河北省唐山市第二十一中学2025~2026学年上册九年级12月月考数学试题【附解析】

/河北省唐山市第二十一中学2025−2026学年上学期九年级12月月考数学试卷一、单选题1．下列选项中与成反比例关系的是（

）A． B． C． D．2．为纪念抗战伟大胜利，弘扬抗战伟大精神，某班举行抗战历史知识测评．该班学生测试成绩的最高分是100分，最低分是70分，则他们的平均测试成绩可能是（

）A．110分 B．100分 C．85分 D．65分3．关于的一元二次方程的较小实数根为（

）A．2 B．1 C．0 D．-14．如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（

）A． B． C． D．5．反比例函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能是（

）A． B．3 C． D．6．用如图1的半径为的扇形纸板做成图2的圆锥形帽子（忽略接缝），已知帽子的底面周长为，则扇形纸板的面积是（

）A． B． C． D．7．粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（

）A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E8．如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（）A． B． C． D．9．一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（

）A． B． C． D．10．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（）A．3 B． C． D．11．密度计浸在液体中的深度是液体的密度的反比例函数，图象如图所示．下列结论：结论一：当时，；结论二：当时，．下列判断正确的是（

）A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确12．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题13．已知是锐角，且，则为°.14．如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为°．15．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为．16．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为．三、解答题17．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．（1）当时，点对应的实数为____________，点对应的实数为____________，A，B两点之间的距离为____________；（2）若，求的值．18．《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图1所示的小孔成像实验中，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．已知当时，．（1）①求火焰的像高关于物距的函数表达式；②请借助网格中的格点（不少于3个），在图2中画出①所对应的函数图象；（2）若控制火焰的像高不超过，则小孔到蜡烛的最短距离为____________．19．某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．（1）求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；（2）若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．20．如图，在中，．（1）尺规作图：作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若的半径为1，求的长．21．将一款台灯放置在水平桌面上，其平面示意图如图1、图2所示，台灯支架可绕点A，B，C转动，底座与桌面垂直，，支撑杆．（1）如图1，当，且点A，C，D在一条直线上，求点到桌面的距离；（2）如图2，在转动台灯的支撑杆的过程中，当点A，B，C在一条直线上，且时，求点到桌面的距离．（参考数据：取，取，取，取1.7，计算结果精确到）22．如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分．（1）求证：；（2）若，，求的长度．23．综合与实践【情境】已知，正方形的边长为4，点是边上一点，，将沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，交于点．【计算】（1）____________；【探究】（2）淇淇说：“是等腰三角形．”①请判断淇淇的说法是否正确？并说明理由；②求的长；【拓展】（3）求的长．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD．（1）求m，n的值；（2）写出不等式的解集为____________；（3）①求一次函数的解析式；②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由；（4）记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围．

