2026赢在微点 高考数学考前顶层设计 数学专题五含答案

2026赢在微点高考数学考前顶层设计数学专题五平面解析几何微专题14直线与圆1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=|C(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=Ax3.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为-D2,-E2,(3)圆的参数方程:以(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程为x=a+rcosθ,y=b+rsinθ(其中θ为参数)4.与圆的切线有关的常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2.5.两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,若两圆相交,则有一条公共弦,公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.微点一直线的方程例1(1)(多选题)对于直线l1:ax+2y+3a=0,l2:3x+(a-1)y+3-a=0,则(ABC)A.l1∥l2的充要条件是a=3或a=-2B.当a=25时,l1⊥lC.直线l2经过第二象限内的某定点D.点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为32解析对于A,若l1∥l2,则a(a-1)-6=0,解得a=3或a=-2,经检验,符合题意,所以a=3或a=-2,所以l1∥l2的充要条件是a=3或a=-2,故A正确;对于B,当a=25时,3a+2(a-1)=65-65=0,所以l1⊥l2,故B正确;对于C,由l2:3x+(a-1)y+3-a=0,得(y-1)a+3x-y+3=0,令y-1=0,3x-y+3=0,解得x=-23,y=1,所以直线l2经过定点-23,1,位于第二象限,故C正确;对于D,由l1:ax+2y+3a=0,得(x+3)a+2y=0,令x+3=0,2y=0,解得x=-3,y=0,所以直线l1过定点M(-3,0),当PM⊥l1时,点P(1,3)到直线l1的距离最大,最大值为(2)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是25,则m+n=3.解析因为直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0平行,所以21=n-2≠-6m,解得n=-4且m≠-3,所以直线l2为2x-4y-6=0,直线l1:x-2y+m=0(m>0)化为2x-4y+2m=0(m>0),因为两平行线间的距离为25,所以|2m-(-6)|22+(-4)2=25,得|2m+6|=20,因为m>0,所以2m+6=20,解得m解决直线方程问题的要点:(1)熟悉不同形式的直线方程中的参数的几何意义;(2)能够熟练地将直线的方程与直线相结合;(3)要注意各种形式的直线方程的“短板”,要考虑到斜率不存在的情况,同时注意斜率为零时直线方程的特征.训练1(多选题)已知直线l:3x-y+1=0,下面四个说法中正确的是(CD)A.若直线m:x-3y+1=0,则l⊥mB.与直线n:23x-2y+3=0之间的距离是1C.点(3,0)到直线l的距离为2D.过点(23,2),并且与直线l平行的直线方程为3x-y-4=0解析直线m的斜率k=33,倾斜角为π6,与直线l不垂直,A不正确;直线n:23x-2y+3=0化为3x-y+32=0,所以直线l与直线n的距离为1-32(3)2+(-1)2=14,B不正确;点(3,0)到直线l的距离d=3×3-0+1|2=2,C正确;过点(23,2)与直线l平行的直线方程为y-2=3(微点二圆的方程例2(1)经过A(1,1),B(-1,1),C(0,2)三个点的圆的方程为(C)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1解析设经过A,B,C三个点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意可得1+1+D+E+F=0,1+1-D+E+F=0,0+4+2E+F=0,解得D=0,E=-2,F=0.且满足D2+E2-4F=4>0,所以经过A,B,C三个点的圆的方程为x2+y2-2y=0,即为x2+(y-1(2)已知圆C1:x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称,则圆C2的标准方程为(A)A.(x+4)2+(y+2)2=4B.(x-4)2+(y-2)2=4C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=4解析由题意可得,圆C1的圆心坐标为(0,0),半径为2,设圆心C1(0,0)关于直线2x+y+5=0的对称点为C2(a,b),则ba×(-2)=-1,2×a2+b2+5=0,解得a=-4,b=-2,所以圆C2的标准方程为(x+4求圆的方程的方法(1)几何法:通过研究圆的性质进而求出圆的基本量,确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.(2)代数法:设出圆的方程,用待定系数法求解.训练2(1)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为(D)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=2解析因为圆心在直线y=-x上,设圆心坐标为(a,-a),因为圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,所以a+a2=a+a-4|2,解得a=1,所以圆心坐标为(1,-1),又|1+1|2=r,所以r=2,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的标准方程为(x-2)2+y2解析设C(a,0)(a>0),由题意知|2a5=455,解得a=2,所以r=22+(-5)2=3.故圆C的标准方程为微点三直线与圆的位置关系考向1直线与圆相切例3(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=(B)A.1 B.154 C.104 D解析解法一:因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=5,过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,因为|PC|=22+22=22,则|PA|=|PC|2-r2=3,可得sin∠APC=522=104,cos∠APC=322=64,则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2×104×64=154,cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=642-1042=-解法二:圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=5,过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,连接AB,如图,可得|PC|=22+22=22,则|PA|=|PB|=|PC|2-r2=3,因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB,且∠ACB=π-∠APB,则3+3-6cos∠APB=5+5-10cos(π-∠APB),即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB,解得cos∠APB=-14<0,即∠APB为钝角,则cosα=cos(π-∠APB)=-cos∠APB=14,且α考向2直线与圆相交例4(多选题)已知直线l:mx+y-2m=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,则下列选项中正确的是(CD)A.线段AB最短为22B.△AOB的面积的最大值为22C.若P是圆上任意一点,则不存在m,使得∠APB取最大值D.