2025-2026学年山东省潍坊市安丘市联盟校上册第二次学科素养考试八年级数学试卷 附答案

/山东省潍坊市安丘市联盟校2025−2026学年上学期第二次学科素养考试八年级数学试题一、单选题1．下列写法正确的是（

）A． B． C． D．2．在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（

）个．A． B． C． D．3．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．4．已知，，那么约为（

）A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.25．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（

）A． B． C． D．6．下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则的长为（

）A． B． C． D．8．如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（

）A．10 B．8 C．6 D．59．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（）A． B． C．且 D．或10．如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（

）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空题11．若不等式两边同除以，得，则的取值范围为12．设的小数部分是m，的整数部分是n，则的值是．13．三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建处．14．如图，在中，平分交于点于点E，且的周长为，则．15．如图，已知为等腰直角三角形，其中，，点C在线段AB上运动（不与点A、点B重合），当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形时，则AC的长为．三、解答题16．求的值或计算：（1）；（2）．（3）计算：17．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．18．已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点．19．如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为．（1）求这个魔方的棱长；（2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______．20．如图，，是的中点，平分，，，求的长．21．第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：；【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数；根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________；【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）．22．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．（1）求型、型两种机器人的单价；（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．23．【问题提出】如图1，通过拼摆两个含角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为，则它所对的直角边等于斜边的一半．通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？【思路启迪】从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？已知：如图，中，，，求证：．请在图中添加辅助线，将含的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图2、图3添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的．分类方法一（图2）方法二（图3）画图及描述【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明．【触类旁通】以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？（1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．”（2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由．

答案1．【正确答案】C【分析】本题主要考查了平方根的表示方法和意义，包括算术平方根、负平方根和平方根的区别，根据平方根的定义求解即可．【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；B、，原式错误，不符合题意；C、，原式正确，符合题意；D、，原式错误，不符合题意；故选；C．2．【正确答案】C【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可．【详解】解：是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；是整数，属于有理数；中是无理数，故属于无理数；，是整数，属于有理数；是整数，属于有理数；是无限循环小数，属于有理数；是开方开不尽的数，属于无理数；（每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数，无理数有、、（每两个之间依次多一个），共个，故选C．3．【正确答案】A【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．根据勾股定理逆定理即可判断A、D，根据三角形内角和定理即可判断B，C．【详解】解：A、由设，∴，而，∴，故不是直角三角形，本选项符合题意；B、，得，故是直角三角形，本选项不符合题意；C、由设，由三角形内角和定理可得：，∴，解得：，∴，故是直角三角形，本选项不符合题意；D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本选项不符合题意；．故选A．4．【正确答案】A【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算．【详解】解：∵，又∵，∴．故选A．5．【正确答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故不符合题意；D、，故符合题意；故选D．6．【正确答案】D【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式两边同时加减乘除一个大于零的数，不等号的方向不变，据此进行逐项判断即可．【详解】解：A、若，则，故A错误；B、取，，则，但，即，故B错误；C、当时，，则不成立，故C错误；D、由于，则，即，两边除以得，故D正确；故选D．7．【正确答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：，，，又和的平分线分别交于点、，，，，，，，．故选．8．【正确答案】B【分析】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，根据对等四边形对角线相等和点到直线垂线段最短即可求出长度的最小值．【详解】解：连接，如图所示：∵四边形为对等四边形，∴，∵当时最短，此时∵，，∴，∴，∴的长度的最小值为8．故选B．9．【正确答案】C【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解．【详解】解：分式方程去分母得，，解得，∵分式方程的解是非负数，∴，∴，又∵，即，∴，∴且，故选C．10．【正确答案】C【分析】结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案．【详解】解：和都是等腰三角形，，，，，即，在和中，，，，故①正确；，，中，，中，,，，故②正确；作交于点，交于点，，，即，，点在的角平分线上，即平分，故④正确；又，，故⑤正确；若③成立，则，由②⑤得，，，，，即，中，，中，，，，，，推出，由题意知，不一定等于，故③错误．综上，正确结论有①②④⑤．故选C．11．【正确答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．由不等式的基本性质知，据此可得答案．【详解】解：不等式两边同除以，得，，.12．【正确答案】2【分析】此题考查了实数的估算与计算能力，关键是能准确理解并运用相关知识．先确定出，的值，再通过计算求解此题．【详解】解：的整数部分是1，的小数部分是，即，的整数部分是2，即，.13．【正确答案】4/四【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．【详解】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，

∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处．14．【正确答案】【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，得到的周长等于是解题的关键．根据角平分线的性质可得，再利用“”证明可得，然后求出的周长等于即可．【详解】解：∵，平分，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴的周长，∵的周长为，∴．故答案为．15．【正确答案】或【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的相关知识，解题关键是分情况讨论等腰三角形的不同情况．分情况讨论以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形的情况，即三种情况，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理等知识求解的长度．【详解】解：当时，，，∴，当时，，，，，，，当时，C与A或B重合，此种情况不成立．∴当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形时，的长为或．16．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】本题考查了平方根解方程，立方根解方程，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，化简绝对值．（1）利用平方根解方程；（2）利用立方根解方程；（3）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：17．【正确答案】（1），见详解（2），最小整数解为，见详解【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可；（2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可．【详解】解：（1），去分母，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，数轴表示如下：（2），去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，数轴表示如下：则这个不等式的最小整数解为．18．【正确答案】见详解【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作．【详解】解：如图，等腰即为所作：19．【正确答案】（1）2（2）阴影部分的面积为2，边长为（3）或．【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；（3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解．本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x，则，解得：故这个魔方的棱长为2；（2）棱长为2，每个小立方体的棱长都是1，阴影部分；阴影部分正方形的边长为：；（3）正方形的边长为，点A与1重合，，动点E在点左边时，数轴上表示的数为：，动点E在点右边时，数轴上表示的数为.20．【正确答案】【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等角对等边，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．延长、交于，可证明，得，根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，得出，即可求解．【详解】解：如图，延长、交于F，，，，∵点E是的中点，，在和中，，，，，，，平分，∴，∴，∴．21．【正确答案】（）见详解；（）见详解；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜．【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（）用两种方法求正方形面积即可求证；（）分别求出，，，则有，从而求证；取，即可求解；（）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解．【详解】解：（）∵正方形的面积为，或，∴；（）∵，，，∴，∴，，是勾股数；取，，∴，，，∴勾股数为，，.（）∵是正整数且，∴要使勾股数最小则有，，∴最小勾股数为，，，∵最短的边长为米，∴直角三角形三边为米，米，米，则这块菜园最少种植青菜（棵），答：这块菜园最少需要种植棵青菜．22．【正确答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元（2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键：（1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可；（2）设配备型机