黑龙江省哈尔滨市道里区2025~2026学年上册期末九年级数学试题【附解析】

/黑龙江省哈尔滨市道里区2025−2026学年上学期期末九年级数学试卷一、单选题1．的相反数是（）A． B． C． D．22．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（）A． B． C． D．4．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．5．篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（

）A． B．C． D．6．如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．7．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）

A． B．C． D．8．如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（）A． B． C． D．9．将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（

）个棋子．A．18 B．20 C．24 D．3610．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（

）A． B． C． D．二、填空题11．在函数中，自变量的取值范围是．12．多项式因式分解的结果是．13．已知m是方程的一个根，则代数式的值为．14．如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是．15．规定运算“★”是，则．16．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为.17．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是．18．如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为．19．在中，，，，则．20．四边形中，，，，，E、F分别是和上的点，连接、、．有如下结论：①；②；③若，，则；④的周长最小值等于周长的．上述结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题21．先化简，再求代数式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°．22．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B在格点上．（1）直接写出线段的长为__________；（2）只用无刻度的直尺，在网格中按照下列要求完成画图：将点A绕点B顺时针旋转得到点C，标出C点，连接，画出的中线．（保留画中线的画图痕迹）23．某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．各产品年产量条形统计图各产品年产量扇形统计图根据上面的信息，回答下列问题：（1）求该工厂四种产品年产量一共多少万件？（2）通过计算补全条形图；（3）若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？24．筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．）（1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上的两个点，，连接和．求证：四边形是筝形．（2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标．25．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等．（1）求种材料和种材料的单价；（2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？26．已知：是的直径，弦交于点E，连接，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，过点E作直线，分别交于点M、点N．求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过N作于点F，连接并延长交于点G，连接，，．求线段的长．27．一次函数的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，二次函数的图象经过A、B两点．（1）求b的值；（2）P是二次函数图象第三象限内一点，连接、，设P点横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式（不用写出自变量取值范围）（3）在（2）的条件下，过P点作直线分别交直线于点D，交y轴于点E，过P作轴于K，延长交直线于F，H是延长线上一点，连接，，P为中点，取中点G，连接，，交线段于点M，，求H点坐标．