过点A,B分别作直线l的垂线,与x轴交于C,D两点,若|CD|=210,则|AB|=10解析对于A,因为l:mx+y-2m=0过定点(2,0)且斜率存在,所以圆心O到l的距离d满足0≤d<2,所以|AB|>22,故A不正确;对于B,△AOB的面积S=12×2×2×sin∠AOB≤12×2×2×1=2,当且仅当|AB|=22时取最大值,而|AB|>22,故B不正确;对于C,由圆周角定理可得,因为|AB|不存在最小值,所以钝角∠APB不存在最大值,故C正确;对于D,设l的倾斜角为α,由tanα=-m知|cosα|=1m2+1,而圆心O到l的距离d=|2m|m2+1,|AB|=24-d2,所以由|CD||cosα|=|AB|知,|cosα|=22m2+4210m2+1,所以22m2+42考向3直线与圆中的平面向量的交汇例5已知点P(1,0),C(0,3),O是坐标原点,点B满足|BC|=1,则OP与PB夹角的最大值为(A)A.5π6 B.2π3 C.π2 解析设点B(x,y),可得BC=(-x,3-y),因为|BC|=1,可得x2+(y-3)2=1,即点B的轨迹是以C(0,3)为圆心,半径r=1的圆,如图所示,当直线BP与圆C相切且切线在圆心下方时,直线BP的倾斜角最大,即OP与PB夹角最大.设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则圆心到直线的距离等于圆的半径,可得|-3-kk2+1=1,解得k=-33,设切线的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=-33,可得α=5π训练3(1)(多选题)已知点M在直线l:y-4=k(x-3)上,点N在圆O:x2+y2=9上,则下列说法正确的是(ABD)A.点N到l的最大距离为8B.若l被圆O所截得的弦长最大,则k=4C.若l为圆O的切线,则k的取值范围为0,D.若点M也在圆O上,则点O到l的距离的最大值为3解析由题意可知,直线l过定点P(3,4),圆O的圆心为原点O,半径为3,设圆心O到直线l的距离为d.当OP⊥l时,圆心O到直线l的距离最大,最大距离为32+42=5,所以点N到l的最大距离为5+3=8,故A正确.若l被圆O所截得的弦长最大,则直线l过圆心O,可得-3k=-4,所以k=43,故B正确.若l为圆O的切线,则|4-3kk2+1=3,解得k=724,故C错误.若M也在圆O上,则直线l与圆O相切或相交,当直线l与圆O相切时,点(2)已知P是圆O:x2+y2=9上的动点,点Q满足PQ=(3,-4),点A(1,1),则|AQ|的最大值为(C)A.8B.9C.29+3D.30+3解析设Q(x,y),P(x0,y0),由PQ=(x-x0,y-y0)=(3,-4),得x0=x-3,y0=y+4,因为点P在圆O上,即x02+y02=9,则(x-3)2+(y+4)2=9,所以点Q的轨迹是以(3,-4)为圆心,3为半径的圆.因为A(1,1),(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以点A在圆外,所以|AQ|的最大值为(1-3)(3)(2025·黑龙江模拟)已知圆C:x2+y2-4x=0,过点M(0,1)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则|AB|=

455解析x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心为(2,0),半径为2,易知其中一条切线与y轴重合,不妨设此切点为A(0,0),易得|MA|=1.解法一:故以M(0,1)为圆心,|MA|为半径的圆M的方程为x2+(y-1)2=1,将两圆的方程相减得到直线AB的方程2x-y=0.将2x-y=0与x2+y2-4x=0联立,得5x2-4x=0,解得x=0或x=45.所以得A(0,0),B45,85,故|AB解法二:如图,连接MC,则MC⊥AB,设MC与AB的交点为F,由△MAF∽△MCA,可得|MA|2=|MF|·|MC|.又|MC|=|MA|2+|AC|2=5,所以|MF|=55,故|AF|=|AM|2-|MF|2=1微点四圆与圆的位置关系例6(2025·浙江温州模拟)(多选题)已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-a)2+(y-1)2=4,a∈R,则(AD)A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1B.若圆O与圆C相切,则a=±22C.若圆O与圆C恰有两条公切线,则-22<a<22D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2解析根据题意,可得圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,圆C:(x-a)2+(y-1)2=4的圆心为C(a,1),半径R=2.对于A,两圆的圆心距d=|OC|=a2+1≥1,故A正确;对于B,两圆内切时,圆心距d=|OC|=R-r=1,即a2+1=1,解得a=0.两圆外切时,圆心距d=|OC|=R+r=3,即a2+1=3,解得a=±22.综上所述,若两圆相切,则a=0或a=±22,故B不正确;对于C,若圆O与圆C恰有两条公切线,则两圆相交,d=|OC|∈(R-r,R+r),即a2+1∈(1,3),可得1<a2+1<3,解得-22<a<22且a≠0,故C不正确;对于D,若圆O与圆C相交,则当圆O:x2+y2=1的圆心O在公共弦上时,公共弦长等于2r=2,达到最大值,因此,两圆相交时,(1)与圆的弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d及半弦长l2,构成直角三角形的三边,利用其关系来处理(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得,进而在一个圆内,利用垂径定理求公共弦长.训练4(多选题)已知圆C1:(x-1)2+(y-3)2=11与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,则下列说法正确的是(BD)A.若圆C2与x轴相切,则m=2B.若m=-3,则圆C1与圆C2相离C.若圆C1与圆C2有公共弦,则公共弦所在直线的方程为4x+(6-2m)y+m2+2=0D.直线kx-y-2k+1=0与圆C1始终有两个交点解析对于A,由x2+y2+2x-2my+m2-3=0得(x+1)2+(y-m)2=4,所以圆C2的圆心为C2(-1,m),圆C2的半径r2=2,若圆C2与x轴相切,则|m|=r2=2,即m=±2,所以A错误;对于B,当m=-3时,圆C2的圆心为C2(-1,-3),圆C2的半径r2=2,因为圆C1的圆心为C1(1,3),圆C1的半径r1=11,所以|C1C2|=210>r1+r2=11+2,所以圆C1与圆C2相离,所以B正确;对于C,圆C1的一般方程为x2+y2-2x-6y-1=0,圆C2的一般方程为x2+y2+2x-2my+m2-3=0,因为圆C1与圆C2有公共弦,所以公共弦所在直线的方程为4x+(6-2m)y+m2-2=0,所以C错误;对于D,因为直线kx-y-2k+1=0,即y-1=k(x-2),所以直线恒过定点(2,1),因为(2-1)2+(1-3)2=5<11,所以点(2,1)在圆C1的内部,所以直线kx-y-2k+1=0与圆C1始终有两个交点,所以D正确.综上,选BD.1.(2024·北京高考)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(D)A.2 B.2 C.3 D.32解析化圆的方程为标准方程,得(x-1)2+(y+3)2=10,所以该圆的圆心(1,-3)到直线x-y+2=0的距离为|1-(-3)+2|12+(-1)2=622.(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(C)A.1 B.2 C.4 D.25解析根据题意有2b=a+c,即a-2b+c=0,所以直线ax+by+c=0过点M(1,-2).设圆x2+y2+4y-1=0的圆心为C,连接CM,则AB⊥CM时,|AB|最小,将圆的方程化为x2+(y+2)2=5,则C(0,-2),所以|MC|=1,所以|AB|的最小值为25-|MC|2=4,故选3.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(B)A.55 B.255 C.35解析因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为|2×1-1-3|22+(-1)2=255或4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l:x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值22,-2,1解析设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式,得|AB|=24-d2,所以S△ABC=12×d×24-d2=85,解得d=455或d=255,又d=|1+1|1+m2=21+m2,所以5.(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是

