2026赢在微点 高考数学考前顶层设计 数学专题六含答案

2026赢在微点高考数学考前顶层设计数学专题六函数、导数与不等式微专题18函数的图象与性质1.函数的单调性(1)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.(2)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数组成的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数组成的复合函数为减函数,简称“同增异减”.2.函数的奇偶性(1)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;若函数f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).(2)在公共定义域内,奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3.函数的周期性(1)若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1f(x)或f(x+a)=-1f(x)(a≠0),则y=f(x)是以2|a|(2)若f(x+a)=f(x-a)(a>0)恒成立,则y=f(x)是以2a为周期的周期函数.(3)函数图象的对称与周期关系的常见结论:①若函数y=f(x)图象的两条对称轴的方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为2|a-b|.②若函数y=f(x)图象的两个对称中心分别为点(a,0),(b,0),则函数的一个周期为2|a-b|.③若函数y=f(x)图象的一条对称轴的方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为4|a-b|.4.函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(2)若f(a+x)+f(b-x)=0恒成立,则f(x)的图象关于点a+b2,0对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x)恒成立,则f(x)的图象关于点(a,0)微点一函数的图象与函数解析式例1(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(B)ABCD解析(排除法)由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,C;f(1)=-1+e-1esin1>-1+e-1esinπ6=-1+e2-1(2)(2025·天津高考)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(D)A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x解析由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(x)为偶函数,易得f(x)=x1-x与f(x)=xx-1均为奇函数,排除选项A,B.由题图可知当x>1时,f(x)>0,易得当x>1时,f(x)=x1-x2<0,f(x)=xx训练1(1)(2025·江西一模)函数f(x)=x-1xcosπx的部分图象大致为(ABCD解析函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数f(-x)=-x+1xcos(-πx)=-x-1xcosπx=-f(x),f(x)是奇函数,所以排除B,C,又函数f(x)在原点附近大于0的零点为12和1,可取大于0且接近于0的一个数,如0.1,得f(0.1)=(0.1-10)cos(0.1π)<0(2)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(B)A.f(x)=cos2x·(ex-e-x)B.f(x)=sin2x·lnxC.f(x)=eD.f(x)=1x·ln解析对于A,函数f(x)=cos2x·(ex-e-x)的定义域为R,而题中函数图象在自变量为0时无意义,不符合题意,排除;对于C,当x>0时,f(x)=ex+e-xx>0,与题中函数图象不符,排除;对于D,当x>0时,f(x)=1x·lnx2x2+1=1x[lnx2-ln(x微点二函数性质的应用考向1单调性与奇偶性例2(1)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(D)A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)解析函数y=2x在R上是增函数,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则函数y=x(x-a)=x-a22-a24在区间(0,1)上单调递减,因此a2≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2(2)(2025·济宁一模)已知函数f(x)=a-22x+1cosx是奇函数,则实数解析因为2x+1>0,可知函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,则f(0)=a-1=0,解得a=1,则f(x)=1-22x+1cosx,又因为f(-x)+f(x)=1-22-x+1cos(-x)+1-22x+1cosx=2-2×2x2x+1-22x+1cosx=(2-2)cosx=0,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.训练2已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)+f(2x)≥0的解集为(A)A.[-2,0]B.[0,2]C.(-∞,-2]∪[0,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)解析解法一:由题意得f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2),即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),不妨令x1>x2,则x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上单调递减.在f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=x2=0,则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=0,故f(x)是奇函数.由f(x2)+f(2x)≥0,得f(x2)≥-f(2x),即f(x2)≥f(-2x),所以x2≤-2x,解得-2≤x≤0,即x∈[-2,0].故选A.解法二:因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),所以可令f(x)=kx,又当x>0时,f(x)<0,所以k<0,所以f(x2)+f(2x)≥0可转化为kx2+2kx≥0,即x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,即x∈[-2,0].故选A.考向2奇偶性、周期性与对称性例3(2025·合肥模拟)(多选题)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R,且f(x-1)和g(2x+1)都是奇函数,且g(0)=13,则下列说法正确的有(ACD)A.g(x)关于x=-1对称B.f(x)关于(1,0)对称C.g(x)是周期函数D.i=112ig(2i)解析因为f(x-1)为奇函数,所以f(x-1)=-f(-x-1),所以f'(x-1)=f'(-x-1),即g(x-1)=g(-x-1),所以g(x)的图象关于直线x=-1对称.