天津河西实验中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

/天津河西实验中学2025−2026学年上学期12月月考九年级数学试题一、单选题1．下列四个圆形图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A．5 B． C．3 D．3．如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（

）A．75° B．70° C．65° D．60°4．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（

）A． B． C． D．6．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…02…y…1500…则关于x的方程的解为（

）A．， B．，C．， D．，7．正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（）

A． B． C． D．8．如图，与x轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的纵坐标为(

)A． B． C． D．9．对于二次函数，下列说法不正确的是（

）A．当时，有最大值 B．当时，随的增大而减小C．开口向下 D．函数图象与轴交于点和10．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系11．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为长方形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，则线段EF的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．1012．如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（

）A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥二、填空题13．已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为．14．正六边形的半径为3，则正六边形的边心距为．15．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为．16．如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为．17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m.18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．（Ⅰ）线段的长等于___________；（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题19．解下列方程：（1）（2）20．如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；（2）若，，求与的长度．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．（1）画出将关于原点O的中心对称图形．（2）将绕点E顺时针旋转得到，画出．（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．22．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．23．某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：在抽取的人中最喜欢套餐的人数为，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为；依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数；现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．24．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）．（1）如图①，当时，求点D的坐标；（2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；（3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．25．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选C．2．【正确答案】D【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【详解】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+（r-1）2，r=，故选D．3．【正确答案】A【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案．【详解】解：由旋转的性质可得，，∴，∵，∴，∴，故A正确．故选A．4．【正确答案】B【分析】根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解．【详解】∵，是的切线，是的直径，∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵，∴∠PAB=∠CAP-=75°，∴=180°-75°-75°=30°．故选B．5．【正确答案】A【分析】根据题意画出树形图，即可求出在这两个路口都直接通过的概率．【详解】解：由题意画树形图得，由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=．故选A6．【正确答案】A【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可.【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线，而当时，，根据对称性可得：当时，，∴的解为：，；故选A7．【正确答案】C【分析】本题主要考查的是圆内接正多边形的性质以及圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，由于圆内接正方形将圆分成四等分，所以，由圆周角定理知，根据即可得出答案．【详解】解：连接；四边形是圆的内接正方形，；，，故选C．

8．【正确答案】B【分析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥y轴于E，根据圆周角定理得到∠APB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂径定理得到AD=BD=3，解直角三角形得到PD=，PA=PB=PC=2，根据勾股定理得到CE=，于是得到结论．【详解】连接，，，过作于，于，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，，，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴点的纵坐标为.故选B．9．【正确答案】A【分析】先把一般式配成顶点式得到y=-（x-1）2+4，再根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标，可对D进行判断．【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，-1＜0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），故C正确，不符合；当x≥1时，y随x的增大而减小，故B正确，不符合；当x=1时，y有最大值4，故A错误，符合；当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），故D正确，不符合；故选A．10．【正确答案】A【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：，整理得：，，∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选A．11．【正确答案】C【分析】连接AC，取AC的中点O，求出OF、OE，当O、E、F三点共线时EF最大，据此即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点O，∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，∴AC==10，∵AO=OC，CF=FD，∴OF=AD=BC=4，∵∠AEC=90°，∴OE=AC=×10=5，当O、E、F三点共线时EF最大，此时EF的最大值为4+5=9．故选C．12．【正确答案】B【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线，可得到；进而得到同号，再有抛物线开口向上，与轴交于负半轴，可得，，从而得到；再由抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当时，，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解．【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线，∴，即，故①错误；∵，∴，即同号，∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴，∴，，∴，∴，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为A（－4，0），∴抛物线与轴的另一个交点为，故③错误；∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），∴当时，，即抛物线与直线只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，故④错误；观察图象得：当时，，在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，即此时随的增大而增大，又当时，，∴，故⑤正确；观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，∴不等式的解集为，故⑥正确；∴正确的有②⑤⑥．故选B13．【正确答案】//【分析】首先根据二次函数的性质得到开口向上，对称轴为，然后将和代入求解即可．【详解】∵二次函数，∵，∴开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∴当时，∴当时，y取得最小值，即，∵当时，即，当时，即，∴当时，y取得最大值4，∴，∴的最大值与最小值的差为．14．【正确答案】【分析】依题意，依据正六边形的性质，构造等边三角形；然后求其高即可．【详解】解：如图：过O作于G，连接，

∵六边形是正六边形，∴，，∴是等边三角形，∴为等边的高，∴即为正六边形的边心距，又,∴，由勾股定理可得.15．【正确答案】【分析】如图，连接证明为圆的直径，再利用勾股定理求解再利用扇形面积公式计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接为圆的直径，16．【正确答案】5cm【分析】连接BC，由题意易得，进而问题可求解．【详解】解：连接BC，如图所示：∵，∴，∵是直径，∴，∵，∴，∴的半径为5cm；故答案为5cm．17．【正确答案】【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：解得：

所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了故答案是：18．【正确答案】（1）；（2）见详解【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；（2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==；（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．19．【正确答案】（1），（2），【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．（1）利用因式分解法先提取公因式，得到，此时或，进而求得x的值；（2）先整理方程得，利用因式分解法得到，此时或，进而求得x的值．【详解】（1）解：，，∴或，∴，．（2）解：，，，∴或，∴，．20．【正确答案】（1）等腰直角三角形，见详解（2），【分析】（1）圆周角定理得到为直角，，进而得到，即可得出结论；（2）勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长，过点作于点，分别利用勾股定理求出，即可．【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下：∵为的直径，∴，∵（同弧所对的圆周角相等），又，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（2）∵是等腰直角三角形，，∴，，∵为的直径，∴，∴，过点作于点，

∵，∴，∴，∴，∴．21．【正确答案】（1）见详解（2）见详解（3）【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心，对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可；对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接；对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可．【详解】（1）如图所示，（2）如图所示，（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．22．【正确答案】（1）见详解；（2）4【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：作，垂足为F，如图2所示：，在和中，，≌，，，，，在中，，．23．【正确答案】（1）60，108°；（2）336；（3）【分析】（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案；（2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可；（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．【详解】（1）最喜欢套餐的人数=25%×240=60（人），最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人），扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为：360°×=108°.（2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为：960×35%=336（人）；（3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种，故所求概率P==