陕西省西安高新逸翠园初级中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题（原卷版+解析版）

西安市高新逸翠园中学2025-2026学年度第一学期八年级期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列各数中．是无理数的是（）A. B. C. D.2.下列各组数中，是“勾股数”的是（）A2，3，5 B.0.3 C.5，6，8 D.8，15，173.如图，已知，，则的度数（）A. B. C. D.4.有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（）A.这组数据的下四分位数是4B.这组数据的中位数是10C.这组数据上四分位数是15D.被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是135.若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（）A. B. C. D.6.一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.7.下列命题是真命题的是（）A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.带根号的数一定是无理数C.如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行D.平方根和立方根都等于它本身的数为08.如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（）A. B. C. D.9.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为（）A. B. C. D.10.如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（）A. B. C. D.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11.若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______．12.若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为______．13.如图，，则数轴上点B所表示的数是____________14.已知关于x，y的二元一次方程组，且x，y满足，则k的值为_______．15.如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，若，则的长为___________．三、解答题（共10小题，满分75分）16计算：17.解二元一次方程组：（1）（2）18.如图，已知，用尺规在上确定一点，使．19.如图，在平面直角坐标系中．的三个顶点分别为点，，．（1）在图中作出关于轴对称的图形，点、、分别与点、、对应；（2）求的面积．20.如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．（1）求证：；（2）若，，求的度数．21.2023年12月4日是我国第10个“国家宪法日”，为推动广大学生树立宪法意识、增强法制观念，11月底，全国青少年普法网举办了全国学生“学宪法讲宪法”活动，某中学为了了解九年级学生的答题情况，随机抽取了部分学生的成绩，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图．所抽取该校九年级学生“学宪法讲宪法”活动测试成绩统计图（1）补全两幅统计图；（2）本次抽查学生成绩的众数是______，中位数是______；（3）该校九年级学生有1200人，全部参加考试，请估计该校九年级学生在测试中不低于80分的学生有多少人？22.某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象．（1）求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式；（2）当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标；（3）当时，问大巴车从学校出发后经过多长时与小轿车相距？23.开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元．（1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？（2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？24.如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点，轴于点．（1）求点和点的坐标；（2）求直线的函数表达式；（3）在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．25.如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______．【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”．是“对称线”，，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值．【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由．西安市高新逸翠园中学2025-2026学年度第一学期八年级期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列各数中．是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义逐一判断即可，掌握无理数的定义是解题的关键．【详解】解：A、∵是无理数，∴也是无理数，故选项符合题意；B、是分数，属于有理数，故选项不符合题意；C、是有限小数，属于有理数，故选项不符合题意；D、，是有理数，故选项不符合题意；故选：A．2.下列各组数中，是“勾股数”的是（）A.2，3，5 B.0.3 C.5，6，8 D.8，15，17【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股数．勾股数必须是三个正整数，且满足．直接验证各选项是否同时满足这两个条件即可．【详解】解：勾股数需正整数且满足．A．，所以不是勾股数．B．0.3,0.4,0.5不是正整数，所以不是勾股数．C．，所以不是勾股数．D．，且均为正整数，所以是勾股数．故选：D．3.如图，已知，，则的度数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．先由得到，从而得到，进而得到的度数．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴．故选：B．4.有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（）A.这组数据的下四分位数是4B.这组数据的中位数是10C.这组数据的上四分位数是15D.被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13【答案】B【解析】【分析】本题考查中位数，以及数字变化，属于中档题．根据题意逐一分析即可．【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意；箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意；箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意；箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意．故选：B．5.若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查坐标与图形的关系，正确理解坐标系上点的性质是解题的关键．由于平行于y轴，点M和点N的x坐标相同；根据和点M的坐标，可求出点N的y坐标；再结合点N在第四象限，据此求解即可．【详解】解：轴点N的横坐标与点M的横坐标相同，即，即或或又点N在第四象限且点的坐标为．故选：B．6.一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定．【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意；B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意；C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意；D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意；故选：B．7.下列命题是真命题的是（）A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.带根号的数一定是无理数C如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行D.平方根和立方根都等于它本身的数为0【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了真假命题，包括三角形外角，无理数，平行线的判定，平方根和立方根等内容，解题的关键是掌握相关性质和定义．利用三角形外角性质，无理数，平行线的判定，平方根和立方根等性质和定义逐项进行判断即可．【详解】解：A、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，该选项是假命题，不符合题意；B、带根号的数不一定是无理数，比如，该选项是假命题，不符合题意；C、在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，该选项是假命题，不符合题意；D.平方根和立方根都等于它本身的数为0，该选项是真命题，符合题意．故选：D．8.如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标．【详解】解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，∴，∴，∵与关于所在直线对称，∴，∵，∴，∵点在y轴负半轴，∴点的坐标为，故选：B．9.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：根据题意可得：，故选：A．10.如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出BE的长，然后分①点P在BE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可；②点P在BC上时，根据S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在DC上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系．