故A正确;因为f(x-1)为奇函数,则其图象关于(0,0)对称,向左平移一个单位后得到f(x)的图象,则f(x)的图象关于(-1,0)对称,故B错误;因为g(2x+1)为奇函数,则g(2x+1)=-g(-2x+1),则有g(x+1)=-g(-x+1),所以g(x)=-g(-x+2)①,又g(x-1)=g(-x-1),则g(x)=g(-x-2)②,由①②得g(-x-2)=-g(-x+2),则g(x-2)=-g(x+2),则g(x)=-g(x+4),g(x+4)=-g(x+8),则g(x)=g(x+8),所以8是函数g(x)的一个周期,g(x)是周期函数,故C正确;因为g(0)=13,g(x)=-g(-x+2),g(x)=-g(x+4),所以g(2)=-g(2-2)=-g(0)=-13,g(4)=-g(0)=-13,g(6)=-g(2)=13,所以i=112ig(2i)=(-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12)×13=4,周期性与奇偶性的综合应用周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值对应的自变量转化到已知解析式的区间内求解.训练3(2025·南昌一模)(多选题)已知f(x)是R上的连续函数,满足∀x,y∈R有f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1)=1.则下列说法中正确的是(BCD)A.f(0)=0B.f(x)为偶函数C.f(x)的一个周期为6D.32,0是f(x解析因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(x)的定义域为R,关于原点对称,对于选项A:令x=y=0,则2f(0)=f2(0),解得f(0)=0或f(0)=2,若f(0)=0,令y=0时,f(x)+f(x)=2f(x)=f(x)f(0)=0,这与f(1)=1矛盾,故f(0)=2,故A错误;对于选项B:令x=0,则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y),即f(-y)=f(y),可知f(x)是偶函数,故B正确;对于选项D:因为f(0)=2,f(1)=1,当x=1,y=1时,f(2)+f(0)=f(1)f(1),故f(2)=-1,当x=2,y=1时,f(3)+f(1)=f(2)f(1),故f(3)=-2,当x=y=32时,f(3)+f(0)=f232,故f32=0,当x=32时,f32+y+f32-y=f32f(y)=0,所以f32+y+f32-y=0,32,0是f(x)的一个对称中心,故D正确;对于选项C:因为f32+y+f32-y=0,即f32+y=-f32-y,即f32+x=-f32-x,则f(x+3)=-f(-x),又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(x+3)=-f(x),所以f(x+61.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(D)A.f(x)=-x B.f(x)=2C.f(x)=x2 D.f(x)=3解析如图,在坐标系中分别画出A、B、C、D四个选项中函数的大致图象,即可快速直观判断D项符合题意.故选D.2.(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示,则f(x)的解析式可能为(D)A.f(x)=5(ex-e-x)x2+2C.f(x)=5(ex+e-x)x2+2解析由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.对于A,f(x)=5(ex-e-x)x2+2,定义域为R,f(-x)=5(e-x-ex)x2+2=-f(x),所以函数f(x)=5(ex-e-x)x2+2是奇函数,所以排除A;对于B,f(x)=5sinxx2+1,定义域为R,f(-x)=5sin(-x)x2+1=-5sinxx2+1=-f(x),所以函数f(x)=5sinxx2+1是奇函数,所以排除B;对于C,f(x)=5(ex+e-x)x2+2,定义域为R,f(-x)=3.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f-34=(A.-12 B.-C.14 D.解析f-34=f34=f34+24.(2021·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=1.解析因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.微练(二十九)函数的图象与性质基础过关练一、单项选择题1.(2023·北京高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(C)A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x解析对A,因为函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-lnx在(0,+∞)上单调递减,所以A不符合要求;对B,因为f(x)=12x=12x在(0,+∞)上单调递减,所以B不符合要求;对C,因为函数y=1x在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-1x在(0,+∞)上单调递增,所以C符合要求;对D,当0<x<1时,y=3|x-1|=31-x在(0,1)上单调递减,2.(2025·茂名一模)已知函数f(x)=3x,x<1,log3(x+8),x≥1,则f(-1)+f(A.43 B.3 C.73 解析因为f(x)=3x,x<1,log3(x+8),x≥1,所以f(1)=log39=2,f(-1)=3-1=13,所以f(-1)+f(1)=3.(2025·四川一模)若函数f(x)=a·2x+22x为奇函数,则A.0 B.1 C.2 D.无解解析根据题意,函数f(x)=a·2x+22x=a+22x=a+21-x,则f(-x)=a+21+x,若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=2a+21-x+21+x=0,即a=-(2-x+2x),a4.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(A)A.f(x)=-2x2x-1 B.f(C.f(x)=-2xx-1 D.f(x)解析由图可知,图象对应的函数为偶函数,函数的定义域不是实数集,故排除B,C;D选项中,当x→-∞时,f(x)→0,不符合图象,故排除D.故选A.5.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(B)A.f(x)=ex-x2x2+1 C.f(x)=ex-xx+1 D.f(x解析对于A,f(-x)=e-x-(-x)2(-x)2+1=e-x-x2x2+1≠f(x),故f(x)不是偶函数;对于B,f(-x)=cos(-x)+(-x)2(-x)2+1=cosx+x2x2+1=f(x),故f(x)是偶函数;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数;对于D,f6.(2025·沈阳一模)函数f(x)=sinxlg(x2+e)ABCD解析因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)lg[(-x)2+e]=-sinxlg(x2+e)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故排除B,C,又当x∈0,π2时,lg(x2+e)>0,sinx>0,f(x)7.函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数,若f(1)=2,则f(2025)=(D)A.-2 B.-1 C.0 D.2解析因为y=f(x-2)为奇函数,所以y=f(x)的图象关于点(-2,0)对称,即f(-x)+f(x-4)=0,又y=f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),则f(x)=f(x-4)⇒f(x+4)=f(x),所以y=f(x)的周期为4,故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=2.故选D.8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有f(x2)-f(x1)x2-x1>2,f(1)=2026,则满足不等式f(x-2025)A.(2026,+∞) B.(2025,+∞)C.(1013,+∞) D.(1012,+∞)解析由f(x2)-f(x1)x2-x1>2,得[f(x2)-2x2]-[f(x1)-2x1]x2-x1>0,即函数y=f(x)-2x在[0,+∞)上单调递增.