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可．【详解】解：的相反数是，故选A．2．【正确答案】C【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选C．3．【正确答案】C【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点，利用待定系数法求解即可得．【详解】解：设这个函数的解析式为，∵这个反比例函数的图象经过点，∴，∴这个函数的解析式为，故选C．4．【正确答案】A【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为．故选A．5．【正确答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．根据题意列出方程即可求解．【详解】解：∵有x个队参加比赛，每两队之间都进行一场比赛，∴总比赛场数为，∵总共比赛45场，∴．故选B．6．【正确答案】C【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．根据平行四边形的性质，可知，，可得，，即可根据相似三角形的性质求解．【详解】解：对于A和B，，，四边形是平行四边形，，，，，故选项A和选项B都正确，不符合题意；对于C和D，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，故选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意．故选C．7．【正确答案】D【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D．【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，∴，，故选项A、C正确，∴，∵，，∴，故选项B正确，由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确．故选D．8．【正确答案】B【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．连接，根据是直径，得到，结合，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到．【详解】解：连接，是圆O的直径，，，，．故选B．9．【正确答案】C【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律．根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可．【详解】解：第1个图形有个棋子，第2个图形有个棋子，第3个图形有个棋子，第4个图形有个棋子，……，由此发现，第n个图形有个棋子，∴第6个图形有个棋子．故选C10．【正确答案】D【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键．【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项，故选．11．【正确答案】【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得，即可求解．【详解】解：根据题意，得，解得.12．【正确答案】【分析】本题考查了因式分解，，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．【详解】解：原式，.13．【正确答案】2026【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴.14．【正确答案】【分析】本题考查反比例函数的图象与应用，根据图象求出解析式是解题关键．设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点，代入解析式求出k．再令，求出此时电流的值．【详解】解：设反比例函数的解析式为，将，代入解析式得，，∴，∴，令，则（A），∴此时电流的值为．15．【正确答案】/【分析】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．根据新运算的定义，将a和b的值代入公式计算，即可作答．【详解】解：∵，∴当，时，．16．【正确答案】【分析】根据弧长公式求出半径，利用扇形公式求出面积即可.【详解】设半径为R，∴2=，解得：R=3，∴扇形面积为：=3，故答案为317．【正确答案】【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果．【详解】解：∵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，∴所有可能的结果有，，，，，，，，，，，，，，，，一共16种，其中两次取出的小球标号的和为5的情况有：，，，共4种，则两次取出的小球标号的和等于5的概率为．18．【正确答案】4【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理．连接，由切线的性质可得，．根据，可得，结合圆周角定理可知，，所以．根据含角的直角三角形的性质可得，，结合，从而算出与的值，进一步求出的长．【详解】解：如图，连接，∵与相切于点C，∴，∴，由圆周角定理可知，，∵，∴，∴，∵，∴，即，在直角中，，，∴，∵，∴，∴，∵为圆O的直径，∴，∴．19．【正确答案】或【分析】本题考查解直角三角形，涉及正切函数定义、勾股定理等知识，根据题意，分情况求解是解决问题的关键由，分三种情况：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后过点作出对边的高，构造直角三角形分别进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意，分三种情况：当为锐角三角形时，过点作于点，如图所示：在中，，设，则，，由勾股定理可得，则，，解得或（负值，舍去），则，，在中，，，则由勾股定理可得，；当为直角三角形时，如图所示：在中，，则，，，故此种情况不存在；当为钝角三角形时，过点作于点，如图所示：在中，，设，则，，由勾股定理可得，则，，解得或（负值，舍去），则，，在中，，，则由勾股定理可得，．20．【正确答案】①②/②①【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形周长的计算，对所有知识点灵活运用是解题的关键．结论①：利用等腰三角形的性质，进行角度计算即可；结论②：构造，再证明出得出多种数量关系，即可证出；结论③：假设，则，过点作交于点，由勾股定理，求出的长，通过特殊角的直角三角形求出的长，最终求出的长度；结论④：利用轴对称的性质，判断出的周长最小值的情况，求出最小值，并与周长进行比较计算即可．【详解】解：对于结论①：∵，，∴，同理，由于，，∴，∴，∴，故结论①正确．对于结论②：在的延长线上截取，连接，如下图所示：在与中，∵，，，∴，∴，，∵，又∵，∴，即，在与中，∵，，，∴，∴，结合，故，即结论②正确．对于结论③：过点作交于点，过点作交于点，如图：由结论①的结果，，，且为等边三角形，即，∴，结合勾股定理，结合，解得，，假设，则，∵，∴，∵，结合结论②，可得，∴，∵和，∴，即，解得，即，结合，由勾股定理，故结论③错误．对于结论④：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，计算得出，符合题意，此时的最小周长为线段的长度，∵、为、的中点，∴，在中，，∴，,则的周长为，∵∴的最小周长等于周长的，故结论④错误．21．【正确答案】，.【分析】根据分式加减乘除的运算法则对原式进行化简，再算出a的值，代入即可.【详解】原式＝.当a＝tan60°﹣2sin30°＝时，原式＝．22．【正确答案】（1）（2）见详解【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）直接根据勾股定理求解即可；（2）根据旋转的性质和网格的特点可得点C，然后取格点E、F，连接交于点D，根据网格的特点可知，连接，即为所求．【详解】（1）解：由图可知，.（2）解：如图所示，即为所求，．23．【正确答案】（1）200万件（2）见详解（3）元【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，从统计图表中获取信息是解题的关键．（1）根据D产品的年产量为40万件，占比，列式计算即可得到四种产品的年产量；（2）根据（1）中求得的总年产量和C产品的占比，先求得C产品的年产量，再求得A产品的年产量，据此补全条形统计图即可；（3）先根据四中产品的每件成本价，求得这四种产品的总成本，然后除以总量即可解答．【详解】（1）解：由题意可得，（万件），答：该工厂四种产品年产量一共200万件．（2）解：C产品的年产量：（万件），A产品的年产量：（万件），补全条形统计图如下：（3）解：（元），答：这四种产品制作的平均成本是元．24．【正确答案】（1）见详解（2），，【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，即可证明，得到，即可根据筝形的定义证明结论；（2）分和两种情况讨论，分别求出满足条件的点M的坐标即可．【详解】（1）证明：四边形是菱形，，，，，，，，四边形是筝形；（2）解：当时，以点P为圆心，5为半径画弧，该弧恰经过，，，等4个格点，且，；，；，，四边形、四边形、四边形都是筝形；当时，也能得到，，，共4个格点，但都找不到对应的点M，使四边形为筝形；所以网格中其它所有符合条件的点M的坐标是，，．25．【正确答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；（2）最多能购买种材料20件．【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，依题意，解得，答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；（2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，依题意得：．解得．∴m的最大值为20．答：最多能购买种材料20件．26．【正确答案】（1）见详解（2）见详解（3）【分析】（1）连接，由圆周角定理和平角的定义可证明，则由三线合一定理可证明，据此可证明结论；（2）导角可证明；则可证明，得到；再证明，得到，则可证明；（3）过点B作于H，连接，由三线合一定理可得，证明是的中位线，得到；设的半径为，则，由勾股定理得，解得，则，可求出，，解直角三角形可得；可证明，，则．【详解】（1）证明：如图