分物中的“秘密”：初步认识有余数的除法-小学二年级数学教学设计

分物中的“秘密”：初步认识有余数的除法——小学二年级数学教学设计一、教学内容分析  本节课隶属小学数学“数与代数”领域中“数的运算”主题，是二年级下册的核心内容。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》出发，本课教学坐标清晰：它上承“表内除法”的整除认知，下启“一位数除多位数”的笔算逻辑，是学生从“等分”理想世界迈向“分配”现实世界的关键转折点，在整数除法的认知链条中扮演着承上启下的枢纽角色。知识技能图谱上，核心概念为“余数”，关键技能包括：在具体分物情境中理解余数的产生与含义，掌握有余数除法的横式写法与读法，并初步感知“余数小于除数”这一根本规律。认知要求从具体操作（分一分、摆一摆）的经验感知，上升到数学表达（写算式、说意义）的符号理解，最终指向规律（比较、归纳）的初步概括。过程方法路径上，课标强调在真实情境中理解运算的意义。本节课将充分运用“数学建模”思想，引导学生经历“现实问题（分物有剩余）→数学表达（有余数除法算式）→解释与应用”的完整过程，将分物的具体操作活动逐步内化为抽象的数学模型。素养价值渗透方面，本课是发展学生“数感”和“运算能力”的肥沃土壤。通过大量操作与对比，学生能深化对除法意义和数之间关系的理解；同时，在探究“余数为什么比除数小”的过程中，“推理意识”得以萌发。其育人价值在于引导学生直面并接纳现实世界中的“不完美”与“不确定性”，理解数学是对现实世界的有效刻画与简化，而非僵化的完美模板。  基于“以学定教”原则，进行如下学情研判：学生已有基础与障碍方面，已熟练掌握表内乘除法及“平均分”的概念与操作，具备用除法算式表示“正好分完”情境的能力。可能的认知难点在于：一是从心理上接纳“分不完”的合理性，部分学生可能执着于“必须分完”；二是理解余数算式中各数（尤其是余数）与分物过程的对应关系；三是从大量具体例子中归纳出“余数比除数小”的规律，并理解其必然性。过程评估设计将贯穿始终：导入时观察学生对“分不完”情境的反应；新授中通过巡视操作、聆听小组讨论、分析学生所列算式，实时诊断理解程度；巩固环节的分层练习则是极佳的形成性评价素材。基于此，教学调适策略为：为思维较快者提供挑战性任务（如“如果余数比除数大，说明什么？”），并鼓励其担任“小老师”；为需要支持的学生准备更直观的学具（如每份画好圈的分物图）、提供“分物步骤与算式对应”的填空式学习单，并安排教师或同伴的针对性指导，确保所有学生都能在操作与思考中抵达各自的“最近发展区”。二、教学目标  知识目标：学生通过分一分、摆一摆、说一说的活动，理解余数产生的实际背景与数学意义，能正确读写有余数的除法算式，知道算式中每个数的名称（被除数、除数、商、余数），并能将算式与具体分物过程相互解释与关联。  能力目标：学生经历从平均分实物到用数学符号表达的过程，初步形成将具体情境抽象为数学模型的能力。在观察、比较多个有余数除法算式的活动中，能发现并用自己的语言描述“余数小于除数”的规律，发展初步的归纳与推理能力。  情感态度与价值观目标：学生在解决“分不完”的现实问题中，体会数学与日常生活的紧密联系，感受数学的实用价值。在小组合作探究中，乐于分享自己的操作方法和发现，学会倾听同伴意见，体验共同克服认知困难的乐趣。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的符号意识与模型思想。通过“操作感知→图示记录→符号表达”的思维阶梯，引导学生学会用简洁的数学语言（算式）刻画复杂的现实情境（分物），体会数学表达的概括性与优越性。  评价与元认知目标：引导学生依据“分物过程与算式是否匹配”这一核心标准，对自己或同伴列出的算式进行评价和判断。在课堂小结时，能回顾“我们是如何发现余数比除数小这个秘密的”，反思从具体例子中寻找一般规律的学习方法。三、教学重点与难点  教学重点：理解余数的意义，掌握有余数除法的正确读写方法，并能够根据分物过程列出相应算式。其确立依据在于，余数概念是本课乃至本单元知识结构的基石，是学生从整除思维扩展到非整除思维的核心突破点。从素养视角看，用数学符号准确表征带有“剩余”的现实情境，是发展学生模型思想与符号意识的关键一步，也是后续解决所有有余数除法应用问题的逻辑起点。  教学难点：探索并理解“余数一定比除数小”的规律。预设难点成因有二：一是认知跨度较大，学生需从多个具体算式的观察中抽象出一般性结论；二是其理解需要逆向思维支撑，即认识到“如果余数等于或大于除数，意味着还可以继续分”，这对二年级学生的逻辑推理能力构成挑战。突破方向在于提供充足的操作素材，引导学生亲历“分到不能再分为止”的过程，并通过关键提问“剩下的为什么不能再分了？”驱动思考，在直观与抽象之间建立牢固联系。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态分物情境、算式对比页面）；实物投影仪。1.2操作材料包（按小组分发）：每包内含小棒若干（如20根）、圆形纸片若干、印有分物篮子的学习单。