分式方程及其解法（课件）华东师大版八年级数学下册

15.3可化为一元一次方程的分式方程第1课时

分式方程及其解法

第15章

分式学习目标1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤.(重点)2.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法.(难点)3.在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯.1.什么是一元一次方程?2.什么是分式?

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是

1，这样的方程叫做一元一次方程.

形如(A、B是整式，且

B中含有字母)的式子，叫做分式.问题1

轮船在顺水时航行80km所需的时间和在逆水中航行60km所需的时间相同.已知水流的速度是3km/h，问轮船在静水中的速度.分式方程的概念1分析

设轮船在静水中的速度为

xkm/h，根据题意，得问题2

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为

x人，那么

x应满足怎样的方程？思考

上面问题中我们得到的两个方程有什么特点？分母中都含有未知数.分式方程的概念

分式方程的特征方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.(1)是等式；(2)方程中含有分母；(3)分母中含有未知数.知识要点判一判

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π

是常数)．（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母

都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？如何去分母你能试着解这个分式方程吗？分式方程的解法2方程的最简公分母是：(x

+

3)(x

-

3).解：方程两边都乘以

(x+3)(x

-

3)，约去分母，得80(x

-

3)=60(x+3)，解这个整式方程，得x=21.x=21是原分式方程的解吗？检验：将

x

=21代入原分式方程中，左边

=

=

右边，因此

x

=21是原分式方程的解.解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

归纳总结例1

解方程：解：方程两边都乘以(x2－1)，约去分母，得解这个整式方程，得x=1.典例精析x=1是原分式方程的解吗？检验：将

x=1代入原分式方程检验，发现这时分母

x-

1和

x2-

1的值都为

0，相应的分式方程无意义.因此

x

=

1虽是整式方程

x

+

1=2

的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解.想一想：

上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式两边同乘不为

0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.我们再来观察去分母的过程：80(x-3)=60(x+3)两边同乘(x+3)(x-3)当x=21时，(x+3)(x-3)≠0真相揭秘：分式两边同乘了等于

0的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为

0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+1=2两边同乘(x2－1)当

x=1时，(x2－1)=0

在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为

0，所以分式方程的解必须检验．分式方程解的检验——必不可少的步骤怎样检验？归纳总结检验方法：

将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为

0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为

0，即为增根.如例1

中，把

x=1代入

x²－1，其值为

0，可知

x=1是原分式方程的增根.1.在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；2.解这个整式方程；3.把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；4.写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”.知识要点“去分母法”解分式方程的步骤用框图的方式总结为：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a

检验x=a是分式方程的解

x=a不是分式方程的解

x=a时最简公分母是否为零？否是解

方程两边都乘以

x(x-

7)，约去分母，得100(x-

7)=30x.解这个整式方程，得

x=10.例2

解方程：检验:把

x=10代入

x(x-

7)，得10×(10

-

7)≠0所以

x=10是原方程的解.典例精析例3

若关于

x的分式方程

无解，求

m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零．典例精析解：方程两边同乘

(x＋2)(x－2)

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即

(m－1)x＝-10.①当

m－1＝0

时，此方程无解，此时

m＝1；②整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即

x＝2

或

x＝－2.当

x＝2

时，(m－1)×2＝－10，解得

m＝－4；当

x＝－2时，(m－1)×(－2)＝－10，解得

m＝6.

∴

m

的值是

1，－4或

6.

分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为

0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为

0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．方法总结分式方程误区(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘步骤(去分母法)一化(分式方程转化为整式方程)；二解(整式方程)；三检验(把解代入到最简公分母中，看是否为零)(2)

去分母后，分子是多项式时，没有添括号(因分数线有括号的作用)(3)

忘记检验定义分母中含未知数的方程叫作分式方程2.

要把方程

化为整式方程，方程两边可以同乘(

)DA.3y-

6B.3yC.3(3y

-

6)D.3y(y

-

2)1.下列关于

x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.解分式方程

时，去分母后得到的整式方程是

(

)A.2(x-

8)

+

5x

=

16(x

-

7)B.2(x

-

8)

+

5x

=

8C.2(x

-

8)

-

5x

=

16(x

-

7)D.2(x

-

8)

-

5x

=

8A4.若关于

x的分式方程

无解，则

m的值为(

)A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或

－1.5D5.解方程：解：

方程两边乘

x(x-3)，得2x=3x-9.解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解为x=9.6.解方程：解：

方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当

x=1时，(x-1)(x+2)=0，

因此

x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.7.解方程：解：去分母，得解得检验：把代入最简公分母