又f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以y=f(x)-2x为奇函数,所以y=f(x)-2x在R上单调递增.由f(x-2025)>2(x-1013),f(1)=2026,得f(x-2二、多项选择题9.已知函数f(x)=ex-e-x2,g(x)=exA.函数f(x)在R上单调递增B.函数f(x)g(x)是奇函数C.函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称D.g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2解析对于A,因为y=ex在R上单调递增,y=-e-x在R上单调递增,所以f(x)=ex-e-x2在R上单调递增,故A正确;对于B,因为f(x)g(x)=ex-e-x2·ex+e-x2=e2x-e-2x4,所以f(-x)g(-x)=e-2x-e2x4=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)为奇函数,故B正确;对于C,因为f(x)为奇函数,图象关于原点对称,而g(x)为偶函数,图象关于y轴对称,所以f(x)与g(x)的图象不会关于原点对称,故C错误;对于D,[f(x)]2+[g(10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(2-x),f(x+3)=f(3-x),则下列说法正确的是(AC)A.f(x)的周期为4 B.f(x+2)为偶函数C.f(0)=0 D.f(1)=0解析由f(x+2)=-f(2-x),得f(x+4)=-f(-x),由f(x+3)=f(3-x),得f(x+6)=f(-x),所以f(x+6)=-f(x+4),即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,A正确;由f(x+2)=-f(2-x)可知f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(2)=0,所以f(0)=-f(2)=0,C正确;由f(x+3)=f(3-x)知f(x)的图象关于直线x=3对称,所以f(x+2)的图象关于直线x=1对称,结合周期、对称中心,进一步可知f(x+2)图象的对称轴为直线x=m(m为奇数),所以f(x+2)不是偶函数,B错误.结合周期、对称轴,可知f(x)图象的对称中心为点(n,0)(n为偶数),无法得到f(1)=0,D错误.故选AC.11.已知函数f(x)=2x+12x+a,则A.当a>0时,f(x)是增函数B.当a<0时,f(x)的值域为(2,+∞)C.当a=1时,曲线y=f(x)关于点(0,1)对称D.当a=4时,∀x∈R,f(kx+1)+f(2-x2)<2,则-2<k<2解析对于A:因为f(x)=2x+12x+a=2+-2a2x+a的定义域为R,当a>0时y=2x+a在定义域R上单调递增,且y=2x+a>a>0,又y=-2ax在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在定义域R上单调递增,故A正确;对于B:当a=-2时f(0)=-2,但是-2∉(2,+∞),故B错误;对于C:当a=1时,f(x)=2x+12x+1,则f(x)+f(-x)=2x+12x+1+2-x+12-x+1=2x+12x+1+22x+1=2,所以曲线y=f(x)关于点(0,1)对称,故C正确;对于D:当a=4时,f(x)=2x+12x+4=2x-12x-2+1的图象是由y=2x+12x+1的图象向右平移2个单位长度得到,所以f(x)的对称中心为(2,1),且在定义域R上单调递增,所以∀x∈R,f(kx+1)+f(2-x2)<2,可得∀x∈R,2-f(4-kx-1)+f(2-x2)<2,即∀x∈R,f(2-x2)<f(4-kx-1),三、填空题12.“函数f(x)=ax2-sinx是奇函数”的充要条件是实数a=0.解析若f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,所以a(-x)2-sin(-x)+ax2-sinx=0,2ax2=0,所以a=0.13.(2025·昆明一模)已知函数f(x)=ex,x≥1,f(x+1),x<1,则f(ln2)解析因为f(x)=ex,x≥1,f(x+1),x<1,且0=ln1<ln2<lne=1,所以f(ln2)=f(1+ln2)=e1+ln2=e×eln14.已知函数f(x)=e|x|-cosπ2x,则使得f(x-1)>f(2x)成立的x的取值范围是

-1,1解析显然f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=ex-cosπ2x,f'(x)=ex+π2sinπ2x,当0<x≤2时,显然f'(x)>0,当x>2时,ex>e2,-π2≤π2sinπ2x≤π2,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.所以当f(x-1)>f(2x)时,有|x-1|>|2x|能力提升练15.(2025·贵州一模)函数f(x)=-x,x<0,-x,x≥0,若∀x∈(1,+∞),不等式f(x+2m)+f1x-1-m2<0A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)解析因为函数f(x)=-x,x<0,-x,x≥0,f(x)为减函数;又因为x<0,f(-x)=--x=-f(x),x>0,f(-x)=x=-f(x),所以f(x)为奇函数,若∀x∈(1,+∞),不等式f(x+2m)+f1x-1-m2<0恒成立,则不等式f(x+2m)<-f1x-1-m2,因为f(x)为奇函数,所以f(x+2m)<f-1x-1+m2,因为f(x)为减函数,所以x+2m>-1x-1+m2恒成立,所以x+1x-1>m2-2m恒成立,所以x+1x-1min>m2-2m,∀x∈(1,+∞),x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2(x-1)×1x-1+1=3,当且仅当x=2时取最小值3,所以m2-2m<3,16.(2025·云南一模)已知min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,函数f(x)=minx2,1x+1,若∃x∈[1,3],使得关于x的不等式f(x)≤f(t)成立,则实数t的取值范围是

解析因为f(x)=minx2,1x+1,则定义域为{x|x≠-1},所以f(x)的图象是取y=x2与y=1x+1图象位于下方的部分,作出y=f(x)的图象如图所示(实线部分):当x∈[1,3]时f(x)=1x+1,显然f(x)在[1,3]上单调递减,且f(x)∈14,12;因为∃x∈[1,3],使得关于x的不等式f(x)≤f(t)成立,所以f(t)≥14,令x2=14,解得x=±12,结合图象可得f(t)≥14的解集为-1<x≤-微专题19基本初等函数、函数与方程1.指数函数与对数函数的图象与性质(1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分0<a<1,a>1两种情况讨论.当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当0<a<1时,两函数在定义域内都为减函数.(2)底数互为倒数的两指数函数的图象关于y轴对称;底数互为倒数的两对数函数的图象关于x轴对称.2.函数的零点问题(1)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程;②利用函数零点存在定理求解;③数形结合,利用两函数图象的交点求解.微点一基本初等函数的图象与性质例1(1)在同一平面直角坐标系中,函数y=loga(-x),y=a-1x(a>0,且a≠1)的图象可能是(CABCD解析因为函数y=loga(-x)的图象与函数y=logax的图象关于y轴对称,所以函数y=loga(-x)的图象恒过定点(-1,0),故选项A,B错误.当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减,而y=a-1x(a>1)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故D错误,C正确(2)已知函数f(x)=log5(ax-2)在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(C)A.(1,+∞) B.[ln2,+∞)C.(2,+∞) D.[2,+∞)解析若f(x)=log5(ax-2)在[1,+∞)上单调递增,则必然在x=1处有定义,所以a1-2>0,即a>2.