黑龙江省大庆市第三十六中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

/黑龙江省大庆市第三十六中学2025−2026学年上学期12月月考九年级数学试题一、单选题1．的相反数是（

）A． B． C． D．以上都不是2．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．3．紫斑牡丹是国家重点一级保护野生植物，其花粉粒类似圆形或椭圆形，直径大小平均（）用“”为单位表示数据“”，可以表示为（

）A． B． C． D．4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．6．小明在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一种瓷砖来铺设地板，以下正多边形不能铺满地面的是（

）A．正八边形 B．正六边形 C．正方形 D．正三角形7．在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（

）．A．米 B．米 C．米 D．米8．一个圆锥的高为，底面圆半径为2，则其侧面展开图的面积为（）A． B． C． D．9．矩形中，，点在边上，，．分别以点，为圆心，大于长为半径在直线的两侧作弧，使两弧分别交于点，，作直线交的延长线于点，交于点，连接，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线．有下列结论：①；②；③当时，；④方程有两个不等的实数根；⑤、是方程的两根，则方程的两根、满足，且．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．已知，且是整数，请写出的值．12．函数中自变量x的取值范围是．13．多边形的每个内角是，它是边形．14．如图，点从数0的位置出发，每次运动一个单位长度，运动一次到达数1的位置，运动二次到达数2的位置，运动三次到达数3的位置依此规律运动下去，点从0运动6次到达的位置，点从0运动21次到达的位置点、、在同一条直线上，则点从0运动次到达的位置．15．若点与点关于原点对称，则．16．已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则．17．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于．18．如图①，，点是线段上的一个动点，于，记与的函数关系图象如图②所示，则图②中的最低点的坐标是．

三、解答题19．计算：（1）（2）20．先化简，再求值：，自己任选一个整数代入求值．21．某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．22．根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：平均数中位数众数第1小组4a第2小组b5第3小组c3请根据以上信息，完成下列问题：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度；②请补全第1小组得分条形统计图；（2）a＝______，b＝______，c＝______；（3）已知该校共有2400名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？23．图1是一座人行天桥玩具积木，如图2是天桥一坡道的示意图，坡道长，坡角，于点C．在不改变坡道高度的情况下，现准备减小坡道的坡角，新坡角变为．（1）求该坡道的高度．（2）求坡道新起点D与原起点B之间的距离．（假设图中C，B，D三点在同一直线上，参考数据：，，）24．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似的，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，__________；（2）纸片还可以按图3的方式折叠成一个四边形，①求证：折出的四边形为矩形②若，，求__________．25．点茶是宋代传统文化技艺，它的重现具有历史、文化、艺术、科学等多重价值和意义．小华在体验点茶文化时，发现倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形，并建立平面直角坐标系，如图2所示，已知某种茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点，曲线与茶水可视作在同一条抛物线上．若点所在直线与轴（桌面）平行，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点与壶口点所在直线垂直于轴．已知线段，线段，壶柄与竖直方向的夹角为，．茶碗的直径为，高度为．若点相对桌面的高度时，抛物线水流恰好落在茶碗水面中心点．（1）求点相对桌面的高度．（2）求图中抛物线的解析式．（3）为展现精湛的技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要求茶水一滴都不能洒到茶碗外，求移动过程中点处相对桌面的高度的取值范围．26．如图，直线的解析式为．（1）若反比例函数与线段有交点，则k的最大值是_______；（2）若反比例函数的图象交线段于点，且，求k的值；（3）在（2）的条件下的面积是_______．（直接写出结果）27．如图1，四边形内接于，，点C在上，于点F．

（1）连接，求证：．（2）设为x度，为y度，写出y关于x的函数表达式．（3）如图2，作于点G，连接并延长交于点H．①，，，求的长．②若，求的长．28．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点．（1）求抛物线的解析式．（2）若为抛物线上一点，且在对称轴的右侧，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点向轴作垂线，交轴于点，当时，求点的横坐标．（3）为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，点，在轴上，且点在点的上方．①当正方形在轴右侧的顶点落在抛物线上时，求的值；②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出的值．

