《光学设计教程》-第2章

2.1概述在第1章中介绍了对光学系统两方面的要求，即光学特性和成像质量，并具体介绍了用哪些参数来表示这些要求；同时也介绍了光学系统结构参数的表示方法。设计一个光学系统就是在满足系统全部要求的前提下，确定系统的结构参数。在光学自动设计中，我们把对系统的全部要求，根据它们和结构参数的关系不同而重新划分成两大类。第一类是不随系统结构参数改变的常数。如：物距L，孔径高H或孔径角正弦sinU，视场角ω或物高y，入瞳或孔径光阑的位置，以及轴外光束的渐晕系数K+，K−，…。在计算和校正光学系统像差的过程中，这些参数永远保持不变，它们是和自变量（结构参数）无关的常量。下一页返回2.1概述

第二类是随结构参数改变的参数。它们包括代表系统成像质量的各种几何像差或波像差。同时也包括某些近轴光学特性参数，例如焦距f′，放大率β，像距l′，出瞳距l′z，…。为了简单起见，今后我们把第二类参数统称为像差，用符号F1,…,Fm表示，系统的结构参数用符号,,x1…xn表示。两者之间的函数关系可用下列形式表示。上一页下一页返回2.1概述

式中f1,…，fm——像差,F1…Fm与自变量，x1…xn之间的函数关系。式（2−1）是一个十分复杂的非线性方程组，我们称其为像差方程组。上一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法2.2.1像差数大于自变量数的情形：m＞n这时方程组（2−4）是一个超定方程组，它不存在满足所有方程式的准确解，只能求它的近似解——最小二乘解。下面先介绍最小二乘解的定义。首先定义一个函数组ϕ(ϕ1,…,ϕm)，它们的意义如以下公式所示下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

取各像差残量的平方和构成另一个函数Φ(Δx)Φ(Δx)在光学自动设计中称为“评价函数”，能够使Φ(Δx)=0的解（即ϕ1=…=ϕm=0），就是像差线性方程组的准确解。当m＞n时，它实际上是不存在的。我们改为求Φ(Δx)的极小值解，作为方程组（2−4）的近似解，称为像差线性方程组的最小二乘解。因为评价函数Φ(Δx)越小，像差残量越小，就越接近我们的要求。将ϕ代入评价函数得上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

根据多元函数的极值理论，Φ(Δx)取得极小值解的必要条件是一阶偏导数等于零这是一个新的线性方程组，它的方程式的个数和自变量的个数都等于n。这个方程组称为最小二乘法的法方程组。下面我们运用矩阵运算和求导规则求方程组（2−6）的解的公式。有关矩阵运算和求导规则可参考本节末的附录。上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

运用矩阵求导规则求Φ(Δx)的一阶偏导数式（2−7）即为有n个方程式n个自变量的最小二乘法的法方程组。只要方阵ATA为非奇异矩阵，即它的行列式值不等于零，则逆矩阵(ATA)−1存在，方程式（2−7）有解，解的公式为上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

它就是评价函数中Φ(Δx)的极小值解，也就是像差线性方程组（2−4）的最小二乘解。这种求超定方程组最小二乘解的方法称为最小二乘法。要使ATA奇异，则要求方程组（2−4）的系数矩阵A不产生列相关，即像差线性方程组中不存在自变量相关。2.2.2当像差数小于自变量数的情形：m＜n在像差线性方程组中，当方程式的个数m小于自变量个数n时，方程组是一个不定方程组且有无穷多组解。这就需要从众多可能的解中选择一组较好的解。上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

我们选用解向量的模为最小的那组解，因为解向量的模越小，像差和自变量之间越符合线性关系，这就相当于在满足像差线性方程组的条件下，求的极小值解。从数学角度来说，这是一个约束极值的问题，即把像差线性方程组作为一个约束方程组，求函数的极小值。同时满足约束方程组上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

上述问题可以利用数学中求约束极值的拉格朗日乘数法求解。具体的方法是构造一个拉格朗日函数L拉格朗日函数L的无约束极值，就是Φ的约束极值。函数L中共包含Δx和λ两组自变量，其中Δx为n个分量，而λ为m个分量，共有m+n个自变量。根据多元函数的无约束极值条件为L=0，即上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