若a>2,则当x≥1时,ax-2≥a-2>0,所以f(x)在[1,+∞)上有定义,再由a>2知ax-2在R上单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,故a的取值范围是(2,+∞).(1)指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响,解决指数函数、对数函数问题时,首先要看底数a的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化.训练1(1)(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(D)A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c解析解法一:因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D.解法二:因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D.(2)(2025·徐州模拟)已知函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M.若(1,+∞)⊆M,则实数aA.-∞,B.0,C.-∞,-14D.1解析当a=0时,f(x)=2-x+1∈(0,+∞),符合题意;当a≠0时,因为函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M,且满足(1,+∞)⊆M,由指数函数的单调性可知,二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0,当a>0时,依题意有y=ax2-x+1的最小值4a-14a≤0,即0<a≤14;当a<0时,不符合题意微点二函数的零点考向1函数零点的判断例2(1)(2025·天津高考)函数f(x)=0.3x-x的零点所在区间是(B)A.(0,0.3) B.(0.3,0.5)C.(0.5,1) D.(1,2)解析易知f(x)单调递减,又f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.3=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.5=0.3-0.5<0,所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5),故选B.(2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x-1A.1 B.2 C.3 D.4解析因为y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度所得函数为y=cos2x+π6+π6=cos2x+π2=-sin2x,所以f(x)=-sin2x,而y=12x-12显然过0,-12与(1,0)两点,作出y=f(x)与y=12x-12的大致图象如图所示,考虑2x=-3π2,2x=3π2,2x=7π2,即x=-3π4,x=3π4,x=7π4处f(x)与y=12x-12的大小关系,当x=-3π4时,f-3π4=-sin-3π2=-1,y=12×-3π4-12=-3π+48<-1;当x=3π4时,f3π4=-sin3π2=1,y=12×3π4-12=3π-4判断函数零点个数的方法(1)利用零点存在定理判断.(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.考向2函数零点的应用例3(2025·江西模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(4x3-m-1)恰有3个零点,则m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4)解析令f(x)=(x2-4x+m)(4x3-m-1)=0,得m=-x2+4x或m=4x3-1.令g(x)=-x2+4x,h(x)=4x3-1,作出两函数的大致图象,如图所示,这两个函数图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法训练2(1)设c∈R,函数f(x)=x-c,x≥0,2x-2c,x<0.若f(x)恰有一个零点,则c的取值范围是A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞)C.0,12 D.{0}解析画出函数g(x)=x,x≥0,2x,x<0的图象如图所示.函数f(x)=x-c,x≥0,2x-2c,x<0可由g(x)=x,x≥0,2x,x<0分段平移得到,易知当c=0时,函数f(x)恰有一个零点,满足题意;当c<0时,代表图象往上平移,显然没有零点,不符合题意;当c>0时,图象往下平移,若当0<2c<1时,函数有两个零点;若当2c≥1,即当c≥12时,f(x)恰有一个零点,满足题意.综上,可得(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=lgx,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点的个数是11.解析因为f(x-1)=f(x+1),所以f(x)=f(x+2),则f(x)的周期为2,又f(x)为偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,所以可利用f(x)的周期性与奇偶性作出f(x)的大致图象,因为g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=lgx,所以函数y=g(x)的大致图象如图所示.考虑特殊位置,当x=-1时,f(-1)=1,g(-1)=-g(1)=-lg1=0;当x=9时,f(9)=f(1)=f(-1)=1,g(9)=lg9<1;当x=11时,f(11)=f(1)=1,g(11)=lg11>1,函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数即函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的交点个数,所以由图象可知函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的交点个数为11(不要忽略原点).微点三函数模型及其应用例4(1)(2025·北京高考)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(B)A.2 B.4 C.20 D.40解析设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3,由题意,T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210),因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.故选B.(2)(2025·江西一模)经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v=12log3θ100(单位:m/s),θ表示湟鱼的耗氧量的单位数.若某条湟鱼把游速提高2m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的(A.2倍 B.4倍 C.9倍 D.81倍解析设原来和现在的耗氧量的单位数分别为θ1,θ2,则12log3θ2100=12log3θ1100+2,所以log3θ2θ1=4,所以θ2训练3(多选题)某大型商场开业期间为吸引顾客,推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动,奖品为本商场现金购物卡,可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级,等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y=eax+b+k,三等奖比四等奖的面值多100元,比五等奖的面值多120元,且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍,则(ACD)A.a=-ln5B.k=15C.一等奖的面值为3130元D.三等奖的面值为130元解析由题意可知,四等奖比五等奖的面值多20元,所以(e3a+b+k)-(e4a+b+k)(e4a+b+k)-(e5a+b+k)=e-a=10020=5,则a=-ln5,故A正确.由(e3a+b+k)-(e4a+b+k)=e3a+b(1-ea)=100,可知e3a+b=125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍,所以e4a+b+k=3(e5a+b+k),解得k=5,故B错误.三等奖的面值为e3a+b+k=125+5=130元,故D正确.由ea+b+k=e3a+b·e-2a+k=125×25+5=31301.(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(B)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a解析由函数y=4.2x单调递增可知,0<a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故选B.2.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a=(B)A.116 B.19 C.18解析因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=14a=193.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)(CA.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6解析4.9=5+lgV⇒lgV=-0.1⇒V=10-110=11010≈11.259≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为4.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgpp0,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压,声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(ACD)A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2解析因为Lp=20×lgpp0随着p的增大而增大,且Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],所以Lp1≥Lp2,所以p1≥p2,故A正确;假设p2>10p3,则p010Lp220>10p010Lp320,所以10Lp220-Lp320>10,所以Lp2-Lp3>20,不可能成立,故B不正确;由Lp=20×lgpp0,得p=p010Lp20.因为Lp3=40,所以p5.(2024·全国甲卷)已知a>1且1log8a-1loga4解析根据题意有113log2a-12loga2=-52,即3loga2-12loga2=-52,设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-12t=-52,得t=16微练(三十)基本初等函数、函数与方程基础过关练一、单项选择题1.函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零点所在的区间是(C)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析因为函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)在-12,+∞上单调递减,所以函数f(x)最多只有一个零点.因为f(0)=5-lg1=5>0,f(1)=3-lg3>0,f(2)=1-lg5>0,f(3)=-1-lg7<0,所以函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零点所在的区间是(2,3)2.已知函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则实数m的取值范围是(D)A.(-∞,-18) B.(5,+∞)C.(5,18) D.(-18,-5)解析由函数零点存在定理可知,若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)上存在零点,显然函数为增函数,只需满足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得-18<m<-5,所以实数m的取值范围是(-18,-5).故选D.3.(2025·南昌一模)已知f(x)=x2-2x,x<0,2x,x≥0,则方程f(x)A.1 B.2 C.5 D.7解析若x<0,由x2-2x=8⇒(x+2)(x-4)=0,所以x=-2;若x>0,由2x=8⇒x=3.因为-2+3=1,所以方程f(x)=8的所有根的和为1.故选A.4.(2025·桂林模拟)已知a=32,3b=5,5c=8,则(CA.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a解析由3b=5,5c=8,得b=log35,c=log58.因为3322=33=27>25=52,所以332>5,所以32=log3332>log35,所以a>b.因为5322=53=125>64=82,所以532>8,所以32=log5532>log58,所以a>c.因为bc=log35log58=lg5lg3lg8lg5=5.(2025·福建模拟)已知函数y=log2(ax2-x)在区间(1,2)上单调递增,则a的取值范围为(D)A.0,12 C.12,+∞ D.[1,解析令t=ax2-x,因为函数y=log2(ax2-x)在区间(1,2)上单调递增,所以函数y=log2(ax2-x)在区间(1,2)上有意义,且t=ax2-x在(1,2)上单调递增,所以a≠0,则a>0,12a≤1,a-1≥0或a<0,12a≥2,a-1≥0,解得a≥1,所以a的取值范围为6.(2024·北京高考)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则(B)A.log2y1+B.log2y1+C.log2y1+y22<D.log2y1+y22>解析因为(x1,y1),(x2,y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点,所以y1=2x1,y2=2x2,且x1≠x2,则2x1≠2x2,所以y1+y2=2x1+2x2>22x1·2x2=22x7.(2025·贵州一模)20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50,此时标准地震的振幅是0.002,则这次地震的震级约为(精确到0.1,参考数据:lg2≈0.3)(A)A.4.4 B.4.7C.5 D.5.4解析根据题意可知这次地震的震级为:M=lg50-lg0.002=lg500.002=lg25000=lg1054=5-2lg2≈5-0.6=4.4;因此可知这次地震的震级约为4.4级.8.若f(x)为R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=3|sinπx|-f(x)在区间[-1,5]内的所有零点的和是(A)A.20 B.18 C.16 D.14解析若f(x)为R上的偶函数,则f(-x)=f(x),且f(x)=f(4-x),则f(-x)=f(4-x),f(x)的周期T=4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则当x∈[-2,0)时,f(x)=12x-1,即可画出函数f(x)的图象,如图.函数y=3sinπx的周期是2,最大值为3,把函数y=3sinπx在x轴下方的图象翻折到x轴上方,即可得到y=3|sinπx|的图象.由图可知y=f(x)与y=3|sinπx|的图象在区间[-1,5]内一共有10个交点,且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称,所以g(x)在区间[-1,5]内的所有零点的和是二、多项选择题9.