13,解析因为kAB=a-32,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为(3-a)x-2y+2a=0.由题意可知圆心为(-3,-2),且圆心到对称直线的距离小于或等于1,所以|3(a-3)+4+2a4+(3-a)2≤1.整理,得6a2-11a+3≤0,解得1微练(二十二)直线与圆基础过关练一、单项选择题1.(2025·安徽一模)已知a是直线2x-y+1=0的一个方向向量,若a=(m,1),则实数m的值为(A)A.12 B.-12 C.2 D解析因为直线2x-y+1=0的斜率为k=2,所以直线的一个方向向量为(1,2),所以若a=(m,1),则2m-1=0,解得m=122.(2025·山东临沂一模)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的位置关系是(C)A.内切 B.相交 C.外切 D.相离解析圆C1:x2+y2=1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,即C2:(x-3)2+(y-4)2=16,圆心C2(3,4),半径r2=4,则|C1C2|=32+42=5=r1+r2,所以两圆外切3.(2025·重庆三模)过圆O:x2+y2=1外的点P(3,2)作圆O的一条切线,切点为M,则|MP|=(B)A.2 B.23 C.13 D.4解析由题意有|MP|2=|OP|2-r2=13-1=12,即|MP|=23.故选B.4.已知直线l经过点(2,4),则“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆C:(x-1)2+(y-3)2=2相切”的(C)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析如图,易知点(2,4)在圆C:(x-1)2+(y-3)2=2上,圆心C(1,3)与点(2,4)的连线l'的斜率为4-32-1=1,若直线l的斜率为-1,则l⊥l',则直线l与圆C相切,反之,若直线l与圆C相切,则l⊥l',则直线l的斜率为-1.故选C5.(2025·湖南长沙模拟)已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切,且圆心在第二象限,则圆C的方程为(D)A.(x+2)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y+2)2=2D.(x+2)2+(y-2)2=2解析由题意设所求的圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a<0,b>0),则a=b=r,a+b-2|2=r,即b=-a=r,22=r,解得b=-a=2,r=2,所以圆C的方程为(x+6.过点P(-1,1)的直线l与圆C:x2+y2+4x-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(A)A.23 B.15 C.3 D.2解析圆C的标准方程为(x+2)2+y2=5,所以圆C的圆心C(-2,0),半径r=5.因为(-1+2)2+12=2<5,所以点P在圆C内,连接CP,则当AB⊥CP时,|AB|取得最小值.因为|CP|=(-1+2)2+12=2,所以|AB|min=2r2-|CP7.过直线l:x+y-5=0上的点作圆C:(x-1)2+(y+2)2=6的切线,则切线段长的最小值为(B)A.6 B.23 C.15 D.32解析如图,设直线上任意一点为P,过P作圆的切线,切点为M,圆C的圆心C为(1,-2),半径r=6,则|MP|=|PC|2-r2=|PC|2-6,要使|MP|最小,则|PC|最小,易知|PC|最小值为圆心C到直线l的距离.即|PC|≥|1+(-2)-5|12+12=38.已知圆C:x2+y2=4,M,N是直线l:y=x+4上的两点.若对线段MN上任意一点P,圆C上均存在两点A,B,使得cos∠APB=12,则线段MN长度的最大值为(CA.2 B.4 C.42 D.43解析如图,圆C:x2+y2=4的圆心到直线l:y=x+4的距离d=|4|12+(-1)2=22>2=r,所以直线当且仅当直线PA,PB均与圆C相切时,∠APB最大,不妨设切线为PE,PF(其中E,F为切点),因为cos∠APB=12,所以∠APB=π3,则∠EPF≥π3,所以sin∠EPC=2|PC|≥sinπ6=12,解得|PC|≤4,所以线段MN长度的最大值为24二、多项选择题9.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-m)2+(y-n)2=4的公共弦AB的长为23,则下列结论正确的有(AB)A.m2+n2=4B.直线AB的方程为mx+ny-2=0C.AB中点的轨迹方程为x2+y2=3D.四边形AC1BC2的面积为3解析两圆方程相减可得直线AB的方程为2mx+2ny-m2-n2=0,因为圆C1的圆心为(0,0),半径为2,且公共弦AB的长为23,则C1(0,0)到直线2mx+2ny-m2-n2=0的距离为1,所以m2+n24(m2+n2)=1,解得m2+n2=4,所以直线AB的方程为mx+ny-2=0,故A、B正确;由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB,所以C1(0,0)到直线2mx+2ny-m2-n2=0的距离即为AB中点与点C1的距离,设AB中点的坐标为(x,y),则(x-0)2+(y-0)2=1,即x2+y2=1,故C错误;易得四边形AC1BC2为菱形,且|AB|=23,|C1C2|=2,则四边形AC1BC10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点M是直线l:y=-x-1上的动点,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则下列说法正确的是(ABD)A.切线长|MA|的最小值为6B.四边形ACBM面积的最小值为23C.若PQ是圆C的一条直径,则MP·MQ的最小值为7D.直线AB恒过点1解析圆心C(1,2),C到l的距离为|1+2+1|2=22,令M(m,n),则n=-m-1,由圆的性质,可得切线长|MA|=|MC|2-2≥6,A正确;S四边形ACBM=2S△MAC≥2×6×22=23,B正确;MP·MQ=MC2-CP2=MC2-2≥6,C错误;切点弦AB的方程(m-1)(x-1)+(n-2)(y-2)=2,将n=-m-1代入,整理得m(x-y+1)-(x+3y-5)=0,由x-y+1=0,11.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12,设点P的轨迹为C,下列结论正确的是(A.C的方程为(x+4)2+y2=9B.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得|PD||PE|=C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线D.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|解析设点P(x,y),则|PA||PB|=12=(x+2)2+y2(x-4)2+y2,化简整理得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A错误;假设x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得|PD||PE|=12,可设D(m,0),E(n,0),可得(x-n)2+y2=2(x-m)2+y2化简得3x2+3y2-(8m-2n)x+4m2-n2=0,由P点轨迹方程为x2+y2+8x=0可得8m-2n=-24,4m2-n2=0,解得m=-6,n=-12或m=-2,n=4(舍去),即存在D(-6,0),E(-12,0),故B正确;对于C选项,当A,B,P三点不共线时,由|OA||OB|=12=|PA||PB|,可得射线PO是∠APB的平分线,故C正确;设M(x0,y0),由|MO|=2|MA|可得x02+y02=2(x0+2)2+y02,整理得三、填空题12.