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．【详解】（1）解：①名，∴这次调查一共随机抽取了400名学生；②由题意得，A组的学生人数为名，，∴C组的学生人数为名，∴；（2）解：由题意可画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，（恰好抽中甲、乙两人）．23．【正确答案】（1），（2）点M的坐标为．的值最小即为的长（3）【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，待定系数法求解函数解析式等知识点．（1）先由待定系数法求解函数解析式，再配方成顶点式，求解顶点坐标；（2）先求出点B的坐标为，而C的坐标为，那么与直线交点即为M点，根据轴对称性，可得，两点之间线段最短可知，的值最小，然后求出直线，即可求解点M的坐标为．的值最小即为的长；（3）根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：点在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为．，顶点D的坐标为．（2）解：顶点D的坐标为，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴交于两点，∴点A与点B关于对称轴对称，．点B的坐标为，当时，，则点C的坐标为，∴，则与直线交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得，两点之间线段最短可知，的值最小．设直线的解析式为，把代入，可得解得：，，当时，，点M的坐标为，的值最小即为的长；（3）解：对称轴为直线，抛物线开口向上，∴，，当时，；当时