2026年高等数学实变函数能力评估试题冲刺卷

2026年高等数学实变函数能力评估试题冲刺卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年高等数学实变函数能力评估试题冲刺卷考核对象：高等院校数学、物理、工程等相关专业本科三年级学生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）请判断下列命题的正误。1.若集合A在集合B中，则A的勒贝格测度不超过B的勒贝格测度。2.任何可测集的勒贝格测度都是非负的。3.若函数f在区间[a,b]上黎曼可积，则f在[a,b]上勒贝格可积。4.单调递增函数的勒贝格积分与黎曼积分在定义域内相等。5.若E是可测集，且E的勒贝格测度为0，则对任意可测函数f，∫_Efdμ=0。6.勒贝格测度具有可数可加性。7.若函数f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上勒贝格可积。8.空集的勒贝格测度为0。9.若E是可测集，且E的勒贝格测度大于0，则存在E的子集F，F可测且μ(F)>0。10.勒贝格积分的线性性质仅适用于有限个函数的线性组合。二、单选题（每题2分，共20分）请选择唯一正确的选项。1.下列哪个集合是不可测集？A.R上的有理数集B.R上的整数集C.R上的柯西序列的极限点集D.R上的开集2.若E是可测集，且μ(E)=5，则E的补集的勒贝格测度为？A.0B.5C.∞D.无法确定3.下列哪个函数在[0,1]上勒贝格不可积？A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=0D.f(x)=14.若E是可数个可测集的并集，则E的勒贝格测度？A.必为0B.必为∞C.必为各可测集测度之和D.无法确定5.勒贝格积分的绝对连续性指的是？A.若μ(E)=0，则∫_Efdμ=0B.若f可积，则|∫_Efdμ|≤∫_E|f|dμC.若f可积，则∫_Efdμ存在D.若f非负可积，则∫_Efdμ随E单调增而单调增6.下列哪个函数是勒贝格可积的？A.f(x)=1/x^2在(0,1]B.f(x)=1/x在(0,1]C.f(x)=sin(1/x)在(0,1]D.f(x)=x^2在(0,1]7.若E是可测集，且μ(E)=0，则E上任意函数f的勒贝格积分？A.必为0B.必为∞C.无法确定D.必为有限值8.勒贝格测度与勒贝格积分的关系是？A.勒贝格测度是勒贝格积分的推广B.勒贝格积分是勒贝格测度的推广C.两者无直接关系D.两者等价9.若f是[0,1]上的非负可测函数，且∫_0^1fdμ=1，则f称为？A.勒贝格测度B.勒贝格积分C.概率测度D.概率密度函数10.下列哪个定理是勒贝格积分基本定理的基础？A.黎曼可积性定理B.勒贝格可积性定理C.控制收敛定理D.黎曼积分存在定理三、多选题（每题2分，共20分）请选择所有正确的选项。1.下列哪些性质属于勒贝格测度？A.非负性B.单调性C.可数可加性D.有限可加性2.下列哪些函数在[0,1]上勒贝格可积？A.f(x)=1/x^2B.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=1D.f(x)=x3.勒贝格积分的线性性质包括？A.∫(f+g)dμ=∫fdμ+∫gdμB.∫cfdμ=c∫fdμ（c为常数）C.∫fdμ=∫fdμ+∫fdμD.∫fdμ=04.下列哪些集合是可测集？A.R上的有理数集B.R上的整数集C.R上的开集D.R上的闭集5.勒贝格积分的绝对连续性等价于？A.若μ(E_n)→0，则∫_E_nfdμ→0B.若f非负可积，且E_n⊆E_{n+1}且μ(E_n→E)→0，则∫_E_nfdμ→∫_EfdμC.若f非负可积，且E_n⊆E_{n+1}且μ(E_n→E)→0，则∫_E_nfdμ→∫_EfdμD.若f非负可积，则∫_Efdμ随E单调增而单调增6.下列哪些定理与勒贝格积分收敛性相关？A.控制收敛定理B.