2025-2026学年北京市第一五九中学九年级上册期中数学试卷 附答案

/北京市第一五九中学2025−2026学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（

）A． B．C． D．2．二次函数图象的顶点坐标是（

）A． B． C． D．3．如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（

）．A． B． C． D．5．方程的根的情况是（）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根C．没有实数根 D．无法判断6．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（

）A． B．C． D．7．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（

）．A．2 B．4 C．6 D．88．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（）

A． B．当时，C．当时， D．当时，二、填空题9．若关于的方程的一个根为2，则的值为．10．若点与点关于原点对称，则点的坐标为．11．如图，的半径为10，为弦，，垂足为，如果，那么的长是．12．点，在抛物线上，则.（填“＞”“＜”或“＝”）13．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是．14．如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=．15．若x=a是一元二次方程的一个实数根，那么代数式=．16．小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．解方程（1）（2）．18．已知二次函数．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象：（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________．19．下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：及外一点P．求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．

作法：如图，①连接，作线段的垂直平分线，交于点Q；②以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B；③作直线和直线．所以直线和就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．∵是的直径，∴（）（填推理的依据）．∴．∵为的半径，∴是的切线（）（填推理的依据）．20．如图，点O、坐标分别为、，将绕O点按逆时针方向旋转到．（1）画出平面直角坐标系和；（2）直接写出点的坐标___________；（3）旋转到所围成的图形面积为___________．21．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．（1）求证：；（2）连接，若，求的度数．22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半径的长．23．已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求的最小整数值．24．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．九年级一名男生进行了两次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离035679竖直高度25根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则（填“>”“=”或“<”）．25．如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点，延长至点，使得，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）当时，比较m与n的大小，并说明理由；（2）若对于，都有，求b的取值范围．27．如图，在中，，，点在边上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．（1）求证：平分；（2）连接交于点，过点作，交的延长线于点．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2，（1）若点M的坐标为，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆O的特征值为___________；（2）直线分别与x，y轴交于点A，B，若线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得，直接写出点T的横坐标t的取值范围．

答案1．【正确答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意，B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意，C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意，D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意.故选B．2．【正确答案】A【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵，∴二次函数图象顶点坐标为.故答案为A.3．【正确答案】C【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解．【详解】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角，∴．故选C．4．【正确答案】A【分析】根据函数平移的规律上加下减，左加右减，即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，故选A．5．【正确答案】B【分析】把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵，，，∴，所以方程有两个不相等的实数根．故选B．6．【正确答案】A【分析】由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程．【详解】解：由题意可得：2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，所以．故选A．7．【正确答案】B【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×2=4．故选B．8．【正确答案】D【分析】根据已知，利用图象判断即可．【详解】解：如图，当时，当时，；

A、，本选项不符合题意；B、当时，，本选项不符合题意；C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意；D、当时，，本选项符合题意；故选D．9．【正确答案】【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得.10．【正确答案】【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．【详解】解：∵点与点关于原点对称，∴点.11．【正确答案】16【分析】本题考查勾股定理，垂径定理．连接，先由勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解．【详解】解：连接，∵的半径为10，∴，∵，∴在中，，∵为弦，，是半径，∴．故答案为∶16．12．【正确答案】＞．【分析】先化成顶点式，直接将点的坐标代入进行计算，再判断即可．【详解】∵y=x2-2x=（x-1）2-1，将，代入得到：=（-3-1）2-1=15，=（2-1）2-1=0，y1＞y2故答案为＞．13．【正确答案】（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为．∵抛物线开口向下，∴．∵抛物线与y轴的交点坐标为，∴．取，时，二次函数的解析式为．14．【正确答案】15°/15度【分析】根据旋转的性质可得，，，得到为等边三角形，即可求解．【详解】解：由旋转的性质可得，，，∴为等边三角形又∵为等腰直角三角形∴∴故答案为15．【正确答案】8【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】把代入得：，，．16．【正确答案】②④/④②【分析】由图象可知，对称轴为直线，则有，即可判断①④，图象与x轴有两个交点，则可判断③，当时，代入解析式可判断②．【详解】解：由图象得：，对称轴为直线，∴，，故④正确；∴，故①错误；由图象知当时，，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故③错误；综上所述：正确的有②④两个.17．【正确答案】（1），（2），【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．（1）运用因式分解法求解即可；（2）运用配方法求解即可．【详解】（1）解：，因式分解，得，∴或解得，．（2）解∶，移项，得，配方，得，即，所以，解得，．18．【正确答案】（1）（2）见详解（3）【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键．（1）抛物线变形为，可得顶点坐标；（2）列表，描点，连线即可；（3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围．【详解】（1）解：，∴顶点坐标为．（2）解：列表：X…01234…y…3003…描点并连线：（3）解：由题意，当时抛物线有最小值；当时，；当时，，由图象可知，当时，．19．【正确答案】（1）见详解（2）；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据题意，画出图形即可；（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论．【详解】（1）解：如下图即为所求；

