江西省抚州市临川区二中2026届数学高一上期末综合测试试题含解析

江西省抚州市临川区二中2026届数学高一上期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，，，若，，则（）A. B.C. D.2．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于A. B.C. D.3．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）A. B.C. D.5．已知命题p：∃x∈R，x2+2x<0，则A.∃x∈R，x2+2x≤0 B.∃x∈RC.∀x∈R，x2+2x≥0 D.∀x∈R6．若，，则（）A. B.C. D.7．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围为（）A. B.C. D.9．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数是（）A. B.C. D.10．若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数f(x)的定义域是[-1，1]，则函数f(log2x)的定义域为____12．如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为，则平面图形的面积为______.13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.14．若，则_________.15．函数最大值为__________16．已知函数，则满足的的取值范围是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，点D，E分别为AB，AC的中点．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）CD⊥平面PAB18．已知集合，.（1）分别判断元素，与集合A，B的关系；（2）判断集合A与集合B的关系并说明理由.19．已知，，，，求.20．已知.（1）若关于x的不等式的解集为区间，求a的值；（2）设，解关于x的不等式.21．已知向量，1若

，共线，求x的值；2若，求x的值；3当时，求与夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】计算出向量的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数的等式，解出即可.【详解】向量，，，又且，，解得.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.2、B【解析】取的中点，则由三角形的中位线的性质可得平行且等于的一半，故或其补角即为异面直线与所成的角．设正方体的棱长为1，则，，故为等边三角形，故∠EGH=60°考点：空间几何体中异面直线所成角．【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想．取的中点，由三角形的中位线的性质可得或其补角即为异面直线与所成的角．判断为等边三角形，从而求得异面直线与所成的角的大小3、B【解析】利用中位线定理可得GE∥SA，则∠GEF为异面直线EF与SA所成的角，判断三角形为等腰直角三角形即可.【详解】取AC中点G，连接EG，GF，FC设棱长为2，则CF=，而CE=1∴EF=，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角∵EF=，GE=1，GF=1∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°故选：B.【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4、A【解析】球的内接正方体的对角线就是球的直径，正方体的棱长为a，球的半径为r，则，求出正方体棱长，再求球半径即可【详解】解：设正方体的棱长为a，球的半径为r，则，所以又因所以所以故选：A【点睛】考查球内接正方体棱长和球半径的关系以及球表面积的求法，基础题.5、C【解析】根据特称命题否定是全称命题即可得解.【详解】把存在改为任意，把结论否定，¬p为∀x∈R，x2故选：C6、C【解析】由题可得，从而可求出，即得.【详解】∵所以，又因为，，所以，即，所以，又因为，所以，故选：C7、C【解析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.【详解】解：，即，即又当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.8、B【解析】画出的图象，根据方程有个相异的实根列不等式，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图象如图所示，由题意知，当时，；当时，.令，则原方程化为.∵方程有8个相异实根，∴关于t的方程在上有两个不等实根.令，，∴，解得.故选：B9、D【解析】根据图像平移过程，写出平移后的函数解析式即可.【详解】由题设，.故选：D10、B【解析】由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的；对C，是减函数，故C错；对D，函数是减函数，故D错误。故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据给定条件列出使函数f(log2x)有意义的不等式组，再求出其解集即可.【详解】因函数f(x)的定义域是[-1，1]，则在f(log2x)中，必有，解不等式可得：，即，所以函数f(log2x)的定义域为.故答案为：12、【解析】由题意可知，该几何体的直观图面积，可通过，带入即可求解出该平面图形的面积.【详解】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，所以原图形的面积是故答案为：.13、6π＋40【解析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即可求解扇形的周长，得到答案.【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，∴由扇形的弧长公式，可得弧长，∴扇形的周长为.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14、##【解析】依题意利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，所以.故答案为：.15、3【解析】分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案为3.点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.16、【解析】∵在x∈（0,+∞）上是减函数，f(1)=0，∴0<3－x<1，解得2<x<3.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)由点D、E分别为AB、AC中点得知DE∥BC,由此证得DE∥平面PBC;(2)要证CD⊥平面PAB,只需证明垂直平面内的两条相交直线与即可.【详解】（1）因为点D、E分别为AB、AC中点，所以DE∥BC又因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC（2）因为CA＝CB，点D为AB中点，所以CD⊥AB因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PA⊥CD又因为PA∩AB＝A，所以CD⊥平面PAB【点睛】本题考查线面平行的证明,线面垂直的证明,属于基础题.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.18、（1），，，；（2），理由见解析.【解析】（1）根据集合的描述，判断是否存在使，属于集合A，B即可.（2）法一：由（1）结论，并判断是否有，即知A与B的关系；法二：={x|x是的整数倍}，={x|x是的奇数倍}，即知A与B的关系；【小问1详解】法一：令，得，故；令，得，故.同理，令，得，故；令，得，故.法二：由题意得：，又，故，；，.【小问2详解】法一：由（1）得：，，故；又，，由，得，故，所以，都有，即，又，所以.法二：由题意得={x|x是的整数倍}，={x|x是的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B是集合A的真子集，即.19、【解析】由已知结合商数关系、平方关系求，根据的范围及平方关系求，最后由结合差角余弦公式求值即可.【详解】因为，所以，又，可得或，而，所以，由，且，解得，因为，，则，所以，所以.20、（1）；（2）答案见解析.【解析】(1)先将分式不等式转化成一元二次不等式，再根据解集与根的关系，即得结果；(2)先将分式不等式转化成一元二次不等式，再结合根的大小对a进行分类讨论求解集即可.【详解】（1）由，得，即，即，等价于，由题意得，则；（2）即，即.①当时，不等式即为，则，此时原不等式解集为；②当时，不等式即为.1°若，则，所以，此时原不等式解集为；2°若，则，不等式为，x不存在，此时原不等式解集为；3°若，则，所以，此时原不等式解集为.【点睛】分式不等式的解法：等价于；等价于；等价于或；等价于或.21、（1）；（2）；（3）【解析】（