已知圆C:x2+y2=16上恰有3个点到直线l:y=3x+b(b>0)的距离等于2,则b的值为4.解析因为圆C的方程为x2+y2=16,所以圆心C为(0,0),半径为4.因为圆C上恰有3个点到直线l:y=3x+b(b>0)的距离等于2,所以只需要圆心C到直线l的距离为2即可,即b(3)2+(-1)2=2,又13.写出与圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=1都相切的一条直线方程为y=1(答案不唯一).解析圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为r1=1,圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径为r2=1,则|C1C2|=3>r1+r2,所以两圆外离,由两圆的圆心都在x轴上,则公切线的斜率一定存在,设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则有bk2+1=1,|3k+bk2+1=1,解得k=255,14.(2025·天津高考)l1:x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点,|AB|=3|CD|,则r=2.解析对于直线l1:x-y+6=0,令x=0,得y=6,令y=0,得x=-6,所以A(-6,0),B(0,6),所以|AB|=62.因为|AB|=3|CD|,所以|CD|=22.圆(x+1)2+(y-3)2=r2的圆心为(-1,3),圆心到直线l1的距离d=|-1-3+6|2=2,所以r=d2+|CD|能力提升练15.(2025·广东江门一模)(多选题)已知曲线Γ:x2+y2-5=|2y-2|,则(AD)A.曲线Γ关于y轴对称B.曲线Γ围成图形的面积为11πC.曲线Γ上的点到点(3,0)的距离最大值为2+10D.若点(x0,y0)是曲线Γ上的点,则y07解析对于A,令(x,y)是曲线Γ上的任意一点,即x2+y2-5=|2y-2|,则(-x)2+y2-5=|2y-2|成立,即点(-x,y)在曲线Γ上,因此曲线Γ关于y轴对称,A正确;如图,当y≥1时,x2+y2-5=2y-2,即x2+(y-1)2=4,是以O1(0,1)为圆心,2为半径的圆在直线y=1及上方的半圆,当y≤1时,x2+y2-5=-2y+2,即x2+(y+1)2=8,是以O2(0,-1)为圆心,22为半径的圆在直线y=1及下方部分,对于B,曲线Γ在直线y=1及上方的半圆面积为2π>11π6,B错误;对于C,曲线Γ在直线y=1及下方部分上的点与点A(3,0)的距离最大值为|AO2|+22=32+(-1)2+22=10+22,C错误;对于D,y07x0-21=17·y0-0x0-3表示曲线Γ上的点P(x0,y0)与点A(3,0)确定直线PA斜率的17,观察图形知,当过点A的直线与曲线Γ在x轴下方部分相切时,直线PA斜率最大,设此切线方程为y=k(x-3),k>0,16.(2025·十堰四调)定义:min(P,C)表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小值.已知P是圆(x-1)2+y2=9上的动点,圆C:x2+y2=1,则min(P,C)的取值范围为[1,3].解析如图,记O为坐标原点,圆C的圆心为原点,圆C的半径为1,由圆的几何性质可知,min(P,C)=|OP|-1,且|AP|-|OA|≤|OP|≤|AP|+|OA|,即3-1≤|OP|≤3+1,即2≤|OP|≤4,当且仅当点P(-2,0)时,|OP|取最小值,当且仅当点P(4,0)时,|OP|取最大值,故min(P,C)=|OP|-1∈[1,3].微专题15圆锥曲线方程与性质1.圆锥曲线的定义(点M为曲线上一点)(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线:|MF|=d(d为M点到准线的距离).2.圆锥曲线中的重要性质(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系①在椭圆中:a2=b2+c2,e=ca=1-②在双曲线中:c2=a2+b2,e=ca=1+(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,焦点坐标为F1(-c,0),F②双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±abx,焦点坐标为F1(0,-c),F(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2=±2px(p>0):焦点坐标±p2,0,准线方程为x②抛物线x2=±2py(p>0):焦点坐标0,±p2,准线方程为y=∓微点一椭圆、双曲线方程及其应用例1(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(A)A.x216+y24=1(y>0) B.x216+C.y216+x24=1(y>0) D.y216+解析设M(x0,y0),则P(x0,2y0),因为点P在曲线C上,所以x02+(2y0)2=16(y0>0),即x0216+y024=1(y0>0),所以线段PP'的中点M的轨迹方程为x216+(2)(2024·天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8A.x28-y22=1 B.C.x22-y28=1 D.解析由题意可知,∠F1PF2=90°,又直线PF2的斜率为2,可得tan∠PF2F1=PF1|PF2|=2,根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,S△PF1F2=12|PF1||PF2|=12×4a×2a=4a2,又S△PF1F2=8,所以a2=2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2=20a2=40.又|F1F2|2=4c2,所以c2=10,又a2+b椭圆与双曲线的方程问题的求解策略(1)当条件中涉及曲线上的点到焦点的距离时,就要考虑应用椭圆或双曲线的定义求解,要注意二者定义中,一个是“和”一个是“差的绝对值”.(2)对于焦点无法确定时,常设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n);双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).训练1(1)(2025·山西太原模拟)已知点F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,P(4,3)是C上一点,△PF1F2的内切圆的圆心为I(m,1),则椭圆C的标准方程是(B)A.x224+y227=1 B.C.x252+y213=1 D.解析依题意,设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由P(4,3)在C上,得16a2+9b2=1,如图,显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切,则该圆半径为1,而S△PF1F2=12(2a+2c)·1=a+c,又S△PF1F2=12·2c·3=3c,于是a=2c,b2=a2-c2=34a2,因此16a(2)过双曲线C:x24-y2=1的左焦点F1作倾斜角为θ的直线l交C于M,N两点.若MF1=3F1N,则A.1010 B.31010 C.25解析设双曲线的右焦点为F,连接MF,NF,如图,由题意可得a=2,b=1,c=5,设|MF1|=3|F1N|=3t,|MF|=2a+3t=4+3t,|FN|=2a+t=4+t,由余弦定理可得cos∠NF1F+cos∠MF1F=|F1N|2+|F1F|2-|NF|22|F1N|·|F1F+|F1M|2微点二椭圆、双曲线的性质及其应用考向1离心率例2(1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(C)A.4 B.3 C.2 D.2解析根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则16a2-36b(2)(2025·深圳一模)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于原点对称,若直线AP,AQ的斜率之积为-14A.32 B.22 C.12 解析设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),A(-a,0),由题意知kAP·kAQ=y0x0+a·-y0-x0+a=-14,即y02a2-x02=14,又x02a2+y02b2=1,则y02=考向2渐近线例3(1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则A.55 B.255 C.35解析根据双曲线的离心率e=5=ca,得c=5a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2,b2a2=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交.