答案1．【正确答案】B【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；反比例关系是指两个变量的乘积为常数（常数不等于0），即形式为，直接验证各选项是否符合此形式即可．【详解】解：选项A：，为正比例关系；选项B：，符合反比例关系；选项C：即，为一次函数；选项D：，为正比例关系；故选B．2．【正确答案】C【分析】本题考查了求一组数据的平均数，根据平均成绩不低于最低分，且不高于最高分，则可求出平均数的范围，据此结合选项可得答案．【详解】∵平均成绩不低于最低分，且不高于最高分，又∵最低分为70分，最高分为100分，且成绩不相等，∴平均成绩满足：平均成绩．观察各选项，只有选项C符合题意，∴他们的平均测试成绩可能是85分．故选C．3．【正确答案】C【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把，化为标准形式后因式分解，得到两个实数根，比较大小后得出较小根【详解】∵，∴，∴，∴或，∴较小实数根为，故选项C4．【正确答案】D【分析】先根据勾股定理求出，再根据坡面坡度等于即可得出答案．本题考查了坡度的定义，坡度，【详解】解：在中，，，，∴，∴桥的坡面AC的坡度，故选D．5．【正确答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案．【详解】解：由图象可知：点在反比例图象下方，点在反比例函数图象上方，∵，观察图象得：，选项A．，符合条件，选项BCD均不符合，∴k的值可能是．故选A．6．【正确答案】D【分析】从图中可以看出帽子的底面圆周长就是扇形的弧长，根据此求出扇形的面积．本题主要考查了扇形的面积公式．即，熟记相关的公式是解题的关键．【详解】解：扇形面积，故选D．7．【正确答案】B【分析】本题主要考查了中位数的含义，由图形可知，要使选定7袋面粉质量的中位数仍为10kg，则第6袋面粉和第7袋面粉需要选择一袋不低于，另一袋不高于，根据选项即可得出正确的答案．【详解】解：∵序号为1到5袋的面粉已选定，这5袋面粉质量的中位数恰好为10kg，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，使选定7袋面粉质量的中位数仍为，∴选定的第6袋面粉和第7袋面粉的质量应该一袋不低于，另一袋不高于，结合题图可得，第6袋面粉和第7袋面粉分别可以选择A和E、或B和D、或C和D，选项B符合题意故选B．8．【正确答案】A【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解．【详解】解：如图，由图可知，，，，，，，∴，∴，即，解得：，∴，∴，故选A．9．【正确答案】D【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可．【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即，依题意得：，，，，∴，，∴，在中，，∴，解得：答：圆弧门所在圆的半径为．故选D．10．【正确答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程的两根分别为、，则，是解决问题的关键．当时方程的两根分别是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解．【详解】解：∵当时方程的两根分别是和，∴，解得：，∴，，∴，∴．故选B．11．【正确答案】B【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．【详解】解：设关于的函数解析式为，把，代入解析式，得．关于的函数解析式为．结论一．当液体密度时，浸在液体中的高度，故该结论不正确，结论二．当，，故当浸在液体中的高度时，液体的密度，故结论二正确，故选B．12．【正确答案】C【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解．【详解】解：如图所示，连接，交于点∵折叠，∴，，又∵∴∴是等边三角形，∴∵，∴∵，∴∴∴是等腰直角三角形，∴，∴∴∴故选C．13．【正确答案】60【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可解答．【详解】解：已知是锐角，且，，则的度数是.14．【正确答案】30【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得．【详解】解：为直径，，，，∵，．15．【正确答案】【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：如图，由题意得，，，，∵锥形瓶轴截面是轴对称图形，∴，，∵，∴，∴，即，解得.16．【正确答案】【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换与反比例函数的性质，解题的关键是利用平移的性质表示出点的坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解．设平移的距离为，则点的坐标为；由平移性质得、的坐标，进而得到中点的坐标；结合反比例函数图象过、，列方程求出，即的长．【详解】解：设平移的距离为，则由平移性质得，，，故的中点的坐标为∵过、，∴，解得．故的长为．17．【正确答案】（1），0，3．（2），【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴与一元二次方程的结合，（1）把代入代数式即可求出对应的实数，构造表示A、B两点间距离的代数式；（2）根据题意列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：当时，数轴上点对应的实数为，点对应的实数为．∴A，B两点之间的距离为，（2）∴；依题意，∴∴∴，解得：，.18．【正确答案】（1）①；②见详解（2）【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键．（1）①由题意设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式；②根据①先列表，然后描点，连线可画出函数图象；（2）把当代入，然后结合图象即可解答．【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为，把，代入得：，解得，关于的函数表达式为：；②由①列表如下：…..348…..…..863…...描点、连线，则可得反比例函数的图象如图所示：（2）解：当时，，解得：，，∴当时，随着的增大而减小，∴当时，．故答案为4.8．19．【正确答案】（1），，（2）估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，平均数，中位数，众数熟练掌握平均数，中位数，众数的求法是解题的关键．（1）根据平均数，中位数，众数的求法，即可求解；（2）利用样本中测试得8分及其以上的比例乘以即可．【详解】（1）解：由条形图可知，第10和第11个数据都是7分，∴中位数为；平均数为：；这组数据中7分出现的次数最多，则众数为．（2）解：（人）答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人．20．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理：（1）作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为圆心，再以点O为圆心，的长为半径画圆即可得到答案；（2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，进而利用勾股定理求出即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，连接，∵，∴，又∵，∴，∴．21．【正确答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了解三角形，需通过构造直角三角形，利用三角函数（正弦）求解垂直高度，关键在于根据已知角度确定直角三角形中的锐角，进而结合边长计算垂直分量，最后加上底座的高度得到点到桌面的距离．（1）先根据已知等腰，结合三线合一的性质，求出当时的长度，再利用点、、共线及桌面的条件，即可求出到桌面的距离；（2）当A、B、C共线时，先确定长度，再根据求出与竖直方向的夹角，利用三角函数计算垂直高度，加上得到结果．【详解】（1）过点作，垂足为，∵，，∴，，∴，．即点到桌面的距离．（2）过点作于点当点，，在一条直线上时，．∵，∴，∴．∴即：点A到桌面的距离为．22．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为，也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．（1）先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，所以，从而得到结论；（2）连结交圆于，连接、，则，利用的结论得到，则为等边三角形，所以，再在中求出直径，然后根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式求解．【详解】（1）证明：平分，，∵四边形内接于，∴，，∴，∵，；（2）解：如图，连接交圆于，连接、，则，，为等边三角形，，，，∴，∴，∵，，∴，解得（负值舍去），∴圆半径为，∴的长度．23．【正确答案】（1）；（2）①正确，理由见详解；②；（3）【分析】（1）根据勾股定理可求即可；（2）①利用折叠性质得到角相等，再结合正方形对边平行的性质，推导角的关系，进而证明线段相等即可；②设，在中，根据勾股定理可得出，解方程即可；