2025-2026学年河北省邢台市威县李寨中学九年级（上）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省邢台市威县李寨中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件2.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状.如图中飞机的俯视图是（）A.

B.

C.

D.4.如果一条抛物线的形状和开口方向与y=-2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式是（）A.y=2（x-4）2+2 B.y=-2（x-4）2-2 C.y=-2（x-4）2+2 D.y=-2（x+4）2-25.从-1，1，2这三个数中不重复地任取两个数分别作为a,b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有实数根的概率为（）A. B. C. D.6.节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天.下列说法错误的是（）A.若x=5，则y=100 B.若y=125，则x=4

C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍7.如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（）A.∠ACB=∠ACD

B.AC∥DE

C.AB=EF

D.BF⊥CE8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为（）

​​​​​​​A.

B.

C.

D.9.若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm,则该圆锥的底面圆的半径为（）A.9cm B.10cm C.11cm D.12cm10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.

B.

C.

D.11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′.若AC=4，CD=3，则线段CC′的长为（）A.

B.

C.4

D.

12.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）.下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n=-.其中所有正确结论的序号是（）

A.①② B.①③ C.①④ D.①③④二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.一元二次方程x2-1=0的根是

.14.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为

.

15.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，AD=3，CD=2，∠CBD=45°，则tan∠ACB的值为

.

16.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）.以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐标为

.

​​​​​​​三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题9分)

习题课上，数学老师展示了一道习题及两位同学错误的解答过程：解方程：x（x-3）=2（x-3）2.甲同学：

解：方程两边同时除以（x-3），

得x=2（x-3），…第一步

去括号，得x=2x-6.…第二步

移项、合并同类项，得x=6.…第三步乙同学：

解：移项，得x（x-3）-2（x-3）2=0.…第一步

分解因式，得（x-3）（x-2x-6）=0.…第二步

则x-3=0或x-2x-6=0，…第三步

解得x1=3，x2=-6.…第四步（1）分别写出甲同学、乙同学的解答过程中是从第几步开始出现错误的；

（2）请你写出正确的解答过程.18.(本小题9分)

某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.

（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；

（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.19.(本小题9分)

九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院.

游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y.若x=y,则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y,则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院.

（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x,y）所有可能出现的结果总数；

（2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P.20.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A=90°，点B在x轴上，AO=5，cosα=.

（1）求点A的坐标；

（2）求∠ABO的正切值；

（3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标.21.(本小题9分)

如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），双曲线与矩形的对角线OB交于点D，与AB、BC分别交于点E、F，且BC=4CF.

（1）求反比例函数解析式及点E的坐标；

（2）连接AD，求△OAD的面积.22.(本小题9分)

【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离.

【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等.

【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（AB与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？

乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使CD与河岸平行，且∠DCB=90°，经测量CD=20m,∠ADB=82°，∠BDC=45°.

【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离.（结果精确到0.1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【交流讨论】（2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使CD与河岸平行，且∠DCB=90°，测量出DC=am,DE=bm,∠D=α，即可计算出AB的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性.

23.(本小题9分)

如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A（-2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE=2ED时，求P点坐标；

（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.24.(本小题9分)

如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC=∠B.理由如下：∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∴∠CAB+∠B=90°

∵PA与⊙O相切于点A

∴PA⊥AB

∴∠PAB=90°

∴∠CAB+∠PAC=90°

∴∠PAC=∠B

（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC=∠B仍然成立，请说明理由；

（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2=PC•PB.请你替小明证一证；

（3）拓展应用：如图丙，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，∠AOB=150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】x=±1

14.【答案】

15.【答案】4

16.【答案】（-10，）

17.【答案】甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的；乙同学的解答过程是从第二步开始出现错误的

x1=3，x2=6，正确解答：

x（x-3）=2（x-3）2，

移项得x（x-3）-2（x-3）2=0，

分解因式得（x-3）[x-2（x-3）]=0，

化简整理得（x-3）（-x+6）=0，

于是得x-3=0或-x+6=0，

解得x1=3，x2=6

18.【答案】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,

根据题意得：125（1-x）2=80，

解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）．

答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；

（2）设购进y件甲种商品，则购进（100-y）件乙种商品，

根据题意得：（125-25×2）y+80（100-y）≤7800，

解得：y≥40，

∴y的最小值为40．

答：最少购进40件甲种商品．

19.【答案】见解析；

．

20.【答案】解：（1）过点A作AN⊥OB于点N，

则cosα==，

则ON=3，

则AN==4，

则点A的坐标为：（3，4）；

（2）由（1）知，tanα=，

∵∠AOB+∠B=90°，

则tan∠ABO=；

（3）如下图，延长BC交y轴于点C，

由（2）知，tan∠ABO=，

在Rt△OAB中，cosα==，

则OB=，

则tan∠ABO===，

解得：OC=，

即点C（0，）．

21.【答案】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），BC=4CF，

∴点F（1，2），代入y=得，2=，

∴k=2，

∴反比例函数的表达式为y=，

由图知E点横坐标为4，

∴纵坐标为y==，

∴E点坐标为（4，）；

（2）设直线OB：y=mx,将B（4，2）代入得，2=4m,

解得：m=，

∴直线OB的表达式为y=x,

联立得：，

解得x=±2，

∴xD=2，

∴yD=1，

∴S△OAD=×4×1=2．

22.【答案】35m．

（-a）m．

23.【答案】解：（1）把B（3，m）代入y=x+2得：m=3+2=5，

∴B（3，5），

把A（-2，0），B（3，5）代入y=-x2+bx+c得：

，

解得，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8；

（2）设P（t,-t2+2t+8），则E（t,t+2），D（t,0），

∵PE=2DE，

∴-t2+2t+8-（t+2）=2（t+2），

解得t=1或t=-2（此时P不在直线AB上方，舍去）；

∴P的坐标为（1，9）；

（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：

过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图：

在y=-x2+2x+8中，令y=0得0=-x2+2x+8，

解得x=-2或x=4，

∴A（-2，0），C（4，0），

∴AC=6，

∵B（3，5），

∴S△ABC=×6×5=15，

设M（m,-m2+2m+8），则K（m,m+2），

∴MK=|-m2+2m+8-（m+2）|=|-m2+m+6|，

∴S△ABM=MK|xB-xA|=|-m2+m+6|×5=|-m2+m+6|，

∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，

∴|-m2+m+6|=×15，

∴|-m2+m+6|=3，

∴-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3，

解得m=或m=，

∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．

24.【答案】（1）解：如图所示，连接OA，OC，如图，

∵PA与⊙O相切于点A，

∴PA⊥OA，

∴∠PAO=90°，

∴∠CAO+∠PAC=90°，

∴2∠CAO+2∠PAC=180°．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，

∴∠AOC+2∠OAC=180°，

∴∠AOC=2∠PAC，

又∵∠AOC=2∠ABC，

∴∠PAC=∠B；

（2）证明：由（1）可得：∠PAC=∠B，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PBA，

∴，

∴PA2=PB•PC；

（3）解：∵∠BAC=45°，

∴∠BOC=2∠BAC=90°，

∵⊙O的半径为1，

∴OA=OB=OC=1，

在Rt△BOC中，

由勾股定理得：；

∵∠AOB=150