已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则(AB)A.f(x)的定义域是(-6,4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)D.f(x)在[0,4]上单调递增解析由题意可得x+6>0,4-x>0,解得-6<x<4,即f(x)的定义域是(-6,4),则A正确;f(x)=log2(-x2-2x+24),因为y=-x2-2x+24在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,又y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;因为f(x)在(-1,4)上单调递减,所以D错误.故选10.已知函数f(x)=4x+14x+2,则下列说法正确的是(A.f(x)在(-∞,0)上单调递增B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于点(0,1)对称D.不等式f(x+1)<254的解集是(-2,0解析对于A,当x<0时,f'(x)=4xln4-14xln4=(4x-4-x)ln4<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,故A错误;对于B,f(x)的定义域为R,f(-x)=4-x+14-x+2=14x+4x+2=f(x),所以f(x)的图象关于y轴对称,故B正确;对于C,因为f(x)+f(-x)=24x+14x+4>2,故函数f(x)的图象不关于点(0,1)对称,故C错误;对于D,由f(x+1)=4x+1+14x+1+2<254,得(4x+1)2-174×4x+1+1<0,则14<4x+1<4,可得-1<x+1<1,解得-2<x<0,因此不等式f(x11.已知函数f(x)=2x-12x+1A.不等式|f(x)|<13的解集是(-1,1B.∀x∈R,有f(-x)=f(x)C.f(x)在R上单调递减D.f(x)的值域为(-1,1)解析对于A,|f(x)|<13,即-13<2x-12x+1<13,即-13<1-22x+1<13,即13<12x+1<23,即32<2x+1<3,即12<2x<2,所以-1<x<1,故A正确;对于B,f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),故B错误;对于C,f(x)=1-22x+1,因为u=2x+1在R上单调递增,且u>1,y=1-2u在u>1时单调递增,所以f(x)在R上单调递增,故C错误;对于D,记y=f(x)=1-22x+1,显然y≠1,则2三、填空题12.已知3x=32,y·log33=1,则x+y=2-log32解析因为3x=32,y·log33=1,所以x=log332=1-log32,y=1,所以x+y=2-log313.已知函数f(x)=1b-1lnx+b+1的零点在(1,e)内,则b的取值范围为(-1,0)∪(0,1)解析当b=0时,f(x)=-lnx+1,令f(x)=0得x=e∉(1,e);当b≠0时,易知f(x)在(0,+∞)上单调,所以f(1)·f(e)=(b+1)·1b-1+b+1<0,即-1<b<1,且b≠0,所以b∈(-1,0)∪(0,114.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,f(x+2)为偶函数,若f(x)=m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=24.解析由f(x+2)为偶函数,可知函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期函数,周期为8.作出函数f(x)在[0,12]上的大致图象趋势如图所示,作出直线y=m,由图可知,若f(x)的图象与直线y=m在[0,12]上有4个交点,则f(2)<m<0.不妨记x1<x2<x3<x4,则x1+x2+x3+x4=2×2+2×10=24.能力提升练15.(多选题)已知函数f(x)=ex+2x-2,g(x)=2lnx+x-2的零点分别为x1,x2,则(ACD)A.2x1+x2=2 B.x1x2=ex1+lnC.x1+x2>43 D.2x1x2<解析对于A,由题知ex1+2x1-2=0,2lnx2+x2-2=0,所以ex1+2x1=2lnx2+x2=2,即ex1+2lnex1=2lnx2+x2=2,所以ex1=x2,故2x1+x2=2x1+ex1=2,故A正确;对于B,由f(x)=0,g(x)=0得ex=-2x+2,lnx=-12x+1,故函数y=ex与y=-2x+2的图象交点的横坐标和y=lnx与y=-12x+1的图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的零点x1,x2,如图,由图象性质可知0<x1<12,1<x2<2,又由A得ex1=x2,故x1=lnx2,所以x1x2=x1ex1<ex1<ex1+x1=ex1+lnx2,故B错误;对于C,由2lnx2+x2=2,x1=lnx2以及1<x2<2得,x1+x2=lnx2+x2=2lnx2+2x22=1+12x2>32>43,故C正确;对于D,由A,B得ex1=x2,0<x16.(2025·泉州一模)如图,假定两点P,Q以相同的初速度运动.点Q沿射线CD做匀速运动,CQ=x;点P沿线段AB(长度为107单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB=y).令P与Q同时分别从A,C出发,则数学家纳皮尔定义x为y的对数中,x与y的对应关系就是y=1071ex107,其中e为自然对数的底.若点P从线段AB的中点运动到靠近B的四等分点,点Q同时从Q1运动到Q2,则CQ解析令y=1072,则1072=1071ex107,整理得x=107ln2,即CQ1=107ln2,令y=1074,则1074=1071ex107,整理得x=107ln4,进阶点8高考中的抽象函数视角一抽象函数与函数性质的交汇(1)已知f(x)是定义在R上的函数,若f(x+a)(a∈R)是奇函数,则f(x)的图象关于点A(a,0)对称.(2)已知f(x)是定义在R上的函数,若f(x+a)(a∈R)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数y=f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|.(4)若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数y=f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|.(5)若函数y=f(x)既关于x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数y=f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|.例1(1)(2025·沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,则(D)A.f(0)=1 B.f(1)=-1C.f(2)=0 D.f(3)=0解析根据题意,因为函数f(x+1)为奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1),即f(1-x)=-f(1+x),所以f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,所以f(1)=0.又因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),即f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=0.故选D.(2)(2025·山西二模)已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=0,函数y=xf(x+3)是奇函数,函数y=(x+1)f(x)的图象关于直线x=-1对称,则(B)A.f(x)是偶函数 B.f(x-1)是奇函数C.f(x+8)=f(x) D.f(1)=0解析因为y=xf(x+3)是奇函数,所以f(x+3)为偶函数,所以f(-x+3)=f(x+3),即f(-x)=f(x+6),故f(x)的图象关于直线x=3对称,由y=(x+1)f(x)的图象关于直线x=-1对称得(x+1)f(x)=(-2-x+1)f(-2-x),即(x+1)f(x)=-(x+1)f(-2-x),即f(x)=-f(-x-2),所以f(x)关于(-1,0)对称,所以f(-x)=-f(x-2),所以f(-x-1)=-f(x-1),故f(x-1)是奇函数,所以B选项正确;因为f(-x)=-f(x-2),又f(-x)=f(x+6),所以f(x+6)=-f(x-2),即f(x+8)=-f(x),所以f(x+16)=-f(x+8)=f(x),故C选项错误;不能得到f(x)的奇偶性与f(1)的值,故A,D选项错误.