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【详解】解：的相反数为，故选A．2．【正确答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则逐项判断即可．【详解】解：A.，原式计算错误；B.，原式计算错误；C.不是同类项，不能合并，原式计算错误；D.，计算正确；故选D．3．【正确答案】C【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据，把数据“”换算成米为单位的量，并用科学记数法表示即可．【详解】解：∵，∴．故选C．4．【正确答案】B【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选B．5．【正确答案】A【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键．根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可．【详解】解：这个几何体的俯视图为：故选A．6．【正确答案】A【分析】本题主要考查了镶嵌，先分别求出每种正多边形的一个内角，再根据内角和能否拼成可判断答案．【详解】解：正多边形的内角和公式为：，正八边形（A）：每个内角为，，非整数，无法铺满，正六边形（B）：每个内角为，，整数，可铺满，正方形（C）：每个内角为，，整数，可铺满，正三角形（D）：每个内角为，，整数，可铺满．故选A．7．【正确答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解．【详解】解析：∵，设，则，∵，∴，即，解得：，（舍去），∴线段的长为米．故选B．8．【正确答案】D【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式．圆锥的侧面展开图面积即侧面积，需先利用勾股定理求母线长，再代入侧面积公式计算．【详解】解：∵圆锥的高，底面半径，∴母线长，∴侧面积，故选D．9．【正确答案】D【分析】由线段的垂直平分线的性质证明即可判断①；利用等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可判断②；利用相似三角形的性质求出、即可判断③④．【详解】解：由作图可知垂直平分线段，，故①正确；，四边形是矩形，，，，，平分，故②正确；，，，，，，，，，，，，，故③正确；，，故④正确．综上所述，其中正确的有4个．故选D．10．【正确答案】C【分析】由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据对称轴为直线得到，当时，，于是得到，故②错误；当为实数时，代入解析式得到，于是得到，故③正确；根据方程，可化为，即与的交点，结合图形即可求解；⑤由方程的根得到函数与轴的交点横坐标分别为，进而由方程的两根为，即为函数与直线的交点横坐标，得到与、与之间的关系．【详解】解：由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，又对称轴为直线，所以，所以，，故①错误；，，当时，，，，故②错误；当为实数时，，，故③正确，根据方程，可化为，即与的交点，经过二、四象限，与有个交点故④正确；⑤是方程的两根，与轴的两个交点的横坐标为，方程的两根为，，函数与直线的交点横坐标为，，函数图象开口向上，，故⑤正确，正确的个数有3个，故选C．11．【正确答案】【分析】本题考查了无理数的估算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的估算，二次根式的性质可得，由此即可求解．【详解】解：∵，即，且为整数，∴.12．【正确答案】且【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分母不为0、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．【详解】解：由题意得，，，解得，且．13．【正确答案】/十【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握边形内角和为是解题的关键．设是边形，依题意得，，计算求解即可．【详解】解：设是边形，依题意得，，解得，.14．【正确答案】【分析】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．由题意得：从点从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可．【详解】解：由题意得：从点从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为，，点从跳到跳动了.15．【正确答案】2【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，以及求代数式的值．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此求出的值，进而即可求得的值．【详解】解：因为点与点关于原点对称，所以，，解得，；因此．16．【正确答案】【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，反过来也成立，也考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解不等式；根据根与系数的关系得到，利用得到，则，然后解方程后利用的范围确定的值．【详解】根据题意得解得；根据题意得，即整理得，解得，∴的值为．17．【正确答案】2【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可．【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9，，，负值舍去，个直角三角形的面积和为，，，∵，，．18．【正确答案】【分析】利用勾股定理用含的代数式表示出，进而求出与的解析式，转化为两点之间的距离和，利用将军饮马模型求出最小值，求出一次函数的解析式，进而求出的值，即可得解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴为点到点的距离与点到点的距离和，设点，点，点为轴上一点，如图：

