六年级数学下册期末专题复习一：负数的再认识与百分数的综合应用教学设计

六年级数学下册期末专题复习一：负数的再认识与百分数的综合应用教学设计一、教学内容分析  本专题复习立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对小学阶段“数与代数”领域的高阶要求。在知识技能图谱上，核心在于深化对“负数”这一扩展数系概念的本质理解（如负数在数轴上的位置、大小比较、表示相反意义的量），以及提升对“百分数”作为“倍比关系”特殊表达形式的综合应用能力（如折扣、成数、税率、利率、盈亏等现实问题）。二者虽分属不同单元，但在刻画现实世界的变化、增减、比率与比较中具有内在联系，本次复习旨在打通这种联系，构建更为完整的“数”概念认知网络与问题解决模型。从过程方法看，本课着重引导学生经历“从现实情境抽象出数学问题—运用符号（负数、百分号）建立数学模型—合理解释并应用模型结论”的全过程，渗透数学建模、数形结合与转化思想。其素养价值渗透点在于，通过分析与解决涉及负增长、成本利润、储蓄投资等具有现实意义的复合问题，培养学生用数学眼光观察现实世界（数感、量感）、用数学思维思考现实世界（模型意识、应用意识）的核心素养，初步感知数学在经济社会生活中的理性力量与决策价值。  基于“以学定教”原则进行学情研判。学生已分别学习了负数和百分数的初步知识，但可能存在以下障碍：对负数意义的理解局限于“温度”情境，难以迁移到其他表示相反意义的量中；对百分数“率”的本质（表示两者间的倍比关系）理解不深，容易与具体“量”混淆；面对将负数与百分数融合的复杂情境问题时，分析数量关系的能力不足，思维链条易断裂。此外，班级学生数学抽象能力和综合应用水平呈现明显分层。因此，教学将设计多层次的现实情境与阶梯式任务，在课堂中通过针对性提问、小组讨论展示、变式练习反馈等形成性评价手段，动态诊断不同层次学生的理解障碍。针对基础薄弱学生，提供更直观的图示（如数轴、线段图）和分步解题“脚手架”；针对学有余力学生，则引导其探究数量关系的多种表征方式及解决方案的优化策略，实现差异化的教学支持。二、教学目标  知识目标：学生能够系统梳理负数与百分数的核心概念，不仅能在具体情境中熟练运用负数表示具有相反意义的量、在数轴上定位负数并比较大小，还能深刻理解百分数作为“一个数是另一个数的百分之几”的比率本质。最终，学生能建构起两者之间的联系，灵活运用这些知识分析和解决涉及增减变化、成本利润、税率利率等复合型现实问题。  能力目标：学生能够从复杂的现实问题中准确提取数学信息，识别其中蕴含的负数与百分数关系；能够运用数轴、线段图等工具直观分析数量关系，并选用恰当的运算策略（如确定单位“1”、处理增减百分率与具体量的关系）进行列式解答，发展数学建模与问题解决能力。  情感态度与价值观目标：在解决与生活紧密相关的经济、社会问题过程中，学生能体会到数学的工具性与实用性，增强学习数学的兴趣与信心。在小组合作探究中，愿意倾听他人见解，敢于表达自己的思路，形成理性分析、严谨求证的科学态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型意识与抽象思维。引导他们将“上涨5%”与“下降3%”等生活语言，抽象为“×(1+5%)”与“×(13%)”的数学模型；将“亏损200元”抽象为“200元”。通过对比、归纳，体会用统一、简洁的数学符号和模型刻画多样化现实世界的思维方式。  评价与元认知目标：引导学生学会使用评价量规对解题过程的逻辑性与结果的合理性进行互评与自评。在问题解决后，能回顾反思：“我是如何找到突破口的？”“还有没有其他解法？”“我的答案符合实际情况吗？”，逐步养成复盘与优化思维路径的元认知习惯。三、教学重点与难点  教学重点：负数意义的深化理解与百分数在复杂情境中的综合应用。负数不仅是“小于0的数”，更是描述一组“相反意义量”的数学工具；百分数不仅是“分母为100的分数”，更是表征两个量之间“倍比关系”的模型。确立本重点的依据在于，它们是课标中“数的认识”与“数量关系”两大主题下的核心概念（大概念），是学生从算术思维向代数思维过渡的重要桥梁，也是小升初学业水平考查中体现应用能力与思维深度的常见载体。  教学难点：在融合负数和百分数的多步复杂实际问题中，准确分析数量关系，特别是处理连续变化、涉及“单位‘1’变化”或“比较基准变化”的问题。