式（2−11）中实际上包含了n个线性方程式，而式（2−12）中包含了m个像差线性方程式，因此方程组（2−12）实际上是一个有m+n个方程式和m+n个自变量的线性方程组，可以进行求解。由式（2−11）求解Δx得将Δx代入式（2−12）得上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

由上式求解λ得将λ代入式（2−13），得到式（2−14）就是我们所要求的约束极值的解。解存在的条件是逆矩阵(AAT)−1存在，即AAT为非奇异矩阵，这就要求像差线性方程组的系数矩阵A不发生行相关，即不发生像差相关。用上面这种方法求解像差线性方程组的光学自动设计方法称为“适应法”。上一页下一页返回2.2光学自动设计中的最优化方法

当像差数m等于自变量数n时，像差线性方程组有唯一解，系数矩阵A为方阵，以下关系成立代入公式（2−14）得显然上式就是像差线性方程组的唯一解。因此式（2−14）既适用于m＜n的情形，也适用于m=n的情形。由以上求解过程可以看到，使用适应法光学自动设计程序必须满足的条件是：像差数小于或等于自变量数；像差不能相关。上一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序2.3.1像差参数的选定首先选定作为评价系统成像质量的像差参数，才有可能用数值计算的方法建立像差线性方程组，构成阻尼最小二乘法的评价函数。阻尼最小二乘法对像差参数的数量没有限制，因此在程序中可预先安排一组固定的像差参数，使用者不必考虑确定像差参数的问题。在SOD88的阻尼最小二乘法程序中，采用垂轴几何像差或波像差作为单色像差的质量指标，色差则用近似计算的波色差来控制。程序把被校正的光学系统按视场和孔径大小不同分成四类，对不同类别的系统规定了不同数量的像差。下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

第一类：一般光学系统。这类系统指视场和相对孔径都不大的系统。程序中规定除了计算轴上点的像差外，还计算0.7视场和1.0视场两个轴外像点的像差。轴上点计算子午面内1.0和0.7孔径的两条光线，如图2−1（a）所示。每个轴外点计算8条光线，它们在光瞳内的分布如图2−1（b）所示。每个轴外像点计算8条光线，两个视场计算16条光线，加上轴上像点的两条光线共18条光线。每条子午光线有一个几何像差和一个波色差，每条弧矢光线有两个几何像差和一个波色差。构成评价函数的像差共有36个，因为主光线只有一个几何像差——畸变，没有波色差。上一页下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

第二类系统：大视场系统。这类系统相对孔径不大，但视场较大，为了更真实地反映整个视场内的成像质量，除轴上点外计算四个轴外像点，它们是0.5，0.7，0.85，1.0视场。每个像点计算的光线数和第一类系统相同，有两条轴上光线和32条轴外光线，共计34条光线。评价函数由68个像差构成。第三类系统：大孔径系统。这类系统相对孔径较大，而视场不大。程序只计算轴上点和0.7，1.0视场两个轴外点，但对轴上点计算四条子午光线；对每个轴外点计算11条光线，。共计算4条轴上光线、22条轴外光线，由58个像差构成评价函数。上一页下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

第四类：大视场大孔径系统。这类系统视场和相对孔径都比较大。程序计算轴上点和0.5，0.7，0.85，1.0视场4个轴外点，对轴上点计算4条光线，每个轴外点计算11条光线共44条轴外光线。评价函数由108个像差构成。对轴外光束来说，允许有渐晕，本程序要求设计者给出1.0视场和0.7视场子午面内上、下光的渐晕系数。对大视场系统，其他两个视场的渐晕系数由给定的两视场的渐晕系数用线性插值的方法确定。对有渐晕的光束用椭圆近似的方法确定通光面积抽样光线在子午和弧矢方向上的相对分布位置不变。椭圆近似的具体方法和1.2中所述完全相同。上一页下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

2.3.2权因子阻尼最小二乘法取各种像差残量φ的平方和构成评价函数Φ，通过Φ的下降，使各种像差逐渐减小，或向目标值靠近，但最终都不可能使Φ=0，只能达到某个极小值。此时各种像差残量在数值上应趋向一致，因为这对评价函数的下降是最为有利的。但是，对实际光学系统来说，我们并不希望各种像差在数值上都趋于相等，而希望它们之间在数值上达到合理的匹配。例如一般希望视场中心的像质好一些，轴上点的像差应该小一些。上一页下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