作点关于轴的对称点，则：，，∴，当且仅当三点共线时，取最小值，为，设直线的解析式为：，把代入，得：，∴，当时，，∴是.19．【正确答案】（1）；（2）．【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．20．【正确答案】，当时，原式=10【分析】此题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】解：原式，∵，，∴，，，当时，原式．21．【正确答案】型车的平均速度为【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据题意可得，，整理得，，解得，经检验是该方程的解，答：型车的平均速度为．22．【正确答案】（1）①18；②见详解（2）5，，3（3）该校2400名学生中大约有720名学生竞赛成绩不低于90分【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图；（2）根据众数、平均数和中位数的定义求解即可；（3）利用样本估计总体求解即可．【详解】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为．②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），补全第1小组得分条形统计图如下∶（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则，第2小组获得1分的学生所占百分比为，第2小组的平均分为（分），则，第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则．（3）解：（人）．答：估计该校有720名学生竞赛成绩不低于90分．23．【正确答案】（1）该坡道的高度为．（2）坡道新起点D与原起点B之间的距离是．【分析】（1）根据的正弦值直接进行计算即可；（2）先根据三角函数值求出、的长，然后根据线段之间的关系进行计算即可．【详解】（1）解：∵，∴答：该坡道的高度为．（2）解：∵，，∴．答：坡道新起点D与原起点B之间的距离是．24．【正确答案】（1）（2）①见详解，②13【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；（1）根据折叠后的图形全等，进而得到面积相等即可得到，，然后表示出和即可求解；（2）①由折叠的性质得：，，再结合，可得，同理可得：，即可判断折出的四边形为矩形；②先由勾股定理求出，再由折叠的性质得：，，，，推出，最后由得到．【详解】（1）解：由折叠的性质得：，四边形四边形，，，，∴.（2）①证明：∵由折叠的性质得：，，又∵，∴，∴，同理可得：，∴折出的四边形为矩形；②解：，，，，如图：由折叠的性质得：，，，，∵，，，∴，∵，∴，；25．【正确答案】（1）点相对桌面的高度为（2）抛物线为（3）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，二次函数的应用．（1）依据题意，延长交轴于点．由，从而，再由，可得，，又，进而求出即可判断得解；（2）依据题意，分别求出，为，从而可得抛物线的对称轴是直线，再利用待定系数法计算可以得解；（3）依据题意，设抛物线向上平移个单位（），又当抛物线过对面的点，设平移后抛物线解析式为，求出，结合水一滴都不能洒到茶碗外，故，从而，结合原始高度为，则，进而可以得解．【详解】（1）解：如图，延长交轴于点．，．又，，．又，．点相对桌面的高度为；（2）解：由题意，，，．又，为．抛物线的对称轴是直线．茶碗的直径为，高度为．．设抛物线为，．，．抛物线为；（3）解：设抛物线向上平移个单位（），当抛物线过对面的点，设平移后抛物线解析式为，．又水一滴都不能洒到茶碗外，．又，．已知原始高度为，则．答：．26．【正确答案】（1）4（2）（3）【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，熟知一次函数与反比例函数的性质是解题的关键（1）联立两函数解析式得到，根据题意可得方程有实数根，据此利用判别式求解即可；（2）过点C作轴于E，过点D作轴于F，则，可证明，得到，设，则，即可得到,解方程即可得到答案；（3）求出点B坐标，根据列式求解即可【详解】（1）解：联立得，∵反比例函数与线段有交点，∴方程有实数根，∴，∴，∴k的最大值为4；（2）解：如图所示，过点C作轴于E，过点D作轴于F，则，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，∵C、D都在反比例函数图象上，∴,解得或（舍去），∴，∴；（3）解：由（2）可得，在中，当时，，∴，∴，∴27．【正确答案】（1）见详解（2）（3）①；②【分析】（1）根据，得出，，根据圆周角定理得出，即可证明结论；（2）根据为x度，得出，根据解析（1）可知，，根据三角形内角和得出；（3）①连接、，，证明为等边三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，（舍去），得出，证明，得出，求出，得出；②连接，，，根据，，得出，，证明，求出，即可求出结果．【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵设为x度，∴，根据解析（1）可知，，∴，即；（3）解：①连接、，，如图所示：

∵，，是直径，∴∴，∵，∴为等边三角形，∴，根据解析（2）可知，，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，根据勾股定理得：，，∵，∴，解得：，