难点成因在于，此类问题抽象程度高，逻辑链条长，需要学生克服对单一知识点的惯性思维，进行综合性、辩证性的数量关系分析与建模。预设突破方向是：强化用线段图等直观手段分解问题，设计从简单到复杂的变式训练序列，引导学生在“说理”中明晰每一步运算的实际意义。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴、情境动画、分层任务卡）；实物温度计；板书设计框架（左侧“负数”知识树，右侧“百分数”知识网，中间区域用于生成综合应用模型）。  1.2学习材料：分层学习任务单（含基础巩固、综合应用、挑战探究三个梯度）；课堂练习及当堂检测卷；小组讨论记录卡。  2.学生准备  2.1知识回顾：复习数学课本中关于负数和百分数的章节，尝试用思维导图梳理知识点。  2.2学具：直尺、铅笔。  3.环境布置  3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于合作探究与互帮互学。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与问题提出：“同学们，假如你是一位小管家，要记录家庭账本。这个月，妈妈工资收入记作‘+6500元’，那么水电煤气支出500元，可以怎么记呢？（生：500元）很好。再看，爸爸投资了一支股票，上周涨了8%，这周跌了5%，这两周总体是赚了还是亏了？光看‘涨’和‘跌’的百分数，能直接相加判断吗？”（此时学生会产生分歧和困惑）。  1.1揭示课题与路径：“看，生活中，‘负数’帮我们清晰地记录相反的变化，‘百分数’帮我们精确地描述增减幅度。但当它们联手出现在一个问题上时，就需要我们更透彻地理解它们的本质，并学会综合运用。今天，我们就来一场‘数与生活的深度对话’，一起攻克负数和百分数综合应用的难关。”  1.2唤醒旧知：“先快速回顾一下，关于负数，你最想提醒大家注意什么？（预设：0既不是正数也不是负数；比较大小时，负号后面的数越大，这个数反而越小。）关于百分数，它的本质是什么？（预设：表示一个数是另一个数的百分之几，是倍比关系。）”第二、新授环节  本环节以“构建综合应用思维模型”为主线，设计层层递进的探究任务。任务一：梳理本质——负数的“相反意义”与百分数的“关系”内核  教师活动：首先，展示一组图片：珠穆朗玛峰海拔+8848.86米，马里亚纳海沟深度11034米；某超市3月份营业额同比增长+15%，4月份同比下降10%。提问：“这些‘+’、‘’号和百分数，到底在告诉我们什么信息？它们能不能脱离具体的‘谁’和‘比谁’而单独存在？”引导学生分组讨论，派代表用板书或口头方式阐释。教师提炼：“负数的核心是表达一组‘相反意义’的量，百分数的核心是表达两个量之间的‘倍比关系’。理解任何含有它们的语句，都要立刻问自己：谁是基准？相反意义是什么？谁和谁在比？”  学生活动：观察情境图片，小组内热烈讨论“+”、“”号和百分数在具体语境中的实际含义。尝试用自己的话总结负数和百分数的本质，并派代表分享。聆听教师提炼，修正或完善自己的理解。  即时评价标准：1.能否准确说出情境中正负数表示的具体相反意义。2.能否指出每个百分数是哪两个量比较的结果。3.小组发言时逻辑是否清晰，语言是否准确。  形成知识、思维、方法清单：★负数表示具有相反意义的量，0是正负数的分界。理解负数必须联系具体情境和基准。★百分数表示一个数是另一个数的百分之几，是倍比关系，不能带单位。看见百分数，要立刻寻找“单位‘1’”和“比较量”。▲学科方法：情境抽象法。将生活语言（盈利、上涨、海底深度）迅速转化为数学符号（+、、%）是解决问题的第一步。任务二：深化理解——在数轴与线段图上“看见”关系  教师活动：“理解了本质，我们请出两位‘作图高手’来帮忙可视化。”第一，出示动态数轴，请学生标出2，0，+3，并比较2和5的大小。“在数轴上，从左到右数越来越大，这个规则对负数管用吗？”第二，出示问题：“一本书原价50元，现打八折出售，便宜了百分之几？”引导学生画线段图：将原价作为单位“1”线段，标出现价对应部分。“便宜的部分对应的是百分之几？这个百分之几是谁和谁比的结果？”对比强调：数轴直观展示数的大小和位置；线段图直观展示整体与部分、比较量与单位“1”的关系。  