另外不同种类的像差对成像质量的影响差别很大，例如波色差或波像差达到0.001mm，就能对成像质量产生很大影响；而垂轴几何像差达到0.01mm，对成像质量可能影响很小；而近轴参数如焦距误差在1mm以内就可能符合要求。为了使这些不同的像差达到合理匹配，我们把各种像差值乘以不同的系数，再进入评价函数，即式中，μi称为权因子。权因子增大，对应的像差在评价函数中的比重增加，评价函数Φ时将优先减小这种像差。因此，如果我们希望某种像差数值减小，就给它一个较大的权因子。当然权因子的大小是各种像差相对而言的，不能只看它们的绝对数值。上一页下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

在程序中对参加校正的各种像差（包括近轴参数和几何参数）都根据一般情况给出一组固定的权因子，使各种像差达到基本匹配，但是随着系统要求不同，像差之间的匹配不可能完全符合设计要求，为此在程序中还增加了一个人工权因子μp，即设计者可以在程序给出的固定权因子基础上，通过改变人工权因子μp，达到改变总的权因子的目的。如果将人工权因子μp都取作1，则相当于不使用人工权因子。上一页下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

2.3.3边界条件实际光学系统除了光学特性和成像质量的要求以外，为了使系统能实际制造出来，对结构参数还有一些具体的限制。例如为了保证加工精度在要求的通光口径内，正透镜的边缘厚度或负透镜的中心厚度不能小于一定的数值；透镜之间的空气间隔不能为负值。这类限制我们称为边界条件。在阻尼最小二乘法程序中共有三种边界条件：（1）正透镜的最小边缘厚度、负透镜的最小中心厚度和透镜间的最小空气间隔dmin。（2）每个面上光线的最大投射高Hmax。（3）玻璃光学常数的限制。上一页下一页返回2.3阻尼最小二乘法光学自动设计程序

2.3.4自变量原则上说，光学系统的全部结构参数都可以作为自变量加入校正，而且自变量越多，像差可能校正得越好。但是在实际设计中，有些自变量可能对像差影响很小，把它加入校正不仅对校正像差好处不大，反而可能给系统带来某些缺陷，例如某些对像差很不敏感的透镜厚度或间隔，把它们加入校正，反而可能使这些透镜变得太厚或者系统长度过大。因此让哪些结构参数作为自变量加入校正，必须由设计者根据系统的具体情况来选定。根据不同情况，自变量可以分成以下几种形式。1.单个结构参数作为自变量2.由两个结构参数构成的结组变量3.组合变量上一页返回2.4怎样使用阻尼最小二乘法程序进行光学设计2.4.1原始系统的选定现有的光学自动设计程序都是在一定的原始系统基础上通过线性近似和逐次渐近的方法，使系统逐步向要求的目标靠拢，因此在进行自动设计前，设计者首先要根据对系统光学特性和成像质量的要求，选定一个合适的原始系统。原始系统选择得好坏，实际上决定了自动设计结果的好坏。因为程序只能在原始系统附近的自变量空间使评价函数达到极小值。这个极小值对整个自变量空间来说，只是一个局部极小值。在整个自变量空间，一般存在若干个局部极小值，系统最后能达到哪个局部极小值，完全由原始系统决定。原始系统的选择：一般依靠设计者的经验从手册或专利资料中，找寻一个光学特性和成像质量与设计要求相近的系统作为原始系统。下一页返回

2.4怎样使用阻尼最小二乘法程序进行光学设计

2.4.2构成评价函数的像差和权因子在程序中设计者首先要选定用几何像差还是波像差构成评价函数，然后确定系统的类别（系统属上节所说四类中的哪一类），同时给出全视场和0.7视场的子午光束上、下光的渐晕系数，构成评价函数的像差便自动确定了。除了像差以外，还有几种近轴参数和几何参数，要求设计者根据具体的设计要求逐个选定。不能把一些不必要的参数加入校正，更不能把一些相互矛盾的参数一起加入校正，这将大大降低系统校正像差的能力。例如对有限距离成像的系统，不能把Lconj,f′,β同时加入校正，最多只能加入两个。上一页下一页返回

