湖南省长沙市望城区第一中学2025-2026学年高二上学期期末质量监测数学试卷（含答案）

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页保密★启用前2025-2026-1望城一中高二期末质量监测数学试卷望城一中数学组2026.1.26本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则的子集的个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．162．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为（

）A． B． C． D．3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则A． B．3 C． D．44．设数列满足，且，则的值为（

）A． B． C． D．15．已知样本数据为，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为，方差为，则（

）A． B．C． D．6．在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．7．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．8．已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．11．已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（）A．椭圆的离心率为 B．的周长为12C．的最小值为2 D．的最大值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为，在一场比赛中高二获胜的概率为．13．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为．14．如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：，，，，，，，，，，……，则.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和．16．（15分）在中，内角所对的边分别为，已知(1)求角；(2)若为边上一点(不包含端点)，且满足，(i)若，求的长；(ii)求的取值范围.17．（15分）已知圆关于直线对称.(1)求圆的标准方程；(2)若直线与圆相交于、两点，求；(3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值.18．（17分）如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？19．（17分）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M.(1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程；(2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值.答案第=page11页，共=sectionpages22页2025-2026-1望城一中高二期末质量监测数学参考答案题号12345678910答案DABACADCABCAD题号11答案BCD12．13．14．1415．（1）因为，所以．因为，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，则，故．（2）由（1）可知，则．第（2）问还可以这样解答：设数列的前n项和为．由（1）可知是以为首项，3为公比的等比数列，则，故．16．（1）∵，由正弦定理可得，∵，∴，∴，∴，即，即，∵，∴.（2）(i)∵，∴，∴，∴，∴.∴，∴∴.(ii)∵，∴，∴，∵，∴，由∵点在边上且不包含端点，∴，在中，，在中由正弦定理可得，又∵，∴，∵，则，∴，∴的取值范围是.17．（1）圆的方程可化为，圆心为，因为圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，得.所以圆的标准方程为.（2）由（1）得圆心为，半径，又直线的方程为，则圆心到直线的距离，直线与圆相交，所以.（3）圆的圆心为，半径长为，则点到直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为，所以面积的最大值为.18．（1）在长方形中，为的中点，则，平面平面，平面平面，且平面，由，得，则平面，又平面，所以.（2）过点作平面的垂线，并以此线为轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则有，即，解得，取，则，即，设直线与平面所成角为，故有，故直线与平面所成角的正弦值为；（3），则由点是线段上的一动点，设，则，易知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，得，由二面角的余弦值为，得，两边平方得，整理得，解得或（舍去），因此点是线段靠近的三等分点，所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为.