数理统计考试卷及答案

数理统计考试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服从（）A.\(N(\mu,\sigma^2)\)B.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)C.\(N(n\mu,\sigma^2)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)2.设总体\(X\)的概率密度为\(f(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的一个估计量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，则称\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）A.无偏估计量B.有效估计量C.一致估计量D.极大似然估计量3.样本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)的自由度是（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(n-2\)D.\(n+1\)4.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，检验假设\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)，采用的检验统计量是（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)5.在假设检验中，显著性水平\(\alpha\)的意义是（）A.原假设\(H_0\)成立，经检验被拒绝的概率B.原假设\(H_0\)成立，经检验不能被拒绝的概率C.原假设\(H_0\)不成立，经检验被拒绝的概率D.原假设\(H_0\)不成立，经检验不能被拒绝的概率6.设总体\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)是来自总体\(X\)的样本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)是来自总体\(Y\)的样本，且两个样本相互独立，当\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)未知时，检验假设\(H_0:\mu_1=\mu_2\)，\(H_1:\mu_1\neq\mu_2\)，采用的检验统计量是（）A.\(Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\)B.\(t=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)7.设总体\(X\)的分布函数为\(F(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\theta\)的极大似然估计量一定是（）A.无偏估计量B.有效估计量C.似然函数的驻点D.以上都不对8.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\overline{X}\)和\(S^2\)分别是样本均值和样本方差，则\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\)（）A.\(N(0,1)\)B.\(t(n-1)\)C.\(\chi^2(n-1)\)D.\(F(n-1,n)\)9.设总体\(X\)的数学期望为\(\mu\)，方差为\(\sigma^2\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则样本均值\(\overline{X}\)的数学期望\(E(\overline{X})\)为（）A.\(\mu\)B.\(\frac{\mu}{n}\)C.\(n\mu\)D.\(\mu^2\)10.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，检验假设\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\gt\mu_0\)，采用的检验统计量是（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)答案：1.B2.A3.B4.A5.A6.B7.C8.C9.A10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些是总体参数的常用估计方法（）A.矩估计法B.极大似然估计法C.最小二乘法D.顺序统计量法2.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则（）A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)D.\(\overline{X}\)与\(S^2\)相互独立3.在假设检验中，可能犯的错误有（）A.第一类错误B.第二类错误C.第三类错误D.第四类错误4.以下关于样本均值\(\overline{X}\)和样本方差\(S^2\)的性质正确的有（）A.\(E(\overline{X})=E(X)\)B.\(D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}\)C.\(E(S^2)=D(X)\)D.\(S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)5.设总体\(X\)的分布函数\(F(x)\)含有未知参数\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的估计量，若\(\hat{\theta}\)满足（），则称\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的无偏估计量。A.\(E(\hat{\theta})=\theta\)B.\(\lim_{n\to\infty}E(\hat{\theta})=\theta\)C.\(D(\hat{\theta})\ltD(\hat{\theta}_1)\)（\(\hat{\theta}_1\)是\(\theta\)的另一个估计量）D.\(\lim_{n\to\infty}P\{|\hat{\theta}-\theta|\lt\varepsilon\}=1\)（\(\forall\varepsilon\gt0\)）6.对于正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的参数检验，以下说法正确的是（）A.当\(\sigma^2\)已知时，检验\(\mu\)用\(Z\)检验B.当\(\sigma^2\)未知时，检验\(\mu\)用\(t\)检验C.检验\(\sigma^2\)用\(\chi^2\)检验D.两正态总体均值差的检验，当方差未知但相等时用\(t\)检验7.以下哪些属于统计量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(X_{(1)}=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)（\(\mu\)，\(\sigma\)未知）8.设总体\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，两个样本相互独立，样本容量分别为\(n_1\)，\(n_2\)，样本均值分别为\(\overline{X}\)，\(\overline{Y}\)，样本方差分别为\(S_1^2\)，\(S_2^2\)，则（）A.\(E(\overline{X}-\overline{Y})=\mu_1-\mu_2\)B.\(D(\overline{X}-\overline{Y})=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\)C.当\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)时，\(S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\)D.\(\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\simF(n_1-1,n_2-1)\)9.以下关于点估计和区间估计的说法正确的是（）A.点估计是用一个数值估计总体参数B.区间估计是用一个区间估计总体参数C.区间估计能给出估计的精度和可靠性D.点估计比区间估计更准确10.设总体\(X\)的概率密度\(f(x;\theta)\)关于\(\theta\)可微，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的极大似然估计量，则\(\hat{\theta}\)满足（）A.\(\frac{\partial\lnL(\theta)}{\partial\theta}=0\)（\(L(\theta)\)是似然函数）B.\(L(\hat{\theta})\geqL(\theta)\)（\(\forall\theta\)）C.一定是无偏估计量D.一定是有效估计量答案：1.AB2.ABCD3.AB4.ABC5.A6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABC10.AB三、判断题（每题2分，共20分）1.样本均值\(\overline{X}\)是总体均值\(\mu\)的无偏估计量。（）2.若\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的无偏估计量，则\(D(\hat{\theta})\)越小，\(\hat{\theta}\)越有效。（）3.假设检验中，显著性水平\(\alpha\)越大，犯第一类错误的概率越小。（）4.总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，样本容量\(n\)固定，当置信水平\(1-\alpha\)提高时，总体均值\(\mu\)的置信区间长度变小。（）5.样本方差\(S^2\)是总体方差\(\sigma^2\)的无偏估计量。（）6.在参数估计中，极大似然估计一定是无偏估计。（）7.设总体\(X\)和\(Y\)相互独立，\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，则\(X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)。（）8.检验假设\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu