数理统计试题库及答案

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一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$已知，$\sigma^{2}$未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体$X$的样本，则下列不是统计量的是（）A.$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$B.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$C.$\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i^{2}}{\sigma^{2}}$D.$\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$2.设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，则$D(\overline{X})$等于（）A.$D(X)$B.$\frac{1}{n}D(X)$C.$nD(X)$D.$\frac{1}{n^2}D(X)$3.设总体$X\simN(0,1)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体$X$的样本，则$\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}$服从（）A.$N(0,n)$B.$\chi^{2}(n)$C.$t(n)$D.$F(n,n)$4.在假设检验中，记$H_0$为原假设，$H_1$为备择假设，则犯第一类错误是指（）A.$H_0$为真，接受$H_1$B.$H_0$为真，拒绝$H_0$C.$H_0$不真，接受$H_0$D.$H_0$不真，拒绝$H_0$5.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$为样本，$\overline{X}$为样本均值，则$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间为（）A.$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$B.$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$C.$(\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$D.$(\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$6.设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\theta$是未知参数，则似然函数$L(\theta)$为（）A.$\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$B.$\sum_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$D.$\frac{1}{n}\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$7.设$X_1,X_2$是来自总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$的样本，则下列是$\mu$的无偏估计的是（）A.$\frac{1}{3}X_1+\frac{2}{3}X_2$B.$\frac{1}{2}(X_1-X_2)$C.$\frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2^2$D.$\frac{1}{2}(X_1^2+X_2^2)$8.设总体$X\simB(1,p)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$为样本，则$p$的矩估计量为（）A.$\overline{X}$B.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$D.$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n-1}$9.设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，则$E(S^2)$等于（）A.$D(X)$B.$\frac{1}{n}D(X)$C.$nD(X)$D.$\frac{1}{n^2}D(X)$10.设总体$X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}$是来自$X$的样本，$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}$是来自$Y$的样本，且两样本相互独立，当$\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}=\sigma^{2}$未知时，检验假设$H_0:\mu_1=\mu_2$，$H_1:\mu_1\neq\mu_2$，应选用的检验统计量是（）A.$Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}}}$B.$T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，其中$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$C.$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$D.$\chi^{2}=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{\sigma^{2}}$二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于统计量的说法正确的有（）A.统计量是样本的函数B.统计量中不含有未知参数C.样本均值是统计量D.样本方差是统计量2.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则（）A.$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$B.$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)$C.$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)$D.$\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^{2}/\sigma_2^{2}}\simF(n_1-1,n_2-1)$（两样本情形）3.在假设检验中，影响犯两类错误概率的因素有（）A.样本容量B.显著性水平C.总体分布D.检验统计量4.对于参数估计，下列说法正确的有（）A.矩估计法是用样本矩估计总体矩B.极大似然估计法是求使得似然函数达到最大的参数值C.无偏估计量的数学期望等于被估计参数D.有效估计量一定是无偏估计量5.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，为使$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间长度不超过$l$，则样本容量$n$应满足（）A.$n\geq(\frac{2z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma}{l})^2$B.与$\alpha$有关C.与$\sigma$有关D.与$l$有关6.下列分布中，属于抽样分布的有（）A.正态分布B.$\chi^{2}$分布C.$t$分布D.$F$分布7.设总体$X$的概率分布为$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$\lambda$的估计方法可以有（）A.矩估计法B.极大似然估计法C.顺序统计量法D.最小二乘法8.设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\overline{X}$是样本均值，$S^2$是样本方差，当总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$时，（）A.$\overline{X}$与$S^2$相互独立B.$\overline{X}$与$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$相互独立C.$\overline{X}$与$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^{2}}$相互独立D.$\overline{X}$与$S$相互独立9.在两个正态总体均值差的假设检验中，当$\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}=\sigma^{2}$未知时，检验$H_0:\mu_1=\mu_2$，$H_1:\mu_1\neq\mu_2$，（）A.采用$t$检验B.检验统计量为$T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$C.拒绝域与显著性水平有关D.拒绝域与样本容量有关10.设总体$X$的分布函数为$F(x;\theta)$，$\theta$是未知参数，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\hat{\theta}$是$\theta$的估计量，则（）A.若$E(\hat{\theta})=\theta$，则$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量B.若$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\hat{\theta}-\theta|\lt\varepsilon)=1$，则$\hat{\theta}$是$\theta$的一致估计量C.无偏估计量一定是有效估计量D.有效估计量一定是一致估计量三、判断题（每题2分，共20分）1.样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计量。（）2.若$\hat{\theta}_1$和$\hat{\theta}_2$都是参数$\theta$的无偏估计量，且$D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)$，则$\hat{\theta}_1$比$\hat{\theta}_2$更有效。（）3.在假设检验中，增大样本容量可以同时减小犯两类错误的概率。（）4.总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$未知，$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间为$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$。（）5.似然函数是样本的联合概率密度。（）6.统计量是随机变量。（）7.犯第一类错误的概率就是显著性水平$\alpha$。（）8.两个无偏估计量的线性组合一定是无偏估计量。（）9.对于总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n)$。（）10.在两个正态总体方差比的假设检验中，采用$F$检验。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述参数估计的两种主要方法及其基本思想。答：参数估计主要有矩估计法和极大似然估计法。矩估计法是用样本矩估计总体矩，以样本矩的函数估计总体矩的函数。极大似然估计法是在已知样本观测值的情况下，选取参数值使样本出现的概率最大，即求使似然函数最大的参数值。2.什么是假设检验中的两类错误？如何减少两类错误？答：第一类错误是$H_0$为真时拒绝$H_0$；第二类错误是$H_0$不真时接受$H_0$。增大样本容量可同时减少两类错误概率，选择合适显著性水平也能一定程度平衡两类错误。3.简述样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$的性质。答：样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计，$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$（总体正态）。样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$是总体方差$\sigma^{2}$的无偏估计，且与$\overline{X}$相互独立（总体正态）。4.简述置信区间的含义。答：对于给定置信度$1-\alpha$，构造的置信区间是一个随机区间，它以$1-\alpha$的概率包含总体参数的真值。即多次抽样得到多个置信区间，约有$100(1-\alpha)\%$的区间包含总体参数。五、讨论题（每题5分，共20