天津市南开区美达菲学校2025~2026学年九年级上册第二次月考数学试题【附解析】

/天津市南开区美达菲学校2025−2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷一、单选题1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列事件中必然发生的事件是（

）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品D．经过任意三点一定可以画一个圆3．关于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．该函数图象在一、三象限B．当时，随增大而减小C．若在该函数图象上，则D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有4．如图，小正方形的边长均为，则，，，四个选项中的三角形（阴影部分）与相似的是（

）A． B． C． D．5．若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（

）A． B． C． D．6．一次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（

）

A． B． C． D．7．如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（）A． B． C． D．8．某农场每个月都会收获一批南瓜，随着天气转暖，产量逐月增加．4月份的产量是，第二季度的总产量是，若设5，6两个月的月平均增长率为x，则可以列出方程（

）A．B．C．D．9．如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（

）A．2 B．4 C．5 D．310．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．11．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③12．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，同时停止运动，出发时间为．有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为．14．如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于．15．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为．（结果保留）16．如图，在平面直角坐标系中，在函数的图象上有一点，过作轴于点为点关于轴的对称点，若的面积为7，则．17．如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为．三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆过格点A，B，C．（1）的面积等于______；（2）若点E，F为格点，且满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的切线，并简要说明的位置是如何找到的（不要求证明）__________________．19．在4张正面分别写有数字，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀．（1）从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于1的概率是多少？（2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，请用列表法或画树状图法，求点在第三象限的概率．20．已知在反比例函数（为常数，且）的图象上．（1）______________，该反比例函数的图象在第_____________象限；（2）判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________．（3）当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________．（4），，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________．21．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，，连接并延长交的延长线于点G．（1）求证：；（2）求的面积．22．在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接．（1）如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小；（2）如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长．23．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．24．将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在轴正半轴上，连接．（1）填空：如图①，的长为_____________，的度数是_________________；（2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别是，设，与重合部分面积为．①如图②，的边分别与相交于点，即与重合部分为时，请用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②当时，求的取值范围．（直接写出结果即可）25．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）若．①求点P和点B的坐标；②点D为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标；（2）点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标．

答案1．【正确答案】D【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解．【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D．2．【正确答案】C【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念；关键是理解必然事件指在一定条件下一定发生的事件．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．【详解】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故本选项不符合题意；C、100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本选项符合题意；D、只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意．故选C．3．【正确答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意；、当时，随增大而增大，故不符合题意;、若在该函数图象上，则，故符合题意；、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意；故选.4．【正确答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应边的比．根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例，即可根据相似三角形的判定得到结论．【详解】解：小正方形的边长为1，在中，，，，A选项中，一边，一边，一边，有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似，符合题意；B选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意；C选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意；D选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意．故选A．5．【正确答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值．【详解】一元二次方程的两个实数根，，，∵，即，∴，，故选．6．【正确答案】C【分析】根据一次函数的图象可知，随的增大而减小，可得，一次函数的图象与轴的交点为，可得，据此可判断一次函数与反比例函数的图象．【详解】根据一次函数的图象可知，随的增大而减小，可得．一次函数的图象与轴的交点为，可得．则在一次函数的图象中，随的增大而减小，一次函数的图象与轴的交点为，位于原点下方．则反比例函数的图象中，双曲线的两支分别位于第（一）第三象限，在每一象限内，随的增大而减小．故选C．7．【正确答案】D【分析】本题考查正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】解：如图所示，连接，，是正五边形，，，故选D．8．【正确答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．据此即可得出五月和六月的产量，再根据总产量等于三个月产量之和，即可列出方程．【详解】解：设5，6两个月的月平均增长率为x，则可以列出方程，故选C．9．【正确答案】A【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得的长．【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D、E、F，，，，，，，解得：（舍）或2，故选A．10．【正确答案】D【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．【详解】解：记与相交于一点H，如图所示：∵中，将绕点顺时针旋转得到，∴∵∴在中，∴故D选项是正确的，符合题意；设∴∵∴∴∵不一定等于∴不一定等于∴不一定成立，故B选项不正确，不符合题意；∵不一定等于∴不一定成立，故A选项不正确，不符合题意；∵将绕点顺时针旋转得到，∴∴故C选项不正确，不符合题意；故选D11．【正确答案】D【分析】根据作图可知①正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到②正确，根据平行线的性质证明判断即可；【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是的中点，∴，∴，∴BD平分∠ABC，故①正确；连接DC，AC，∵OD垂直平分AC，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴BC∥OD，故②正确；∴，，∴，∴，设，则，，∴，∴CE＝OE，故③正确；故选D．12．【正确答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③．【详解】解：①由题意得：根据题意得：，，∴，∴，∵，∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确；②把代入得：，解得：，，∵，∴不符合题意，∴出发时间有一个不同的值满足的面积为，故②错误；③当的长是时，根据勾股定理得：，∴，整理得：，∵，∴此方程无解，∴的长不可以是，故③错误；综上分析可知：正确结论的个数是1个，故选B．13．【正确答案】4【分析】本题考查了分式方程的应用，简单的概率计算，熟练掌握分式方程的应用．简单的概率计算是解题的关键．设白球的个数为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：设白球的个数为，依题意得，，解得，，经检验，是分式方程的解，且符合要求.14．【正确答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴15．【正确答案】【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解．【详解】解：如图，连接，

