内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

集宁二中2025-2026学年上学期高二年级期末考卷数学注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分.一、单选题1.已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.2.直线与直线之间的距离为（）A. B. C.2 D.33.经过两点的直线的斜率是12，则等于（）A. B. C.3 D.14.在等差数列中，，，则的值为（）A27 B.30 C.33 D.365.等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（）A.9或10 B.8 C.9 D.10或116.设和是双曲线两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（）A.2 B.1 C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.等比数列中，，则（）A.-4 B.2 C.4 D.4二、多选题9.设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（）A. B. C. D.10.在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（）A. B. C.2 D.411.已知直线：和圆：，则（）A.直线恒过定点B.直线与圆相交C.直线被圆截得的最短弦长为D.存在使得直线与直线：垂直三、填空题12.过点且斜率为的直线一般式方程为______．13.已知数列满足，，则______．14.已知，，则______．四、解答题15.已知数列分别是等差、等比数列，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．16.已知点，，是平面内一个动点，且，（1）求动点的轨迹方程；（2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围．17已知数列中，.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.18.已知椭圆C：(a>b>0)右焦点为F(1，0)，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线y＝x－1与椭圆交于MN两点.求MN长度.19.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.集宁二中2025-2026学年上学期高二年级期末考卷数学注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分.一、单选题1.已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】令,解得,故选.2.直线与直线之间的距离为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据两平行线之间的距离公式求解即可.【详解】因为，即，所以与之间的距离为，故选：A3.经过两点的直线的斜率是12，则等于（）A. B. C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】由斜率公式可得答案.【详解】由题可得，由斜率公式，.故选：A4.在等差数列中，，，则的值为（）A.27 B.30 C.33 D.36【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得,,则可得,再由求解即可.【详解】由题,因为,则；因为,则；所以,所以,故选:B【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用.5.等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（）A.9或10 B.8 C.9 D.10或11【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】，∴，关于n的二次函数，其对称轴为，∵，∴当或时，最大．故选：A．6.设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：B7.已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果.【详解】设，则，由椭圆的定义，得，因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以，中，，即，所以离心率，故选：A．8.等比数列中，，则（）A.-4 B.2 C.4 D.4【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质直接求解.【详解】等比数列中，所以.又，所以或.因为，所以.因为，所以4.故选：C二、多选题9.设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据焦点到准线的距离为p求解.【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，所以，根据四个选项可得，满足，故选：AB10.在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（）A. B. C.2 D.4【答案】BC【解析】【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{}中，，设等比数列的公比为，则，所以，故选：.11.已知直线：和圆：，则（）A.直线恒过定点B.直线与圆相交C.直线被圆截得的最短弦长为D.存在使得直线与直线：垂直【答案】BD【解析】【分析】求得直线恒过定点，即可判断A；判断点在圆内，即可判断B；当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短，求出最短弦长，即可判断C；求出的值，即可判断D.【详解】对于A，由，可得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；对于B，因为直线恒过定点，且点在圆：内，所以直线与圆相交，故B正确；对于C，当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短，此时圆心到直线的距离，由弦长公式可得此时弦长为，故C错误；对于D，因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以当时，直线与直线垂直，故D正确．故选：BD.三、填空题12.过点且斜率为的直线一般式方程为______．【答案】【解析】【分析】由题意写出直线的点斜式方程，化简即可得解．【详解】由直线的点斜式方程，可得，整理得.故答案：.13.已知数列满足，，则______．【答案】70【解析】【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解.【详解】因为，所以，累加可得：，则．故答案为：7014.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算求解.【详解】由，，得，所以.故答案为：四、解答题15.已知数列分别是等差、等比数列，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式.（2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和.【小问1详解】设的公差为，的公比为，则，所以；所以，则，所以.【小问2详解】由（1）可知，则.16.已知点，，是平面内的一个动点，且，（1）求动点的轨迹方程；（2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解；（2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可.【小问1详解】设，则，，因为，可得，即所以动点的轨迹方程为.【小问2详解】由圆，可得圆，圆心，半径，又由圆心，半径为3，圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交，所以，解得.17.已知数列中，.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.【答案】（1），（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求.（2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式.【小问1详解】因为，所以，【小问2详解】因为，所以，即，又因为，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.所以，所以.18.已知椭圆C：(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线y＝x－1与椭圆交于MN两点.求MN长度.【答案】（1）＋＝1；（2）.【解析】【分析】（1）依题设条件求出的值，即得方程；（2）将直线与椭圆方程联立消元，利用韦达定理和弦长公式即可求得弦长.【小问1详解】由已知得c＝1，＝，所以a＝2，，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.【小问2详解】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去得：7x2－8x－8＝0，由韦达定理得则,即MN长度为.19.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行；（2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离；（3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值.【小