（2）证明：∵是的直径，∴（直径所对的圆周角为直角）．∴，．∵，是的半径，∴，是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．20．【正确答案】（1）见详解（2）（3）【分析】本题考查作图−旋转变换，旋转的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据O点位置画出平面直角坐标系，分别作出A，B的对应点，，连线即可．（2）根据点的位置写出坐标即可．（3）旋转到所围成的图形为扇形，先求出的长，由旋转的性质得到，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：平面直角坐标系如图，即为所求．（2）解：由图可得点的坐标为．（3）解：如图，旋转到所围成的图形为扇形，由图可得，点A的坐标为，∴，由旋转可得，扇形的面积．21．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键．（1）根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，．求出，证即可；（2）求出，求出，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，由旋转的性质得：，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：如图，连接，由旋转得，，∴为等边三角形，∴，又∵，∴．22．【正确答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半径是．23．【正确答案】（1）见详解；（2）3【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号证明；（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根均为正数，列出不等式求出的范围，继而得到其最小整数值；【详解】解：（1）由题意，得△=，∴无论m取任何实数时，方程总有两个实数根．（2）∵，∴，．∵该方程的两个根均为正数，∴，∴．∵m取最小整数；∴．24．【正确答案】（1）最大高度，（2）>【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．（1）由表可知，当时和当时函数值相等，则该二次函数对称轴为直线，即当时，y取最大值5，得出，把代入求出a的值，即可得出函数表达式；（2）分别求出两次训练令y为0时，x的值，再比较大小即可．【详解】（1）解：由表可知，当时，，当时，，∴该二次函数对称轴为直线，即当时，y取最大值5，∴实心球竖直高度的最大值为，把顶点代入得：，把代入得：，解得：，∴；（2）解：第一次训练时，令，则，解得：（舍去），第二次训练时，令，则，解得：（舍去），∵，∴.25．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键．（1）由圆周角的性质可得，由等腰三角形的性质可证，可求，即可求解；（2）通过证明，可得，可求的长，即可求解．【详解】（1）证明：，，是直径，，，，∵，，，，，，是直径，是的切线；（2）解：，，，，，，，，，．26．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可；（2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出．由对于，都有，又可得出，两边平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可．【详解】（1）解：．理由：当时，抛物线解析式为，点，将代入，得：，，∴；（2）解：∵该函数解析式为，∴其图象开口向上，对称轴为直线，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．∵，∴点B在点A右侧．∵对于，都有，∴，∴当时，，即，解得：．∵对于，都有，∴，两边平方，得：，整理，得：，∴．综上可知．27．【正确答案】（1）见详解（2），见详解【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由旋转可得可得，然后“”可证，可得结论；（2）在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，由“”证明，，可得，，，由平行线的性质及等量代换可得，，即可得结论．【详解】（1）证明：，，即，在和中，，，，，，，平分；（2）解：，证明：如图，在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，，在和中，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，．28．【正确答案】（1），3（2）b的取值范围是或；（3）【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意，由此求解即可．【详解】（1）解：设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，∴，在中，由勾股定理得，∴当最大时，最小，即此时最小，∵点M的坐标为，∴，又∵，∴当点H与点M重合时，有最大值，∴此时有最小值，∴的最小值为∵过