【详解】解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3，∴BC=AD=2，AB=DC=5，∵AE=3，∴BE=AB-AE=5-3=2，①点P在BE上时，，∴y=x（0＜x≤2），②点P在BC上时，S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP，；③点P在DC上时，△DPE的面积，故选C．【点睛】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11.若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解．【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式，，解得故答案为：．12.若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．【详解】解：直线向上平移2个单位长度，平移后的直线解析式为：．平移后经过，．故答案为：．13.如图，，则数轴上点B所表示的数是____________【答案】##【解析】【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确理解相关知识点是解题关键．根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果．【详解】解：如图，，，，，，，，则数轴上点所表示的数是，故答案为：．14.已知关于x，y的二元一次方程组，且x，y满足，则k的值为_______．【答案】4【解析】【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，根据，得：，据此即可求解．【详解】解：得：∵，∴，∴．故答案为：．15.如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，若，则的长为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键，作，证明，求出，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：作，垂足为，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得，∴，∵，，∴，解得；故答案为：．三、解答题（共10小题，满分75分）16.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值的意义，负整数指数幂，先算绝对值和负整数指数幂，再根据二次根式的混合运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键．详解】解：．17.解二元一次方程组：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．（1）利用加减消元求解即可；（2）利用加减消元求解即可．【小问1详解】解：，由②得：，由得：，解得：，将代入①得：，解得：，∴原方程组的解为：；【小问2详解】解：将原方程组整理得：，由得：，解得：，将代入①得：，解得：，∴原方程组的解为：．18.如图，已知，用尺规在上确定一点，使．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查的是基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可知，作的垂直平分线，与的交点即为点．【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求．连接，∵由作图得，点在的垂直平分线上，∴．∵，∴．19.如图，在平面直角坐标系中．的三个顶点分别为点，，．（1）在图中作出关于轴对称的图形，点、、分别与点、、对应；（2）求的面积．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】本题考查了网格对称作图及坐标对称规律，掌握轴对称作图的方法及坐标对称规律是解题的关键．（1）分别作出点、、的对称点、、，顺次连接即可得；（2）利用割补法求面积即可．【小问1详解】解：如图，作出关于x轴对称的图形，∴是所求作图形；【小问2详解】解：的面积．20.如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出解答．（1）根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义得出，进而利用平行线的判定解答即可；（2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可．【小问1详解】证明：，，平分，，，，，，；【小问2详解】解：，，，，，，．21.2023年12月4日是我国第10个“国家宪法日”，为推动广大学生树立宪法意识、增强法制观念，11月底，全国青少年普法网举办了全国学生“学宪法讲宪法”活动，某中学为了了解九年级学生的答题情况，随机抽取了部分学生的成绩，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图．所抽取该校九年级学生“学宪法讲宪法”活动测试成绩的统计图（1）补全两幅统计图；（2）本次抽查学生成绩的众数是______，中位数是______；（3）该校九年级学生有1200人，全部参加考试，请估计该校九年级学生在测试中不低于80分的学生有多少人？【答案】（1）见解析（2）90，85（3）792【解析】【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握中位数、众数的求法是解题的关键．（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出90分学生的人数，再补全条形统计图；（2）利用中位数、众数的求法，直接求值即可；（3）先计算抽样学生中成绩不低于80分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．【小问1详解】解：∵抽样学生中成绩为80分的有8人，占抽样学生数的，∴本次抽样人数为：（人），∴抽样学生中成绩为90分的有：（人），补全条形统计图如下：【小问2详解】解：该组数据中，90分出现的次数最多，∴众数是90，把该组数据按从小到大的顺序排列后，第25、26个数都是80，90，∴该组数据的中位数是，∴所调查学生测试成绩，众数为90，中位数为85，故答案为：90，85；【小问3详解】解：由扇形图知，抽样学生中成绩不少于80分的占：，∴该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：（人），∴该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有792人．22.某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象．（1）求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式；（2）当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标；（3）当时，问大巴车从学校出发后经过多长时与小轿车相距？【答案】（1）（2）（3）当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距20km【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键；（1）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，（2）再把代入解答即可；（3）得出直线的解析式，结合，再根据题意分情况列方程求解即可；【小问1详解】解：设直线的解析式是，把，代入解析式得：，解得：，则直线的解析式是：，【小问2详解】直线的解析式是：，当时，；则点坐标为：；【小问3详解】解：设直线的函数解析式为：，将代入函数解析式，可得：，解得：，即直线的函数解析式为：，当，解得：；当，解得：；当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距．23.开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元．（1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？（2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？【答案】（1）修正带进价为8元/个，笔袋进价为10元/个（2）元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，根据已知信息列式并正确解答是解题的关键．（1）设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解．（2）设文具店修正带进货量为个，总利润为元，根据题意，列出w与t之间的函数关系，结合一次函数的性质以及t的取值范围，可知当时，w有最大值．【小问1详解】解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个，根据题意，可得，解得．答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个．【小问2详解】解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元，则，，随着的增大而减少，又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即，当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元．答：该文具店总利润的最大值是3650元．24.如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点，轴于点．（1）求点和点的坐标；（2）求直线的函数表达式；（3）在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）（3）或或或【解析】【分析】（1）把代入可得点的坐标，把代入可得点的坐标；（2）根据待定系数法可求得直线的函数表达式；（3）分三种情况：①当点为等腰的顶点，即时；②当点为等腰的顶点，即时；③当点为等腰的顶点，即时，分别进行讨论即可．【小问1详解】解：∵直线与轴交于点，∴当时，，解得：，∴，∵点在直线上，∴当时，，∴，∴．∴点的坐标为，点的坐标为．【小问2详解】设直线的函数表达式为，∵点和点在直线上，∴，解得：，∴直线的函数表达式为．【小问3详解】∵，轴于点，∴，又∵，∴，，∴，①当点为等腰的顶点，即时，则点与点重合，∴此时点的坐标为；②如图，当点为等腰的顶点，即时，∵，，∴此时点的坐标为或；③当点为等腰的顶点，即时，∵，，∴为的中点，即．∵，，∴此时点的坐标为．综上可