由y=2x,(x-2)2+(y-3)2=1,消去y,得5x2-16x+12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=165,x1x2=125.所以|AB|=1+22|x(2)(2025·全国二卷)(多选题)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=5πA.∠A1MA2=πB.|MA1|=2|MA2|C.C的离心率为13D.当a=2时,四边形NA1MA2的面积为83解析根据双曲线和圆的对称性,知四边形A1MA2N为平行四边形,因为∠NA1M=5π6,所以∠A1MA2=π6,A项正确.如图,在△A1MO中,|MA1|2=|A1O|2+|OM|2-2|A1O||OM|cos∠MOA1=a2+c2-2accos∠MOA1=a2+c2+2ac×ac=3a2+c2,在△A2MO中,|MA2|2=a2+c2-2accos∠MOA2=a2+c2-2ac×ac=c2-a2,在△A1MA2中,|A2A1|2=|MA1|2+|MA2|2-2|MA1||MA2|cosπ6,即4a2=2c2+2a2-23a2+c2×c2-a2×32,则13a2=c2,所以|MA1|2=16a2,|MA2|2=12a2,所以|MA1|≠2|MA2|,B项错误.根据13a2=c2,得e=13,C项正确.当a=2时,|MA1|=42,|MA2|=26,所以四边形NA1MA2的面积为|MA1||MA1.椭圆、双曲线的离心率(范围)的求法:关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求ca的值(范围)2.双曲线的渐近线的求法及用法:(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为0,分解因式可得;(2)用法:①可得ba或ab②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.训练2(1)(多选题)已知双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点A.C的虚轴长为22B.C的离心率为6C.|PF|的最小值为2D.直线PF的斜率不等于-2解析双曲线C:x24-y2b2=1的渐近线方程为bx±2y=0,依题意,-1b=-b2,解得b=2,对于A,C的虚轴长2b=22,A正确;对于B,C的离心率e=a2+b2a=62,B错误;对于C,点F(6,0)到直线l:x+2y=0的距离612+(2)2=2,即|PF|的最小值为2,C错误;对于D,直线l:x+2y=0的斜率为-22,(2)已知双曲线C:x2a2-y23=1(a>0)过点(-2,1),则其渐近线方程为解析因为双曲线C:x2a2-y23=1(a>0)过点(-2,1),即有4a2-13=1,解得a=3或a=-3(舍去),而b=3,故渐近线方程为y=±bax微点三抛物线方程与性质及其应用例4(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(B)A.2 B.22 C.3 D.32解析解法一:设点A(m,n),因为点A在C:y2=4x上,所以n2=4m①,又F(1,0),B(3,0),则|AF|=|BF|=2,则有(m-1)2+(n-0)2=2②,联立①②式,解得m=1,n2=4,不妨设点A在x轴上方,所以n=2,则A(1,2),所以|AB|=(3-1)2+解法二:设点A(m,n),由题意得F(1,0),又B(3,0),则|AF|=|BF|=2,即点A到准线x=-1的距离为2,则m-(-1)=2,m=1.将(1,n)代入y2=4x得n2=4,不妨设点A在x轴上方,所以n=2,则A(1,2),所以|AB|=(3-1)2+(0-2)2=22(2)(2024·新课标Ⅱ卷)(多选题)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B,则(ABD)A.l与☉A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个解析对于A,易知l:x=-1,故l与☉A相切,A正确;对于B,A(0,4),☉A的半径r=1,当P,A,B三点共线时,P(4,4),所以|PA|=4,|PQ|=|PA|2-r2=42-12=15,故B正确;对于C,当|PB|=2时,P(1,2),B(-1,2)或P(1,-2),B(-1,-2),易知PA与AB不垂直,故C错误;对于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF,易知F(1,0),由抛物线定义可知|PF|=|PB|,因为|PA|=|PB|,所以|PA|=|PF|,所以点P在线段AF的中垂线上,线段AF的中垂线方程为y=14x+158,即x=4y-152,代入y2=4x可得y2-16y+30=0,解得y=8±34利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来建立已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且减少数学运算量.训练3已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,射线FM与y轴交于点A(0,2),与抛物线C的准线交于点N,FM=55MN,则p的值等于(A.18 B.2 C.14 D解析依题意F点的坐标为p2,0,设M在准线上的射影为K,如图,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,因为FM=55MN,所以|FM||MN|=55,可得|MK||MN|=55,则|KN|∶|KM|=2∶1,所以kFN=0-2p2-0=-4p,1.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=3e1,则A.233 B.2 C.3 D解析由e2=3e1,得e22=3e12,因此4-14=3×a2-1a2,而a>12.(2022·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(BCD)A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2解析将点A(1,1)的坐标代入x2=2py(p>0),解得p=12.所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-14,所以A错误.由y=x2,得y'=2x.当x=1时,y'=2,所以抛物线在点A(1,1)处的切线方程为y=2x-1.令x=0,得y=-1,即切线y=2x-1过点B,所以B正确.设直线PQ:y=kx-1,P(x1,x12),Q(x2,x22).将PQ:y=kx-1与C:x2=y联立,得x2-kx+1=0,所以Δ=k2-4>0,x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=x12+x14·x22+x24=|x1x2|1+x12·1+x22=2+x12+x22>2+2|x1x2|=2=|OA|2,所以3.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则解析由|AB|=10及双曲线的对称性得|AF2|=|AB|2=5,因为|AF1|=13,所以2a=|AF1|-|AF2|=13-5=8,2c=|F1F2|=AF1|2-AF2|2=132-52=12,所以a=44.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F解析依题意,得F1(-c,0),F2(c,0),设A(x0,y0),B(0,t),因为F2A=-23F2B,所以(x0-c,y0)=-23(-c,t),则x0=53c,y0=-23t,所以A53c,-23t.