学生活动：在任务单上或板演数轴标数，解释负数大小比较的规则。尝试画线段图分析打折问题，指出图中每一部分对应的具体数量和百分比。体会图形工具对理清数量关系的辅助作用。  即时评价标准：1.数轴标点是否准确，负数比较理由陈述是否基于数轴特性。2.线段图绘制是否规范，能否清晰标注原价、现价、折扣、便宜部分与对应百分比。  形成知识、思维、方法清单：★所有正数、负数、0都可以在数轴上找到对应点。数轴上，右边的数总比左边的数大。这是比较有理数大小的根本法则。★线段图是分析百分数问题的利器，关键在于准确确定并表示“单位‘1’”。▲易错点：比较负数大小时易受正数比较经验干扰，认为数字部分大的就大。▲学科思想：数形结合。把抽象的数与具体形象的图形结合起来，是数学中非常重要的思考方法。任务三：建立关联——当“增减变化”遇到“相反意义”  教师活动：抛出核心关联问题：“如果一支股票周一上涨10%，我们记作‘+10%’；周二下跌10%，可以记作‘10%’。那么两天后，股价变回原价了吗？为什么？”组织小组探究。教师搭建脚手架：“假设原价是a元，周一上涨后是多少元？以谁为新基准？周二的‘下跌10%’又是以谁为基准？”引导学生列式计算：a×(1+10%)×(110%)=0.99a。“看，虽然涨跌百分比的绝对值相同，但因为‘单位1’变了，所以结果不是回到原点，而是减少了。这里的‘+10%’和‘10%’能直接相加得0吗？”  学生活动：小组合作，在教师引导下进行探究。尝试用字母表示原价，分步计算。通过计算发现结果并非a，引发认知冲突，深入讨论原因。理解“增减百分比”是针对不同基准而言，不能直接进行正负抵消的运算。  即时评价标准：1.能否清晰表述每一步计算的实际意义。2.能否理解“基准变化”是导致不能直接抵消的关键。3.小组讨论是否全员参与，能否形成统一、正确的结论。  形成知识、思维、方法清单：★核心原理：连续变化（增减百分比）问题，每次变化的基准（单位‘1’）都在改变。这是此类问题的核心难点与关键。▲重要模型：增长/减少n%可统一建模为：现量=原量×(1±n%)。★思维难点：区分“变化幅度（百分比）”与“变化的具体量”。10%≠0.1a，除非基准固定。▲教学提示：此处务必慢下来，让学生“说”清楚每一步的“单位1”是谁。任务四：综合建模——解决复合情境问题（利润与亏损）  教师活动：呈现综合问题：“一家商店同时卖出两件商品，每件售价均为120元。其中一件盈利20%，另一件亏损20%。这次买卖总体是盈利还是亏损，具体金额是多少？”引导分析：“‘盈利20%’是什么意思？（成本是单位1，售价比成本多20%）‘亏损20%’呢？售价都是120元，但对应的成本一样吗？”指导学生用方程或算术法分别求出两件商品的成本。设盈利商品成本为x元，则x×(1+20%)=120；设亏损商品成本为y元，则y×(120%)=120。分别解得x=100，y=150。总成本100+150=250元，总售价120×2=240元，比较后得出亏损10元。  学生活动：独立思考，尝试解题。在教师引导下，明确“盈利/亏损百分率”都是相对于成本（单位“1”）而言。通过列方程或算术式，分别求出两件商品的成本。计算总成本与总售价，进行比较判断，得出结论。  即时评价标准：1.能否正确判断盈利和亏损情况下的单位“1”。2.能否根据售价和盈利率/亏损率正确列出关系式。3.计算过程是否准确，最终结论是否完整（判断盈亏并算出具体数额）。  形成知识、思维、方法清单：★核心应用：在经济问题中，利润率=(售价成本)÷成本×100%，成本常作为单位“1”。★解题策略：面对复合情境，要“化整为零”，分解为几个基本问题（分别求成本）后再“合零为整”（比较总收支）。▲易错点：误将售价当作单位“1”，或误认为盈利和亏损的百分率相同就能抵消。▲模型进阶：此题为典型“一盈一亏”模型，可总结规律：当两件商品售价相同，盈利率和亏损率也相同时，必定总体亏损，因为亏损商品的成本更高。任务五：灵活应用——税率、利率中的正负与百分数  教师活动：拓展到更广泛的应用场景。“国家规定，个人月收入超过5000元的部分需要缴纳个人所得税，这是一种税率应用。而将钱存入银行，银行会支付利息，这涉及利率。它们和百分数什么关系？”出示简化例题：“李叔叔得到一笔5000元的稿费，按国家规定需缴纳20%的个人所得税，他税后实际得到多少元？”