维尔斯特拉斯收敛定理C.逐点收敛定理D.有限可加性定理7.勒贝格测度的性质包括？A.空集测度为0B.单点集测度为0C.可数个可测集的并集测度为测度之和D.不可数个可测集的并集测度可能为08.下列哪些函数是勒贝格可积的？A.f(x)=1/x在(1,∞)B.f(x)=1/x^2在(1,∞)C.f(x)=sin(x)在[0,2π]D.f(x)=x^2在[0,1]9.勒贝格积分的换元公式要求？A.变换函数必须可测B.变换函数必须连续C.变换函数的雅可比行列式必须可积D.积分区间必须一致10.下列哪些性质属于勒贝格可积函数？A.函数的有界性B.函数的可测性C.函数的绝对可积性D.函数的黎曼可积性四、案例分析（每题6分，共18分）1.问题描述：设E为[0,1]上所有有理数的集合，F为[0,1]上所有无理数的集合。证明E和F的勒贝格测度均为0。2.问题描述：设f(x)={1/n,x=1/n,n∈N；0,其他}.证明f在[1,∞)上勒贝格可积，并计算∫_1^∞fdμ.3.问题描述：设E为[0,1]上所有满足x=0或x为有理数的点的集合，F为[0,1]上所有满足x为无理数且x≠0的点的集合。证明E和F的勒贝格测度均为1，并解释原因。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述题：请详细论述勒贝格积分与黎曼积分的区别，并说明在哪些情况下勒贝格积分更具优势。2.论述题：请详细论述控制收敛定理的内容、条件和应用，并举例说明其在实际问题中的应用。---标准答案及解析一、判断题1.正确2.正确3.错误（黎曼可积函数不一定勒贝格可积，如狄利克雷函数）4.正确5.正确6.正确7.正确8.正确9.正确10.错误（线性性质对任意有限或可数个函数的线性组合成立）解析：1.若A⊆B，则μ(A)≤μ(B)是勒贝格测度的单调性。3.黎曼可积函数的振幅在几乎处处为零的点处可积，但勒贝格可积要求更严格。6.勒贝格测度具有可数可加性，即对可数个两两不交的可测集，测度可加。10.勒贝格积分的线性性质对任意有限或可数个函数的线性组合成立，不限于有限个。二、单选题1.A2.B3.A4.D5.A6.D7.A8.A9.D10.C解析：1.有理数集不可测，因其在勒贝格测度下既非测集也非非测集。3.1/x在(0,1]上发散，不可积。5.绝对连续性指测度趋于零时积分趋于零。9.概率密度函数满足∫_0^1fdμ=1。10.控制收敛定理是勒贝格积分基本定理的基础。三、多选题1.A,B,C2.B,C,D3.A,B4.B,C,D5.A,B6.A,C7.A,B,C,D8.B,C,D9.A,C10.B,C解析：1.勒贝格测度具有非负性、单调性和可数可加性。3.线性性质包括加法和数乘。7.勒贝格测度满足空集测度为0、单点集测度为0、可数可加性等。9.换元公式要求变换函数可测且雅可比行列式可积。四、案例分析1.证明：E为[0,1]上所有有理数的集合，是有理数集，其勒贝格测度为0。F为[0,1]上所有无理数的集合，是无理数集，其勒贝格测度也为0。因为[0,1]=E∪F，且E和F互不相交，所以μ([0,1])=μ(E)+μ(F)=0+0=0。2.证明：f在[1,∞)上可积，因f(x)在每段[1,2],[2,3]…上均为阶梯函数，且∫_1^∞fdμ=∑_(n=1)^∞1/n^2<∞。计算：∫_1^∞fdμ=∑_(n=1)^∞1/n^2=π^2/6。3.证明：E为[0,1]上所有满足x=0或x为有理数的点的集合，其补集为F，即所有无理数且x≠0的点。E的勒贝格测度为1，因[0,1]上无理数集测度为1。F的勒贝格测度为1，因[0,1]上整数点集测度为0。五、论述题1.论述：勒贝格积分与黎曼积分的区别：-黎曼积分基于分割和取点，仅适用于连续或有限间断点函数；勒贝格积分基于测度，可处理更多函数。-勒贝格积分对可测函数定义更广泛，如狄利克雷函数不可黎曼积分但可勒贝格积分。勒贝格积分优势：-对可数个函数的极限保持积分性，利于分析级数和极限问题。-与测度论结合，