又可知点A在双曲线右支,所以由双曲线的定义得2a=53c+c2+-23t-02-53c-c2+-23t-02,整理得2a=649c2+49t2-49c2+49t2①.因为F1A⊥F1B,所以F1A·F1B=83c,-23微练(二十三)圆锥曲线方程与性质基础过关练一、单项选择题1.(2025·云南一模)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为A.2 B.12 C.2 D.解析由题可得2c=4,2a=2,所以a=1,c=2,所以双曲线的离心率为e=ca=22.已知直线l:y=-3(x-1)经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点A,A.4 B.23 C.3 D.2解析l:y=-3(x-1)的斜率为-3,经过点(1,0),故其倾斜角为2π3,因此∠AFO=π3,由于|AO|=b,|OF|=c=1,所以tan∠AFO=bc=3,所以b=3,故a=c2+b2=2,故长轴长为3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点和双曲线x2-y23=1的右顶点重合,则p的值为(A.1 B.2 C.4 D.6解析因为双曲线x2-y23=1的右顶点为(1,0),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为p2,0,所以p2=1,解得p4.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为A.y=±2x B.y=±3xC.y=±12x D.y=±3解析根据题意,双曲线C的离心率为e=1cos30°=132=23=ca⇒c=23a,所以b=c2-a2=43a2-a2=33a,则双曲线C:y2a2-5.(2025·十堰四调)设双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,实轴长为6,若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26,A.x242-y232=1 C.x232+y242=1 解析因为双曲线C1的实轴长为6,所以a=3,因为双曲线C1的离心率为ca=53,所以c=5,则b=c2-a2=4,所以,双曲线C1的方程为x29-y216=1,因为曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26,由椭圆的定义可知,曲线C2是以双曲线C1的两个焦点为焦点,长轴长为26的椭圆,设椭圆C2的方程为x2m2+y2n2=1(m>n>0),则m=13,所以n=m2-6.(2025·临汾一模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点为F1,F2,若M是双曲线左支上的一点,且3|MF2|=5|MF1A.2 B.3 C.4 D.5解析如图所示,设|MF1|=m,|MF2|=n,则有3n=5m,n-m=2a,解得m=3a,因为M是双曲线左支上的一点,所以m≥c-a>0,即3a≥c-a,解得e=ca≤4,故选C7.(2025·岳阳一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1(-1,0),F2(1,0)分别为椭圆的左右焦点,离心率为12,点P为直线x=a2上的一点.当△PF1FA.1 B.2 C.4 D.8解析如图,设△F1F2P的外接圆的圆心为M,则M在F1F2的垂直平分线上,又P在x=a2上,M在y轴上,所以|MP|≥a2,即当△F1F2P的外接圆的半径为|MP|=a2时,周长取最小值,由题意可知,c=1,ca=12,即a=2,所以该圆的半径为4.故选8.(2025·天津高考)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P,若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,A.2 B.5C.2+12 解析由题意知c=p2,所以抛物线方程为y2=4cx.因为|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,|F1F2|=2c,所以|PF1|+|PF2|=6c,又点P在双曲线上且在第一象限,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3c+a,|PF2|=3c-a,如图所示,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为P',因为点P在抛物线上,所以|PF2|=|PP'|=xP+c=3c-a,所以xP=2c-a,yP=PF1|2-|PP'|2=3c+a)2-3c-a)2=23ac,把点P的坐标代入抛物线方程,可得(23ac)2=4二、多项选择题9.关于双曲线4x2-y2+64=0,下列说法正确的有(ABC)A.实轴长为16B.焦点坐标为(0,45),(0,-45)C.离心率为5D.渐近线方程为y=±x解析因为4x2-y2+64=0,所以y2-4x2-64=0,化简得y264-x216=1,则a=8,b=4,c=45,对于A,则实轴长为2a=16,故A正确;对于B,焦点坐标为(0,45),(0,-45),故B正确,对于C,离心率为e=ca=458=52,故C正确,对于D,渐近线方程为y=±2x10.(2025·湘豫名校联考)已知在平面直角坐标系中,曲线x216+y29-k=1(k≠9)的离心率为直线4x+y-2=0在某一坐标轴上的截距,则k的值可能是A.57 B.-3 C.-39 D.-37解析由4x+y-2=0,可得直线在x轴上的截距为12,在y轴上的截距为2,若曲线x216+y29-k=1(k≠9)的离心率为12,则9-k>0,16-9+k16=14或9-k>0,9-k-169-k=14,解得k=-3或k=-373,若曲线x216+y29-k=1(k≠9)的离心率为11.(2025·聊城一模)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,点P(9,6)在C上,直线PF交C于另一点Q,则(BD)A.C的准线方程为x=1B.直线PQ的斜率为3C.|FQ|=2D.线段PQ的中点的横坐标为41解析对于A,因为点P(9,6)在抛物线C上,则18p=36,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,焦点F(1,0),准线方程为x=-1,A错误;对于B,直线PQ的斜率k=6-09-1=34,B正确;对于C,直线PQ的方程为y=34(x-1),联立y=34(x-1),y2=4x,解得x=9,y=6或x=19,y=-23,即Q19,-23,故|FQ|=19+p2=三、填空题12.(2025·安阳模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离为3a解析因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离为b,则b=3a,双曲线的离心率e=c13.(2025·长沙二模)已知圆N:x2+y2-6y+5=0,直线y=-1,圆M与圆N外切,且与直线y=-1相切,则点M的轨迹方程为x2=12y.解析如图,由题意得,直线l:y=-1,且圆N:x2+(y-3)2=4,设圆M的半径为r,则点M到l':y=-3与点M到点N的距离相等,都是r+2,故点M的轨迹是以N为焦点,以l'为准线的抛物线,故方程为x2=12y.14.(2025·湖北联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|BF2|,|AB|=|BF1|,则椭圆解析如图,由已知可设|F2B|=x,则|AF2|=2x,|BF1|=|AB|=3x,由椭圆的定义有|BF1|+|BF2|=2a=4x,故x=a2.所以|AF2|=a=|AF1|,|BF1|=|AB|=3a2,故点A为椭圆的上顶点或下顶点.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=a2+9a24-9a242·a·3a2=13.在△AOF2中,设∠OAF2=θ,故cos∠F1AB=cos2θ=1-2sin2θ=13,得能力提升练15.