再出示：“爸爸将10000元存入银行，定期一年，年利率1.5%。到期后他能取回多少？（利息税暂不计）”引导学生辨析：纳税是“收入的一部分上缴”，计算的是“缴纳的税额”，需从总收入中减去；获得利息是“本金的增值”，需加到本金中。虽然运算一减一加，但都基于百分数的乘法模型。  学生活动：阅读新情境，理解税率和利率的概念。独立或协作完成两个例题的计算。对比两个问题，思考其异同：虽然一个导致收入减少，一个导致资金增加，但核心都是求一个数的百分之几是多少，再与原有量进行相加或相减的综合运算。  即时评价标准：1.能否准确理解税率、利率在具体情境中的含义。2.解题步骤是否完整（先算税额/利息，再算最终金额）。3.能否概括出纳税和计息问题的共性数学模型。  形成知识、思维、方法清单：★拓展应用：应纳税额=应纳税收入×税率；利息=本金×利率×存期。★社会连接：百分数是连接数学与财经、社会生活的桥梁，理解这些概念是未来公民的基本素养。▲方法贯通：无论结果导致总量增加还是减少，解决问题的第一步都是利用百分数乘法模型求出“变化部分”，第二步再进行总量的加减运算，思路清晰。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生根据自我评估选择完成至少两个层次。  1.基础层（全员必做）：(1)在数轴上标出3.5,0,2,1，并比较大小。(2)一款电视机原价4000元，五一促销降价15%，现价多少元？(3)如果向南走50米记作+50米，那么30米表示什么？  2.综合层（鼓励完成）：(1)某村去年粮食产量为20万吨，今年比去年增产一成五。今年产量是多少万吨？(2)王老师出版一本专著获得稿费8000元，按规定超过4000元的部分需缴纳14%的个人所得税，王老师税后稿费是多少？  3.挑战层（学有余力选做）：某商场以相同的价格售出两台不同的风扇，其中一台盈利25%，另一台亏损25%。若这两台风扇的售价均为150元，请问商场在这笔交易中是盈利还是亏损？具体是多少元？（提示：此题是任务四的变式，可对比思考）  反馈机制：完成后，小组内交换批改基础层和综合层题目，教师巡视指导。挑战题请有思路的学生上台讲解，教师点评思路亮点，强调寻找不变量（售价相同）和分析不同量（成本不同）。展示典型错误（如直接将25%和25%相加），组织学生辨析错误根源。第四、课堂小结  1.知识整合：“同学们，今天我们完成了一次深度的知识旅行。谁能用一句话概括负数的核心？百分数的核心？（生答）当它们交织在一起时，我们最需要关注什么？（基准/单位‘1’的变化）”请学生尝试在笔记本上画出本节课的知识结构图，可以将“负数”和“百分数”作为两个主干，延伸出它们的意义、表示方法、应用实例，并用箭头标出在综合问题中它们是如何关联的。  2.方法提炼：“回顾我们解决问题的过程，有哪些好用的‘法宝’？（数轴、线段图、字母表示数、方程模型）面对复杂问题，我们的通用策略是什么？（分解问题、厘清每一步的单位‘1’、正逆向思考相结合）”  3.作业布置与延伸：“今天的作业是‘自助餐’式的：必做部分是完成学习任务单上的基础巩固题；选做A餐是寻找生活中涉及负数和百分数的两个实例，记录下来并尝试编一道小题；选做B餐是深入思考：如果先降价20%，再涨价20%，最终价格和原价相比如何？为什么？下节课我们将分享大家的发现，并进入下一个专题的复习。”六、作业设计  基础性作业（全体必做）：  1.填空：（1）如果电梯上升5层记作+5层，那么下降3层记作（）层。（2）九折就是原价的（）%，比原价便宜了（）%。（3）在8、0、+1.5、0.3中，最大的数是（），最小的数是（）。  2.解决问题：（1）张伯伯将20000元存入银行，定期三年，年利率2.75%。到期时他能得到利息多少元？（不计利息税）（2）一本故事书原价25元，书店打八八折出售，现价多少元？  拓展性作业（大多数学生可完成）：  请你做一回“家庭财务小调查”：了解你家某个月的一项收支情况（如父母工资收入、某项大额支出），尝试用正负数记录收支。再调查一件商品近期价格变化（可通过网络或询问家长），用百分数描述其涨跌幅度。将你的调查结果和简要分析写成一份不超过200字的“数学小报告”。  