山东省青岛实验初级中学2025~2026学年九年级上册数学12月月考试题【附解析】

/山东省青岛实验初级中学2025−2026学年九年级上学期数学12月月考试题一、单选题1．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（

）A． B．C． D．2．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（）A． B． C． D．3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（

）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（

）A． B． C． D．5．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．6．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（

）A．当液体密度时，浸在液体中的高度B．当液体密度时，浸在液体中的高度C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度D．当液体的密度时，浸在液体中的高度7．图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（）

A． B． C． D．8．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A． B．﹣1 C． D．9．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．如下结论中不正确的是（

）A．与的面积相等B．与始终相等C．四边形的面积大小不会发生变化D．10．如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．计算：___________．12．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B，在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是cm．（参考数据：，，，结果精确到）13．考察函数的图象，当时，y的取值范围是．14．如果矩形的长边为2，短边为1，若另一矩形的周长和面积分别是其周长和面积的3倍，则另一矩形的长边为．15．如图，点在等边的边上，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点，的延长线与的延长线相交于点，则的值为．16．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数时，；④；⑤；⑥若，且，则．其中正确的是．（只填写序号）三、解答题17．要求用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知线段，求作：，使，，且．18．用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．19．已知中，，若，，解此直角三角形．（参考数据：，，）20．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米．（1）苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示）（2）当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出不等式的解集；（3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标．22．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈23．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天______第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：（1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示）（2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）（3）①与x的函数关系式是_____；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？24．问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1．按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．表①最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式1111个1（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2．根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．表②最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式2112个121（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：表③最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式3112个22，231（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：表④最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式4113个22，23，241（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况：表⑤最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式5113个32，2334，251问题解决：（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个，最长边长为7的整数边三角形有___________个；（2）最长边长为100的整数边三角形有___________个；（3）在整数边三角形中，设最长边长为n，若k为正整数，用k的代数式表示：当时，整数边三角形有__个，当时，整数边三角形有__________个；（4）在整数边三角形中，设最长边长为n，用n的代数式表示：当n为奇数时，整数边三角形有________个，当n为偶数时，整数边三角形有________个．25．已知，如图，中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂足是，设运动时间为，解答下列问题：（1）当t为何值时，；（2）设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积是面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；（4）连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由

