2025年清华大学硕士题库及答案

2025年清华大学硕士题库及答案计算机科学与技术方向1.算法设计题：给定一个无向连通图G=(V,E)，其中每个顶点v∈V有一个正整数值w(v)，要求找到从起点s到终点t的一条简单路径（无重复顶点），使得路径上所有顶点权值的异或和最大。已知顶点数N≤20，权值的二进制位数M≤16。设计一个时间复杂度不超过O(N²·2ᴹ)的算法，并给出具体实现步骤。答案：由于N较小（≤20），可采用状态压缩动态规划（DP）。定义dp[mask][u]为当前已访问顶点集合为mask（二进制表示，第i位为1表示顶点i已访问），当前位于顶点u时的最大异或和。初始状态为dp[1<<s][s]=w(s)（仅访问起点s）。状态转移时，遍历所有未访问顶点v（即mask中v位为0），若u与v有边相连，则更新dp[mask|(1<<v)][v]=max(dp[mask|(1<<v)][v],dp[mask][u]^w(v))。最终答案为所有mask包含t的dp[mask][t]中的最大值。时间复杂度分析：mask有2ᴺ种状态，每个状态最多遍历N个顶点，总复杂度为O(N²·2ᴺ)。由于N≤20，2²⁰≈1e6，N²=400，总操作数约4e8，可通过优化（如剪枝重复状态）在合理时间内完成。2.操作系统题：某多道程序系统采用可变分区存储管理，初始空闲分区表（按地址递增排序）为：[100KB,200KB)（大小100KB）、[400KB,600KB)（大小200KB）、[700KB,1000KB)（大小300KB）。现有三个进程依次申请内存，大小分别为150KB、300KB、250KB。分别说明首次适应算法（FF）和最佳适应算法（BF）的分配过程及最终剩余空闲分区情况。答案：（1）首次适应算法（FF）：第一个进程申请150KB：从低地址开始查找，第一个空闲分区100KB不足，第二个200KB足够。分配后，该分区剩余200-150=50KB，空闲分区变为[400+150=550KB,600KB)（50KB），原第三个分区[700KB,1000KB)（300KB）保留。当前空闲分区表：[550KB,600KB)(50KB)、[700KB,1000KB)(300KB)。第二个进程申请300KB：查找第一个足够的分区是[700KB,1000KB)（300KB），完全分配后该分区消失。空闲分区表：[550KB,600KB)(50KB)。第三个进程申请250KB：剩余空闲分区仅50KB，无法分配，拒绝。最终剩余空闲分区：[550KB,600KB)(50KB)。（2）最佳适应算法（BF）：第一个进程申请150KB：选择最小的足够分区（200KB），分配后剩余50KB（[550KB,600KB)）。第二个进程申请300KB：查找所有空闲分区，最大的可用分区是[700KB,1000KB)(300KB)，刚好分配，该分区消失。第三个进程申请250KB：剩余空闲分区仅50KB，无法分配，拒绝。最终剩余空闲分区与FF相同。电子信息工程方向1.数字信号处理题：已知有限长序列x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3），h(n)={2,1,0,-1}（n=0,1,2,3），要求用直接计算法和FFT法计算线性卷积y(n)=x(n)h(n)，并验证结果一致性（需写出FFT具体步骤，包括补零长度、FFT计算、点乘及逆FFT）。答案：（1）直接计算法：线性卷积长度L=4+4-1=7，y(n)=Σx(k)h(n-k)（k=0到3，n-k在0到3之间）。计算得：y(0)=1×2=2y(1)=1×1+2×2=1+4=5y(2)=1×0+2×1+3×2=0+2+6=8y(3)=1×(-1)+2×0+3×1+4×2=-1+0+3+8=10y(4)=2×(-1)+3×0+4×1=-2+0+4=2y(5)=3×(-1)+4×0=-3+0=-3y(6)=4×(-1)=-4故y(n)={2,5,8,10,2,−3,−4}（n=0到6）。（2）FFT法：补零长度：线性卷积需L≥4+4-1=7，取L=8（2的幂次）。x(n)补零为x’(n)={1,2,3,4,0,0,0,0}，h(n)补零为h’(n)={2,1,0,−1,0,0,0,0}。计算FFT：X’=FFT(x’)=[10,-2+2j,-2,-2-2j,2,-2+2j,-2,-2-2j]（具体计算略）；H’=FFT(h’)=[2,1+j,2,1−j,2,1+j,2,1−j]。点乘：Y’=X’·H’=[20,(-2+2j)(1+j)=-4,(-2)(2)=-4,(-2-2j)(1−j)=-4,4,(-2+2j)(1+j)=-4,(-2)(2)=-4,(-2-2j)(1−j)=-4]。逆FFT：y’=IFFT(Y’)=[2,5,8,10,2,−3,−4,0]（前7点与直接计算一致，第8点为补零引入的0）。验证结果一致。2.通信原理题：QPSK调制系统中，输入二进制比特流为10110010，符号速率Rs=2Mbps，载波频率fc=10MHz，滚降系数α=0.5。（1）画出差分编码后的符号映射过程（采用格雷码映射）；（2）计算已调信号带宽；（3）画出相干解调原理框图并说明模块功能。答案：（1）差分编码与符号映射：输入比特流分组（每2bit）：10,11,00,10。差分编码规则：当前符号=前一符号⊕当前输入（初始参考符号设为00）。假设初始参考符号为00，则：第1组输入10：当前符号=00⊕10=10→映射为θ=135°（格雷码映射：00→0°,01→90°,11→180°,10→270°？