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：  研究“恩格尔系数”与生活水平的关系。恩格尔系数=（家庭食品支出总额÷家庭消费支出总额）×100%。请查阅资料，了解恩格尔系数的不同区间分别代表什么生活水平（如贫困、小康、富裕）。尝试设计一个虚拟家庭的收支数据，计算其恩格尔系数，并判断该家庭的大致生活水平。思考：这个系数为什么用百分数表示？它反映了百分数在社会科学中怎样的应用价值？七、本节知识清单及拓展  ★1.负数的本质：表示一对具有相反意义的量。0是正数与负数的分界点，既不是正数也不是负数。理解负数必须结合具体情境。  ★2.数轴与负数大小：所有的正数、负数和0都可以在数轴上用点表示。在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。因此，负数比较大小时，看其在数轴上的位置，右边的数总比左边的大，例如2>5。  ★3.百分数的本质：表示一个数是另一个数的百分之几。它表示的是两个量之间的倍比关系，因此百分数后面不能带单位名称。  ★4.百分率的标准模型：求一个数A是另一个数B的百分之几：A÷B×100%。求一个数B的百分之几（n%）是多少：B×n%。已知一个数的百分之几（n%）是A，求这个数：A÷n%。  ▲5.常见百分率公式：折扣率=（现价÷原价）×100%；成数：几成就是十分之几，也就是百分之几十；增长率=（增长量÷原基期量）×100%；利润率（销售）=（售价成本）÷成本×100%。  ★6.连续变化模型（难点）：连续增/减n%，m%…现量=原量×(1±n%)×(1±m%)×…。关键在于每次运算的“单位1”都发生了变化，因此增减百分比不能直接相加减。  ▲7.利润与亏损问题模型：售价、成本、利润率三者关系：售价=成本×(1+利润率)（盈利时）；售价=成本×(1亏损率)（亏损时）。解决“一盈一亏”类综合问题的关键是分别设未知数求出两件商品的成本。  ★8.应纳税额计算：应纳税额=应纳税所得额×适用税率。解题时需先确定应纳税的“部分”是多少。  ★9.利息计算：利息=本金×利率×存期。本息和=本金+利息。  ▲10.核心思想方法：数形结合（用数轴、线段图辅助分析）；模型思想（将生活问题抽象为“求一个数的百分之几是多少”等数学模型）；转化思想（将折扣、成数、增长率等统一转化为百分数问题处理）。八、教学反思  （一）目标达成度分析与证据  从课堂练习反馈和小组讨论表现来看，大部分学生较好地达成了知识目标与基础能力目标，能够独立解决单一情境下的负数应用和百分数基本问题。在“当堂巩固”的综合层题目完成情况中，约七成学生能正确分析并解答，表明对核心概念的综合理解基本到位。情感目标在生活化情境导入和“家庭财务小调查”作业的积极反响中得到体现，学生表现出较高的参与兴趣。然而，科学思维目标与元认知目标的完全达成更具挑战性。在挑战题讨论中，仅有少数学生能自觉、流畅地运用“基准变化”原理进行解释，多数学生仍需教师或同伴的提示引导。这提示我在后续教学中，需设计更多元认知提问环节，如“你最初是怎么想的？为什么后来改变了？”“解决这个问题，最关键的一步是什么？”，将思维过程显性化作为常规训练。  （二）教学环节有效性评估  导入环节以“家庭账本”和“股票涨跌”设疑，成功制造了认知冲突，迅速聚焦了本课核心难点，激发了探究欲。新授环节的五个任务，逻辑链条清晰，从本质梳理到工具运用，再到关联建立和综合建模，基本实现了思维的层层进阶。其中，“任务三：建立关联”是承上启下的关键节点，此处的探究与讨论时间分配充足，通过计算发现“0.99a”的结果，对学生冲击力强，教学效果显著。但反思“任务五：灵活应用”，将税率和利率问题并列呈现虽有利于对比，但内容略显密集，部分基础薄弱学生可能消化不及。或许可将其拆分为两个微任务，或移至巩固练习中作为拓展例题处理。  （三）学生表现的差异化剖析  课堂观察可见明显的分层：A层（学优生）在任务三、四中表现活跃，能提出见解并主导小组讨论，在挑战题上有探索热情。B层（中等生）能紧跟教学节奏，在脚手架（如图示、分步引导）的帮助下能顺利完成任务，是课堂的主体受益者。C层（学困生）在理解负数与百分数本质、绘制线段图等环节存在困难，易在“单位1”的识别上反复出错。针对C层，本节课采取的策略是“同伴互助”与“教师个别巡视指导”，虽然有一定效果，但缺乏