故选B.视角二双抽象函数这类问题的处理策略是根据两个函数的关系,转化为一个函数间的关系,再判断奇偶性、单调性、周期性,进而求解.例2(1)(2025·河南二模)已知函数f(x)为R上的奇函数,若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(4)=(B)A.1 B.0 C.-1 D.-2解析根据题意,函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(x)+g(2+2-x)=0,即f(x)+g(4-x)=0,所以g(4)=-f(0)=0.故选B.(2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则k=122f(k)=(DA.-21 B.-22 C.-23 D.-24解析由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,可得g(2+x)=g(2-x),在f(x)+g(2-x)=5中,用-x替换x,可得f(-x)+g(2+x)=5,可得f(-x)=f(x)①,y=f(x)为偶函数.在g(x)-f(x-4)=7中,用2-x替换x,得g(2-x)=f(-x-2)+7,代入f(x)+g(2-x)=5中,得f(x)+f(-x-2)=-2②,所以y=f(x)的图象关于点(-1,-1)中心对称,所以f(1)=f(-1)=-1.由①②可得f(x)+f(x+2)=-2,所以f(x+2)+f(x+4)=-2,所以f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以可得f(0)=1,又f(x)+f(x+2)=-2,所以f(0)+f(2)=-2,得f(2)=-3,又f(3)=f(-1)=-1,f(4)=f(0)=1,所以k=122f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选视角三与导数结合的抽象函数例3(1)(2025·湖北二模)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(2-3x)=f(3x),f'12x的图象关于直线x=-2对称,f'(x)在[1,3]上单调递减,且f'(2031)=6,则(ABDA.f'(x-1)是偶函数 B.f'(x+1)是奇函数C.f'(7)=-6 D.f'(x)的极小值为-6解析因为f'12x的图象关于直线x=-2对称,所以f'12(-2+x)=f'12(-2-x),即f'-1+12x=f'-1-12x,所以f'(x)的图象关于直线x=-1对称,则f'(x-1)是偶函数,故A正确;因为f(2-3x)=f(3x),所以f(2-x)=f(x),所以-f'(2-x)=f'(x),所以f'(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f'(x+1)的图象关于点(0,0)对称,即f'(x+1)是奇函数,故B正确;因为-f'(2-x)=f'(x),又因为f'(x)的图象关于直线x=-1对称,所以f'(x)=f'(-2-x),所以-f'(2-x)=f'(-2-x),则f'(x)=-f'(4+x),所以f'(x+8)=-f'(4+x)=f'(x),所以8为f'(x)的一个周期.所以f'(2031)=f'(253×8+7)=f'(7)=6,故C错误;因为f'(x)在[1,3]上单调递减,且f'(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f'(x)在[-1,1]上单调递减,f'(x)在[-1,3]上单调递减,因为f'(x)的图象关于直线x=-1对称,所以f'(x)在[-5,-1]上单调递增,因为f'(x)是T=8的周期函数,所以f'(x)在[3,7]上单调递增,因为x=3时,f'(x)取得极小值,所以f'(3)=-f'(-1)=-(2)(2025·秦皇岛二模)(多选题)记定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x),若f(x+3)-g(3-x)=4,f'(x)=g'(x+2),且g(x+2)+g(2-x)=0,则(BC)A.f(-x)=-f(x)B.g'(x)的图象关于直线x=2对称C.f(x)是周期函数,且其中一个周期为8D.i=12025g(i)解析由题意,函数f(x)与g(x)的定义域均为R.由g(x+2)+g(2-x)=0求导可得g'(x+2)-g'(2-x)=0,即g'(x+2)=g'(2-x),所以g'(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;由f(x+3)-g(3-x)=4求导可得f'(x+3)+g'(3-x)=0,因为f'(x)=g'(x+2),所以f'(1-x)=g'(3-x),所以f'(x+3)+f'(1-x)=0,则f(x+3)-f(1-x)=c(c为常数),令x=-1,则有f(2)-f(2)=c=0,所以f(x+3)-f(1-x)=0,即f(x+3)=f(1-x),所以f(-x)=f(x+4),即函数f(x)的图象关于直线x=2对称.又由f(x+3)-g(3-x)=4可得g(3-x)=f(x+3)-4,则有g(x+2)=f(-x+4)-4,g(2-x)=f(x+4)-4,因为g(x+2)+g(2-x)=0,所以f(-x+4)-4+f(x+4)-4=0,即f(-x+4)+f(x+4)=8,所以函数f(x)的图象关于点(4,4)对称.所以函数f(x)是周期函数,周期T=4×|4-2|=8.故C正确;对于A,因为f(-x)=f(x+4),f(x)=f(x+8),若f(-x)=-f(x),则f(x+4)+f(x+8)=0,与f(x+4)+f(x+8)=8矛盾.故A错误;对于D,由f(x+3)-g(3-x)=4求导可得f'(x+3)+g'(3-x)=0,则有f'(x)+g'(6-x)=0,因为f'(x)=g'(x+2),所以g'(x+2)+g'(6-x)=0,则g(x+2)-g(6-x)=t(t是常数),令x=2,可得g(4)-g(4)=t=0,所以g(x+2)=g(6-x),即函数g(x)的图象关于直线x=4对称.所以函数g(x)也是周期函数,周期T=4×|4-2|=8.因为g(x+2)+g(2-x)=0,令x=0,可得g(2)=0,根据对称性可知,g(6)=g(2)=0,g(1)+g(3)=g(7)+g(5)=0,g(4)+g(8)=g(4)+g(0)=0,所以g(1)+g(2)+…+g(7)+g(8)=0.所以i=12025g(i)=g(1),g(1)不确定是否为0,故D错误.故选视角四抽象函数还原具体函数抽象函数还原具体函数模型的几种构造方法:(1)f(x)+f(y)=f(x+y)时,可构造f(x)=kx.(2)若f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c,则可构造f(x)=ax2+bx+c.(3)若f(x+y)=f(x)f(y),则可构造f(x)=ax(a>0且a≠1).(4)若f(xy)=f(x)+f(y)(xy≠0),则可构造f(x)=loga|x|(a>0且a≠1).(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),则可构造f(x)=cosωx.例4(1)(2025·四川一模)(多选题)已知函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(1)≠0,那么(AC)A.f(0)=1B.f(1)=2C.f(-x)=f(x)D.若f(π)=12,则f(x+2π)=f(x解析对于A,令x=1,y=0,f(1)+f(1)=2f(1)f(0),因为f(1)≠0,所以f(0)=1,故A正确;设f(x)=cosx,则f(x+y)+f(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y)=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy=2f(x)f(y),显然满足条件,但是f(1)=cos1≠2,故B错误;对于C,令x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(y)=f(-y),又y∈R,所以f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),故C正确;对于D,设f(x)=cosx3,类似B中推导,可知满足题设条件,但最小正周期是6π,故D错误.