答案1．【正确答案】C【分析】本题考查三视图，从物体上面看物体得到的平面图形就是物体的俯视图，从而确定答案，注意看得见的棱用实线、看不见的棱用虚线．【详解】解：从上面看组合体，可得它的俯视图是，故选C．2．【正确答案】D【分析】本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型；根据平行投影的定义判断即可；【详解】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：故选D．3．【正确答案】B【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键．过点A作于点H，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解．【详解】解：过点A作于点H，则，∴由勾股定理得，，∴，故选B．4．【正确答案】B【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键．根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标．【详解】解：代入，得，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，，由题意，得在x轴上，∴轴，，∴．故选B．5．【正确答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴可设抛物线解析式为，∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，∴，∴抛物线的解析式为．故选D．6．【正确答案】C【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解．【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为，将代入可得，反比例函数解析式为，根据反比例函数图象可得：当液体密度时，浸在液体中的高度，选项说法错误，不符合题意；当液体密度时，浸在液体中的高度，选项说法错误，不符合题意；根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小，当浸在液体中的高度时，该液体的密度，选项说法正确，符合题意；根据反比例函数图象可得，当液体的密度时，浸在液体中的高度，选项说法错误，不符合题意．故选．7．【正确答案】A【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．故选A．8．【正确答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，故选B.9．【正确答案】B【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键．根据反比例函数系数的几何意义，可知，，代入即可判断选项、，设，则，，，可得，，，由此可判断选项、．【详解】解：、点、是反比例函数的图象上的点，，故选项正确；、设，则，，，则，，令，即，解得（负值舍去），故当点横坐标为时，与才相等，故选项错误；、因为是反比例函数的图象上一动点，所以，故，故选项正确；、设，则，，则，，所以，故选项正确；故选．10．【正确答案】D【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴的直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键．由可得，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可．【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点，∴令，可得纵坐标为，纵坐标为，，，．，．故选D．11．【正确答案】2【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，直接根据特殊角的三角函数值计算即可．熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．【详解】解：.12．【正确答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点B作于点D，过点C作于点E，在中，求得，即，在中，根据三角函数的定义，可求得，即得答案．【详解】过点B作于点D，过点C作于点E，，，，，在中，，，，与尺上沿的交点C在尺上的读数是．13．【正确答案】或【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可．熟练掌握以上知识点是关键．【详解】解：当时，，如图由图可知当时，或.14．【正确答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设另一矩形的长边为x，根据新矩形的周长是原矩形的3倍可得另一矩形的宽为，根据另一矩形的面积是原面积的3倍列出方程，通过解一元二次方程求出长边．【详解】解：设另一矩形的长边为x，则另一矩形的宽为，根据题意得：，整理得，解得，∵x为长边，∴.15．【正确答案】【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由旋转的性质得到，，，由直角三角形的性质求得的长，再由相似三角形的判定和性质求得的长即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，为等边三角形，，，，，，将绕点逆时针旋转得到，，，，，，，，，，，，，解得，，.16．【正确答案】【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．由抛物线开口向上得，根据对称轴得到，根据抛物线与轴交于负半轴，得到，①正确；由得，②错误；根据抛物线对称轴为直线，开口向上，得到函数最小值为，得到③正确；根据抛物线与轴的右交点在之间，左交点在和原点之间，当时，，得到④错误；当时，，得到⑤正确；根据得到，结合，得到抛物线对称轴为，得到⑥正确．【详解】解：二次函数的图象如图所示，由抛物线开口向上得，由抛物线对称轴为，，，由抛物线与轴交于负半轴，则，，故①正确；由得，故②错误；抛物线对称轴为直线，开口向上，函数最小值为，为任意实数时，，即，故③正确；抛物线与轴右交点在，之间，左交点在，之间，当时，，故④错误；当时，函数值，故⑤正确；，，当和时函数值相等，抛物线对称轴为，，故⑥正确正确的有.17．【正确答案】见详解【分析】本题主要考查了复杂作图，三角函数，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．在直线上取点，过点作直线的垂线，在垂线上截取；在直线上截取，作线段的垂直平分线，交直线于点；连接，即为所求．【详解】解：如图所示，即为所求．作法：在直线上取点，过点作直线的垂线，在垂线上截取；在直线上截取，作线段的垂直平分线，交直线于点；连接，即为所求．证明：∵，，，∴，∴．18．【正确答案】抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．【分析】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的图象和性质．按照配方的基本步骤进行即可，注意二次项系数要先提取后化为1，再配一次项系数的一半的平方．【详解】解：，∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．19．【正确答案】此直角三角形三边分别为，，，三个角分别为，，【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．先根据勾股定理求出斜边，再解直角三角形求出，进而求出即可．【详解】解：在中，，，，，，，，，故此直角三角形三边分别为，，，三个角分别为，，．20．【正确答案】（1）（2）当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出相应的代数式．（1）根据木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米，即可求解；（2）根据题意列不等式求出，设苗圃的面积为，则，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米，米.（2）解：由题意可得，解得，设苗圃的面积为，则，，，当时，最大，最大为，答：当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米．21．【正确答案】（1）；（2）或（3）【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．（1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；（2）根据，两点坐标判断即可．（3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为，点在反比例函数图象上，，点A的坐标为点，将点A，B坐标代入中，得，解得，一次函数的表达式为；（2）解：不等式的解集为或；（3）解：令，则，令，则，解得，点C的坐标为，点D的坐标为，设，点A的坐标为点，，，，解得：，22．【正确答案】点O到BC的距离为480m．【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．【详解】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM=，由题意得，840﹣x+=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m．23．【正确答案】（1）（2）（3）①；②第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元【分析】本题综合考查了一次函数的应用、二次函数的应用，运用函数关系正确表示利润是解答的关键．（1）设第x天的单价，利用待定系数法求解；（2）根据利润单价销售量固定成本，列式计算即可；（3）①由图象可知：二次函数的图象经过点，，利用待定系数法求解；②列出关于x的函数关系式，变形为顶点式，求出最大值即可．【详解】（1）解：设第x天的单价，由题意得，解得，.（2）解：由题意得，整理得，即（元）与x的函数关系式为；（3）解：①由图象可知：二次函数的图象经过点，，代入，得：，解得，；②，，当时，有最大值，最大值为4800，∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元．24．【正确答案】（1）12,16（2）2550（3）；（4）；【分析】本题考查的是探究规律，解决问题的关键是列出规律并找出规律及正确分类．（1）由上面列举得1至5的整数边三角形个数规律即可解答；（2）根据1至7的整数边三角形个数规律即可解答；（3）按照n为奇数和偶数分类，找出n与两数乘积中第一个的关系；（4）由（3）可得结论．【详解】（1）解：根据题意得：最长边是奇数时

算式1

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