(2025·哈尔滨一模)已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在椭圆C2上存在一点P,过P点能作圆C1的两条切线,切点为A,B,且∠APB=π2,A.0,22 BC.0,12 D解析如图,由对称性可知,∠APB=2∠APO,因为sin∠APO=|OA||OP|=b|OP|≥ba,∠APO∈0,π2,所以当点P位于长轴端点时∠APO最小,由题可知,在椭圆C2上存在一点P,使得∠APB=π2,只需当点P位于长轴端点时,∠APO≤π4,即ba≤22,故e=1-b2a2≥22,16.已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2).A-12,0,B(1,0),若椭圆C上存在3个不同的点P满足|PB|=2|PAA.0,22 BC.22,1 D解析设P(x,y),由|PB|=2|PA|,得(x-1)2+y2=2x+122+y2,化简得(x+1)2+y2=1,即点P的轨迹是以点(-1,0)为圆心,1为半径的圆,则该圆与椭圆C有3个交点,由x2+y2+2x=0,b2x2+4y2=4b2,消去y得(4-b2)x2+8x+4b2=0,即(x+2)x+2b24-b2=0,显然-2是方程的一个解,点(-2,0微专题16直线与圆锥曲线的位置关系1.中点弦问题已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上两点,AB的中点C(x0,y0),直线AB的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1则k=-b2a2(2)若双曲线E的方程为x2a2-y2b2=1(则k=b2a2(3)若抛物线E的方程为y2=2px(p>0),则k=py0=2.弦长问题已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),则|AB|=1+k2|x1-x2或|AB|=1+1k2|y1-=1+13.圆锥曲线中求解三角形面积的方法(1)常规面积公式:S=12×底×高(2)正弦面积公式:S=12absin(3)铅锤水平面面积公式;①过x轴上的定点:S=12a|y1-y2|(a为x轴上定长②过y轴上的定点:S=12a|x1-x2|(a为y轴上定长)微点一中点弦问题例1(1)已知双曲线x2-y22=1,过点P(1,1)的直线l与该双曲线相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程为(A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.该直线不存在解析设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,代入双曲线方程得x12-y122=1,x22-y222=1,两式相减得x12-x22=y122-y222,得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)2,若P是线段AB的中点,则x1+x2=2,y1+y2=2,所以y1-y(2)已知椭圆C:x2a2+y24=1与直线mx+2y-4=0交于A,B两点,且线段AB的中点为M(2,1),则椭圆C的方程为

解析将M(2,1)代入直线mx+2y-4=0,可得2m+2-4=0,m=1,所以直线方程为x+2y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x12a2+y124=1,x22a2+y224=1,两式相减得x12-x22a2+y12-y224=0,即(x1-x2)(x1+x2)a2求解与中点弦有关问题的两种方法(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系.(2)点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零.训练1(1)已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,若线段MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程为(DA.x23-y24=1 B.C.x25-y22=1 D.解析设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意可得a2+b2=7,设M(x1,y1),N(x2,y2),则MN的中点为-23,-53,由x12a2-y12b2=1且x22a2-y22b2=1,得(x1+x2)(x1-x2(2)(2025·保定模拟)不与坐标轴垂直的直线l过点N(x0,0),x0≠0,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点A,B关于l对称,线段AB的中点M的坐标为(x1,y1).若x1=2x0,则解析设O为坐标原点,在椭圆C中,设A(x2,y2),B(x3,y3),则x22a2+y22b2=1,x32a2+y32b2=1,所以x22-x32a2=-y22-y32b2,因为A,B关于l对称,所以x2≠x3,所以-b2a2=(y2-y3)(y2+y3)(x2-x3)(x2+x3),由线段AB的中点M的坐标为(x1,y1),得出y2+y微点二弦长问题例2(2025·全国二卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求C的方程;(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为2,求|AB|.解(1)由2a=4,得a=2.由题意得e=ca=22,则c=22a=2,又b2=a2-c2,所以b=2.所以C的方程为x2(2)由题意得l的斜率存在,设l:y=kx-2,代入x24+y22=1,消去y并化简得(1+2k2)x2-8kx+4=0,由Δ=16(2k2-1)>0,得k2>12,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k1+2k2,x1x2=41+2k2.S△OAB=12×2×|x2-x1|=(x1+解决弦长问题的注意点(1)设直线方程时,需考虑特殊直线,如斜率不存在、斜率为0的直线等.(2)涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0易漏掉.(3)|AB|=x1+x2+p是抛物线y2=2px(p>0)过焦点的弦长公式,其他情况该公式不成立.训练2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A(2(1)求椭圆C的方程;(2)过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,若|AB|=1227,求直线l解(1)由题意可得,a=2.因为e=ca=12,所以c=1,则b=a2-c2=3,故椭圆C(2)由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2).联立x24+y23=1,y=k(x-2),得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,易知Δ>0.设B(x2,y2),则2x2=16k2-124k2+3,所以x2=8k2-64k2+3,y2=-12k4k2+3,因为|AB|2=(x2-2)2+y22=12272,所以8k2-64k2微点三面积与直线方程问题例3(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P3,32分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(1)求C的离心率;(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.解(1)由题意得b=3,9a2+94b2=1,解得b(2)易知kAP=3-320-3=-12,则直线AP的方程为y=-12x+3,即x+2y-6=0,|AP|=(0-3)2+3-322=352,由(1)知C:x212+y29=1.