故选AC(2)(2025·重庆模拟)(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的可导函数,若f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y),且f'(0)=-3,则(ACD)A.f(x)是奇函数B.f(x)是减函数C.f(3)=0D.x=1是f(x)的极小值点解析对于选项A:令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令y=-x,可得0=f(x)+f(-x),且函数f(x)的定义域为R,所以f(x)是奇函数,故A正确;对于选项B,D,因为f(x+y)=f(x)+f(y)+3x2y+3xy2=f(x)+f(y)+(x+y)3-x3-y3,所以f(x+y)-(x+y)3=f(x)-x3+f(y)-y3,设f(x)-x3=kx,所以f'(x)=3x2+k,因为f'(0)=-3,所以k=-3,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,解得x<-1或x>1;令f'(x)<0,解得-1<x<1;可知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,f(x)在(-1,1)上为减函数,所以x=1是f(x)的极小值点,故B错误,D正确.对于选项C,f(x)=x3-3x,所以f(3)=(3)3-33=0,故C正确.故选ACD.1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(B)A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000解析因为当x<3时,f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;依次类推,得f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13;f(7)>f(6)+f(5)>13+8=21;f(8)>f(7)+f(6)>21+13=34;f(9)>f(8)+f(7)>34+21=55;f(10)>f(9)+f(8)>55+34=89;f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144;f(12)>f(11)+f(10)>144+89=233;f(13)>f(12)+f(11)>233+144=377;f(14)>f(13)+f(12)>377+233=610;f(15)>f(14)+f(13)>610+377=987;….显然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故选B.2.(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则k=122f(k)=(AA.-3 B.-2 C.0 D.1解析因为f(1)=1,所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②相加,得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令x=1,y=1,得f(2)+f(0)=f(1)f(1),所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x),得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0,根据函数的周期性知,k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3,故选3.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(ABC)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点解析取x=y=0,则f(0)=0,故A正确;取x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,故B正确;取x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,取y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故C正确;不妨取f(x)=0,此时f(x)符合题设,但f(x)无极值.故D不正确.综上,选ABC.4.(2022·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2+x)均为偶函数,则(A.f(0)=0 B.g-1C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)解析解法一(转化法):因为f32-2x为偶函数,所以f32-2x=f32+2x,所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称,f32-2×54=f32+2×54,即f(-1)=f(4),所以C正确;因为g(2+x)为偶函数,所以g(2+x)=g(2-x),函数g(x)的图象关于直线x=2对称,因为g(x)=f'(x),所以函数g(x)的图象关于点32,0对称,所以g(x)的周期T=4×2-32=2,因为f(-1)=f(4),所以f'(-1)=-f'(4),即g(-1)=-g(4)=-g(2),所以D不正确;因为f32-2=f32+2,即f-12=f72,所以f'-12=-f'72,所以g-12=-g72=-g2×2-12=-g-12,所以g解法二(特例法):因为f32-2x,g(2+x)均为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称,函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R),则f(0)=1,排除A;取符合题意的一个函数f(x)=sinπx,则f'(x)=πcosπx,即g(x)=πcosπx,所以g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos2π=π,所以g(-1)≠g(2),排除微练(三十一)高考中的抽象函数一、单项选择题1.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,若f(1)=2,则f(2027)的值是(D)A.1 B.-1 C.2 D.-2解析因为f(x+2)为奇函数,所以f(-x+2)=-f(x+2),用x+2代替x得f(-x)=-f(x+4),又f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-f(x+4),所以f(x)=f(x+4),f(x)是以4为周期的周期函数,因为f(1)=2,所以f(2027)=f(4×507-1)=f(-1)=-f(1)=-2.故选D.2.(2025·杭州二模)设函数y=f(x)-x2是奇函数.若函数g(x)=f(x)+5,f(4)=9,则g(-4)=(B)A.27 B.28 C.29 D.30解析由函数y=f(x)-x2是奇函数可知f(x)-x2+f(-x)-(-x)2=0,因此可得f(x)+f(-x)=2x2;又g(x)=f(x)+5,因此g(4)=f(4)+5,g(-4)=f(-4)+5;两式相加可得g(4)+g(-4)=f(4)+5+f(-4)+5=2×42+10=42;又g(4)=f(4)+5=14,因此g(-4)=42-14=28.故选B.3.(2025·山西一模)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x)+f(1-2x)=1,f(1-x)=f(1+x),则i=02025f(i)=(DA.0 B.2025 C.20252 解析由f(2x)+f(1-2x)=1得f(0)+f(1)=1,且函数f(x)关于点12,12对称;由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x))=f(-x).又由f(2x)+f(1-2x)=1得f(-x)=1-f(1+x)=1-f(1-x)=1-[1-f(x)]=f(x),所以f(x+2)=f(-x)=f(x),得函数f(x)是周期为2的函数,当i=0时,f(2i)+f(2