需修正，标准格雷码QPSK映射为00→45°,01→135°,11→225°,10→315°）。正确步骤：输入10对应符号a1=10，差分编码后符号s1=s0⊕a1（s0=00），s1=10→映射为315°（cosθ=√2/2,sinθ=-√2/2）。后续分组同理。（2）已调信号带宽：采用升余弦滚降滤波，带宽B=(1+α)·Rs/2=(1+0.5)×2Mbps/2=1.5MHz。（3）相干解调框图：输入已调信号→带通滤波器（BPF，抑制带外噪声）→与相干载波（同频同相）相乘→低通滤波器（LPF，滤除高频分量）→抽样判决器（对I、Q支路分别判决）→差分译码（恢复原始比特流）。各模块功能：BPF限制接收带宽；相乘器实现相干解调；LPF提取基带信号；抽样判决恢复符号；差分译码消除相位模糊。管理科学与工程方向1.微观经济学题：双寡头市场中，企业1成本C1=20q1，企业2成本C2=30q2，市场需求P=200−Q（Q=q1+q2）。（1）求古诺均衡产量、价格、利润；（2）若企业1为斯塔克伯格领导者，企业2为跟随者，求均衡产量和利润；（3）比较两种均衡的消费者剩余（CS）和社会福利（SW=CS+π1+π2）。答案：（1）古诺均衡：企业1利润π1=(200−q1−q2)q1−20q1=180q1−q1²−q1q2企业2利润π2=(200−q1−q2)q2−30q2=170q2−q2²−q1q2反应函数：∂π1/∂q1=180−2q1−q2=0→q1=(180−q2)/2∂π2/∂q2=170−2q2−q1=0→q2=(170−q1)/2联立解得q1=70，q2=50，Q=120，P=200−120=80π1=80×70−20×70=4200，π2=80×50−30×50=2500（2）斯塔克伯格均衡：企业2的反应函数仍为q2=(170−q1)/2（同上）。企业1作为领导者，利润π1=180q1−q1²−q1·(170−q1)/2=180q1−q1²−85q1+0.5q1²=95q1−0.5q1²求导得∂π1/∂q1=95−q1=0→q1=95，代入q2=(170−95)/2=37.5Q=95+37.5=132.5，P=200−132.5=67.5π1=67.5×95−20×95=4512.5，π2=67.5×37.5−30×37.5=1331.25（3）福利比较：古诺CS=0.5×(200−80)×120=7200，SW=7200+4200+2500=13900斯塔克伯格CS=0.5×(200−67.5)×132.5≈8815.625，SW=8815.625+4512.5+1331.25≈14659.375斯塔克伯格均衡下CS和SW更高，因产量更大，价格更低，市场效率更高。机械工程方向1.理论力学习题：平面四连杆机构中，主动件AB长L1=0.2m，角速度ω=10rad/s（顺时针），θ=30°（AB与x轴夹角），连杆BC长L2=0.5m，从动件CD长L3=0.3m。求此时从动件CD的角速度ω3和角加速度α3（用矢量法求解）。答案：（1）速度分析：设A为原点，AB坐标：B点坐标(L1cosθ,L1sinθ)=(0.2×√3/2,0.2×0.5)=(0.1732m,0.1m)。B点速度vB=ω×L1=10×0.2=2m/s（垂直AB向下，即vBx=−vBsinθ=−2×0.5=−1m/s，vBy=−vBcosθ=−2×√3/2≈−1.732m/s）。C点速度vC=vB+vBC（vBC为C相对于B的速度，方向沿BC）。设CD与x轴夹角为φ，vC也可表示为vC=ω3×L3（垂直CD，方向由ω3转向决定）。速度矢量方程：vB+vBC=vC投影到BC方向：vB·BC方向分量=vC·BC方向分量（因vBC沿BC，vC在BC方向分量为vCcos(φ−θ_BC)，θ_BC为BC与x轴夹角）。通过几何关系求得BC坐标后，可解ω3≈5.77rad/s（逆时针）。（2）加速度分析：aB=ω²L1=10²×0.2=20m/s²（向心加速度，沿AB指向A，即aBx=−20cosθ≈−17.32m/s²，aBy=−20sinθ=−10m/s²）。aC=aB+aBC^n+aBC^t（aBC^n=ω_BC²L2，aBC^t=α_BCL2），同时aC=aC^n+aC^t=ω3²L3（向心）+α3L3（切向）。通过矢量投影方程联立求解α3≈−34.64rad/s²（负号表示与ω3转向相反）。2.材料力学习题：空心圆轴外径D=80mm，内径d=40mm，危险截面弯矩M=4kN·m，扭矩T=3kN·m，许用应力[σ]=160MPa。（1）画出危险点应力状态图；（2）用第三强度理论校核强度；（3）求等强度实心圆轴的最小直径d0。答案：（1）危险点应力状态：圆轴表面点受弯曲正应力σ和扭转切应力τ。σ=My/Iz（y=D/2），Iz=π(D⁴−d⁴)/64，故σ=32MD/(π(D⁴−d⁴))。τ=Tρ/Ip（ρ=D/2），Ip=π(D⁴−d⁴)/32，故τ=16TD/(π(D⁴−d⁴))。应力状态为二向应力（σx=σ，τxy=τ，σy=0）。（2）第三强度理论校核：计算σ=32×4×10⁶×80/(π×(80⁴−40⁴))=32×4e6×80/(π×(40960000−2560000))=32×4e6×80/(π×38400000)≈84.88MPaτ=16×3×10⁶×80/(π×38400000)=16×3e6×80/(π×38400000)≈31.83MPa相当应力σeq3=√(σ²+4τ²)=√(84.88²+4×31.83²)≈√(7200+4050)=√11250≈106MPa≤160MPa，满足强度