根据题意得：，，，，.16．【正确答案】7【分析】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，轴对称的性质．设点，则，连接，由点B与点A关于y轴对称得到，从而，因此，再根据点在函数的图象上可得．【详解】解：设点，∴，连接，∵点B与点A关于y轴对称，∴，∴，∵，即，∴，∵点在函数的图象上，∴，∴．17．【正确答案】；/【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答．【详解】解：连接，作，连接，∵，∴，∵为圆心，半径为2，∴，在中，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为，故答案为；．18．【正确答案】（1）（2）见详解【分析】本题主要考查了三角形的面积、圆的切线的定义、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所需知识成为解题的关键．（1）根据方格可以确定三角形的底和高，然后根据三角形的面积公式计算即可解答；（2）先确定圆心，然后再根据相似三角形和正切的定义、切线的定义即可解答．【详解】（1）解：如图：的面积为：（2）解:如图，在以为对角线的矩形内确定两对角线的交点S，连接并延长交格点R；在正上方取两个小正方形，并确定其中心分别为,作直线交于O，O即为圆心；然后确定格点，连接，则即为所求；证明：由图可知：,即，∵S为矩形的对角线的交点，∴，∴∴垂直平分，由作图可知：垂直平分，∴直线交的交点O为圆心，设交、于M，N，∴，∴，∴，在中，，取格点，形成,，∴，∵，∴，即,∴为圆O的切线．19．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）通过列表展示所有12种等可能情况，利用第三象限的点的坐标特点得到点在第三象限的结果数，然后根据概率公式求解；本题考查了列表法与树状图法，利用列表法和树状图法展示所有可能的结果是解题的关键．【详解】（1）解：∵，，

∴只有∴绝对值不大于1的概率是．（2）列表如下：共有12种等可能情况，其中在第三象限的点有，共2个．所以点在第三象限的概率．20．【正确答案】（1）；二、四（2）A，C（3）（4）【分析】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，比较反比例函数值大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）将代入即可求出；然后得到反比例函数，根据即可得到该反比例函数的图象在第二、四象限；（2）分别将点A，B，C的横坐标代入求解判断即可；（3）分别求出时和时的函数值，然后根据增减性求解即可；（4）首先判断出点D，E在第二象限，点F在第四象限，然后根据该反比例函数的图象在第二、四象限和增减性求解即可．【详解】（1）解：将代入得，，解得；∴反比例函数，∵，∴该反比例函数的图象在第二、四象限；（2）解：将代入，∴点在该反比例函数的图象；将代入，∴点不在该反比例函数的图象；将代入，∴点在该反比例函数的图象；∴在该反比例函数的图象上的点是A，C；（3）解：∵该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，∵，∴当时，；当时，；∴该反比例函数的函数值的取值范围为；（4）解：∵，，在反比例函数图象上，且，∴点D，E在第二象限，∵，又∵该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，∴，∵，∴点F在第四象限，∴，∴．21．【正确答案】（1）见详解（2）9【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．（1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论；（2）通过证明，可得，根据可得、，利用三角形面积公式可求解．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，则，∴；（2）解：∵四边形为正方形，∴，，，∴，∴，又∵，正方形的边长为4，，∴，，∴，，∴的面积．22．【正确答案】（1），；（2）．【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求解；（2）连接，根据切线的性质可得，根据，可得，再证得为等边三角形，可得，结合，可得，然后在中，利用勾股定理解得即可．【详解】（1）解：在中，弦于点E，，∴，，，是的直径，∴，；，，又弦于点E，即，．（2）解：连接，直线切于点D，，即，，，，同（1）得，又，为等边三角形，，，，，在中，，．23．【正确答案】（1）；；（2）10m（3）168000元【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．【详解】（1）解：∵育苗区的边长为xm，活动区的边长为10m，∴花卉A的面积为：，花卉B的面积为：，花卉C的面积为.（2）解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，∵A，B两种花卉的总产值相等，∴，∴，解方程得（舍去）或，∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；（3）解：∵花卉A与B的种植面积之和为：，∴，∴，∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，∴，∴，∴，∴当时，y随x的增加而减小，∴当时，y最大，且（百元），故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．24．【正确答案】（1），（2）①；②【分析】（1）根据勾股定理可得答案，再根据，可得；（2）①过点作于，则，可得，设，由，得，，根据，即，，当点C与点E重合时，即，解得，得；②第一种情况，当时，过点作轴于，连接，可得点D此时刚好在上，；第二种情况，当时，设与，分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J，由①得，则，由题设可得，直线的关系式为