设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9352=1255,则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255个单位长度即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设该平行线的方程为x+2y+C=0,则C+6|5=1255,解得C=6或C=-18,当C=6时,联立x212+y29=1,x+2y+6=0,解得x=0,y=-3或x=-3,y=-32,即B(0,-3)或-3,-32,当B(0,-3)时,此时kl=32,直线l的方程为y=32x-3,即3x-2y-6=0,当B-3,-32时,此时kl=12,直线l的方程为y圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题,有时也会考查平行四边形的面积,或对角线互相垂直的四边形的面积问题,求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线的距离公式,用某些量表示面积,再利用函数、方程或不等式知识求解.训练3(2025·沧衡联盟联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=±(1)求双曲线C的标准方程;(2)若过点P43,0的直线l与双曲线C交于A,B两点,已知O为坐标原点,当S△OAB=4059时,解(1)双曲线的顶点(a,0)到渐近线5x±2y=0的距离为5a3,所以5a3=253,即a=2,又因为ba=52,所以b=5,(2)因为P43,0,设直线AB的方程为x=my+43,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+43,x24-y25=1,消去x化简得(45m2-36)y2+120my-100=0,由45m2-36≠0且Δ=3600(9m2-4)>0,解得m2>49且m2≠45,由根与系数关系得:y1+y2=-120m45m2-36,y1y2=-10045m2-36,所以|AB|=1+m2|y1-y2|=201+m2·9m2-43|5m2-4|,原点O到直线AB的距离d=43m2+1,所以S△OAB=409m2-49|5m2-4|,所以4059=409m2-49|5m2-4|,化简得125m4-209m2+84=0,即(125m1.(2025·全国二卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(C)A.3 B.4 C.5 D.6解析根据直线y=-2x+2得F(1,0),所以C的准线方程为x=-1,C的方程为y2=4x,所以B(-1,4),所以A(4,4),所以|AF|=|AB|=5.2.(2021·新课标Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离2,则p=(B)A.1 B.2 C.22 D.4解析抛物线的焦点坐标为p2,0,其到直线x-y+1=0的距离d=p2-0+112+(-1)2=2,解得p=23.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(A.23 B.23 C.-23 D解析由题意,F1(-2,0),F2(2,0),△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍,即|-2+m2=2×2+m2,解得m=-23或m=-32(此时直线与椭圆C4.(2025·天津高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为(1)求椭圆的方程;(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证:PF平分∠AFB.解(1)由题意可设P(a,y0)(y0>0),因为F(-c,0),A(a,0),kPF=13,S△PFA=32,e=12,所以y0a+c=13,12(a+c)·y0=32,c(2)证明:由(1)知F(-1,0),P(2,1),易知直线PB的斜率存在,设PB:y-1=k(x-2),由y-1=k(x-2),x24+y23=1,得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+8(2k2-2k-1)=0,因为PB与椭圆仅有一个交点,所以Δ=64k2(2k-1)2-32(4k2+3)(2k2-2k-1)=0,解得k=-12,所以xB=--8k2k-1)2(4k2+3)=1,则yB=32,所以B1,32,所以直线BF的斜率为321-(-1)=34.微练(二十四)直线与圆锥曲线的位置关系基础过关练一、单项选择题1.若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一个公共点,那么a的值为(C)A.12 B.23 C.34 解析因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆,则a>0,将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立,得y=x-1,x2+3y2=a,可得4x2-6x+3-a=0,则Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12=02.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为(A)A.(1,-1) B.(2,0)C.12,-32 D.(解析因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以抛物线方程为y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y12=2x1,y22=2x2,则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),所以kPQ=2y1+y2.又因为P,Q关于直线l对称.所以kPQ=-1,即y1+y2=-2,所以y1+y223.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线x-y+2=0与椭圆C相交于不同的两点A,B.若P为线段AB的中点,O为坐标原点,直线OP的斜率为-12A.x23+y2=1 B.x2C.x25+y23=1 D.解析因为直线x-y+2=0过点F(-2,0),所以c=2且kAB=1,可得kAB=-b2a2·x0y0=-b2a2·1kOP=1,所以b2a2=12,即a2=2b2=b2+c2,所以b=c=24.已知直线l:x-2y-2=0与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点.若弦AB被直线m:x+2y=0平分,A.12 B.24 C.32 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB被直线m:x+2y=0平分,设中点坐标为(x0,y0),所以x1+x22+2×y1+y22=x0+2y0=0①,因为点A,B在直线l:x-2y-2=0上,代入可得x1=2y1+2,x2=2y2+2,两式相减可得x1-x2=2(y1-y2)②,又点A,B在椭圆上,代入可得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b25.(2025·安阳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,离心率为12.过点F1且垂直于PF2的直线与C交于M,N两点,|MN|=6,则|A.4 B.5 C.6 D.7解析如图,连接PF1,MF2,NF2.因为e=ca=12,即a=2c,b2=a2-c2=3c2,因为|PF1|=|PF2|=a=2c=|F1F2|,则△PF1F2为正三角形.又MN⊥PF2,则直线MN为线段PF2的垂直平分线,故|PM|=|MF2|,|PN|=|NF2|,且∠NF1F2=π6,故直线MN的方程为y=33x+c,代入椭圆C的方程x24c2+y23c2=1,得13x2+8cx-32c2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8c13,x1·x2=-32c213,则|MN|=1+13(x1+x2)2-4x1·x2=43-8c132-4×-32c213=48c13=66.(2025·广东二模)从双曲线x2-y23=1上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线,垂足分别为A,B,已知|MA|+|MB|=2,则|AB|=(A.72 B.74 C.132解析根据双曲线具有的对称性,不妨设双曲线上第一象限的点M(m,n),m>0,n>0,则由双曲线可得渐近线方程为y=±3x,即y±3x=0,所以由点到直线的距离公式可得:|MA|=n-3m|2,|MB|=n+3m|2,由|MA|+|MB|=2,得n-3m|2+n+3m|2=2⇒|n-3m|+n+3m=4,由双曲线上第一象限的点可知0<n<