2.4怎样使用阻尼最小二乘法程序进行光学设计

至于权因子，在设计的开始阶段，一般不使用人工权因子，只是在校正到一定阶段以后，再根据程序输出的校正结果，为了使某些像差匹配更加合理，才应用人工权因子进行调整。2.4.3自变量的确定一般来说，在自动设计过程中，自变量越多越好，以便充分利用系统校正像差的能力。系统中每个曲率、厚度都尽可能作为单独的自变量参加校正。光学材料的折射率和色散，一般只是在用曲率和厚度无法校正全部像差时才采用，通常也不把全部玻璃的折射率和色散都作为自变量使用。上一页下一页返回

2.4怎样使用阻尼最小二乘法程序进行光学设计

因为程序校正的结果是理想的折射率和色散值，故还必须用相近的实际玻璃来代替，如果参加校正的折射率和色散很多，换成实际玻璃后系统的像差可能变化很大，重新用曲率和厚度进行校正时，和原来的校正结果有很大差别，而使原先的校正失去意义。某些透镜的厚度，如果对像差不灵敏，也可以不作为自变量参加校正，直接根据工艺要求确定。应该注意尽量不要使用相关变量，例如双胶合物镜如果已经把三个曲率作为自变量，就不要把整组弯曲（90103）也作为自变量，因为后者和前三个变量相关，相关变量不仅不会增加系统的校正能力，反而会破坏校正的正常进行。上一页下一页返回

2.4怎样使用阻尼最小二乘法程序进行光学设计

2.4.4边界条件加入哪些边界条件，也必须由设计者根据具体设计要求来定。最常用的是正透镜的最小边缘厚度和负透镜的最小中心厚度。玻璃三角形则只在把光学常数作为自变量时才加入。上一页返回2.5适应法光学自动设计程序适应法像差自动校正程序的最大特点是：第一，参加校正的像差个数m必须小于或等于自变量个数n；第二，参加校正的像差不能相关。因为适应法求出的解严格满足像差线性方程组的每个方程式；如果m＞n或者某两种像差相关，像差线性方程组就无法求解，校正就要中断。这是适应法和阻尼最小二乘法的最大区别。返回2.6怎样使用适应法程序进行光学设计2.6.1选定原始系统我们从光学设计手册上找出一组数据作为自动设计的原始系统，结构参数如下所示。如果原始系统的焦距和设计要求相差较多，则需要将原始系统缩放成要求的焦距，上述系统的焦距为f′=26.042，与设计要求接近，不再需要缩放。下一页返回2.6怎样使用适应法程序进行光学设计

原始系统结构参数：上一页下一页返回2.6怎样使用适应法程序进行光学设计

2.6.2参数校正的像差和自变量的确定适应法程序要求参加校正的像差数必须小于或等于自变量数，因此像差和自变量需要同时考虑选定。特别是一些结构比较简单的系统，往往先要看它有几个自变量，再确定参加校正的像差，使像差数不大于自变量数。这里我们先确定自变量。1.自变量确定为了保证两个胶合透镜组完全对称，必须使用异号结组变量，保证两个透镜组的对应半径大小相等、符号相反。这样6个曲率半径只能构成3个自变量：−10106；−10205；−10304。上一页下一页返回2.6怎样使用适应法程序进行光学设计

透镜的厚度和两个透镜组之间的间隔均不作自变量使用，但入瞳到第一面顶点的距离d1（201）可以作为一个自变量使用，这样共有4个自变量。2.像差参数和它们的目标值和公差系统焦距（即光焦度）为设计要求，必须保证。另外目镜必须和物镜配合成像，因此反向光路中目镜的出瞳要求和物镜的入瞳相重合，因此对目镜的出瞳距L′zm必须有一定要求，如图2−8所示。在我们的设计例子中要求L′zm=120。这就已经有两个必须参加校正的像差参数。而系统的自变量只有4个，最多还能加入两个像差。在目镜中最主要的两种像差是垂轴色差Δy′FC和子午场曲x′tm，把它们加入校正。这样共有4个像差参数，和自变量数相等，已达到了