1.3学习任务单：包含分层探究任务记录区与课堂练习区。1.4差异化支持材料：为需要支持的学生准备“分物步骤图”提示卡。2.学生准备：预习教材相关情景图，思考“生活中分东西分不完的情况”；每人准备铅笔、橡皮。3.环境布置：课前将课桌椅调整为46人小组合作式；黑板划分区域，预留核心概念、算式范例及学生发现规律的板书空间。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发1.1互动开场：“孩子们，喜欢玩游戏吗？我们来玩一个‘快速分一分’的游戏。看屏幕：老师有6颗糖果，要平均分给2个小朋友，每人分得几颗？”（学生齐答3颗）板书算式：6÷2=3（颗）。“太简单了！再来：7颗糖果，还是平均分给2个小朋友，每人分几颗呢？大家用手势告诉老师。”1.2暴露认知冲突：预计学生会出现困惑或不同答案。请一位学生上台尝试用学具分一分。教师引导全班观察：“瞧，每人先分3颗，诶？怎么还多出1颗？”（呈现“分不完”的状态）“这多出来的1颗，在数学王国里，我们给它起了一个名字，叫‘余数’。今天，咱们就一起来揭开分物中这个‘余数’的小秘密。”2.提出问题与路径明晰2.1提出核心问题：“那么，这个‘多出来’的余数，该怎么用我们的除法算式表示出来呢？它和我们以前学的除法有什么不一样？在分东西的时候，余数会不会有时候大，有时候小，它有没有什么特别的规律呢？”2.2勾勒学习路线：“这节课，我们就当小小数学家，通过动手分一分、动笔记一记、动脑比一比，一步步把这些问题弄清楚。先别着急，让我们从动手操作开始！”第二、新授环节  本环节采用“操作感知→表象建立→符号抽象→规律发现”的支架式教学路径，设计五个环环相扣的探究任务，引导学生在“做数学”中主动建构知识。任务一：动手分物，初感“剩余”教师活动：首先，清晰下达操作指令：“请各小组拿出小棒，我们来完成第一个挑战：把10根小棒，每4根一份地分一分。分的时候，请大家边分边想两个问题：第一，分成了几份？第二，分完了吗？剩下的还能再分吗？”巡视全场，重点关注学生的分法是否体现“每4根一份”的要求。选取两种典型结果（一份4根，剩2根；错误分法）通过实物投影展示。针对正确结果，追问：“剩下的这2根，为什么不能再分成一份了？”引导学生说出“因为不够4根了”。针对错误分法（如每份不等），组织学生评议：“他这样分，符合我们‘平均分’的要求吗？”学生活动：以小组为单位，动手操作小棒。一人分，其他成员观察并回答教师提出的问题。观察投影上的不同分法，判断正误，并思考“为什么剩下的不能再分”。即时评价标准：1.操作规范性：能否按照“每几个一份”的要求进行准确分物。2.语言描述准确性：能否用“分成了（）份，还剩（）根”的句式完整描述结果。3.错误辨析能力：能否判断分物结果是否符合“平均分”的前提。形成知识、思维、方法清单：★平均分是前提：有余数的除法必须建立在“平均分”的基础上，这是讨论余数的逻辑起点。▲操作与表达：动手操作是理解抽象概念的重要支架。●剩余的状态：当分到“不够再分出一份”时，就产生了“剩余”。教师提示：要反复强调“平均分”和“分到不能再分为止”这两个关键动作。任务二：尝试记录，引出算式教师活动：承接任务一，提出问题：“刚才我们分10根小棒，每4根一份，结果是‘分成2份，还剩2根’。这么长一句话，数学家觉得有点麻烦，他们发明了一种更简洁的记录方法——算式。谁能试着用我们学过的除法算式来表示这个过程？”预计学生可能写出10÷4=2或类似不完整式子。教师不直接否定，而是说：“这个算式表示了‘分成了2份’，但好像把‘还剩2根’这个重要信息给弄丢了。怎么办呢？数学家在这里加了一个新朋友——‘……’（板书：……），它叫‘余号’，读作‘余’。完整的写法是：10÷4=2（份）……2（根）。来，跟老师一起读一读这个算式。”随后，明确各部分名称：“10叫做被除数，4是除数，2是商，这个特别的新朋友2，叫做余数。”学生活动：尝试用已有知识列出除法算式。观察教师板书，学习有余数除法算式的规范写法与读法。跟随教师指读，熟悉“被除数、除数、商、余数”各部分的名称。即时评价标准：1.知识迁移意愿：是否敢于利用旧知（除法算式）尝试表达新情境。2.学习专注度：能否仔细观察教师的规范板书与讲解。3.跟读与复述的准确性。形成知识、思维、方法清单：★有余数除法的算式：掌握“被除数÷除数=商……余数”的横式写法与读法，理解余数单位需根据问题情境确定。★算式与过程的对应：算式中每一个数都必须能与分物过程的具体含义对应起来（10是要分的总数，4是每份数，2是份数，余数2是剩下的数量）。教师提示：读写规范需反复练习，对应关系的理解是避免机械记忆的关键。任务三：变式操作，丰富表象教师活动：提供一组变式操作任务，用课件或口述发布：“小小数学家们，真正的挑战来了！请用你们手中的圆片，分别完成下面两个分物活动，并把结果用刚才学的新算式记录在学习单上。任务A：把11个圆片，每2个一份地分。任务B：把14个圆片，每5个一份地分。”巡视指导，重点查看学生列式的规范性。收集有代表性的算式（如正确、余数位置写错、单位遗漏等）准备展示。学生活动：独立或两人合作完成两个分物操作，并根据操作结果，尝试书写有余数的除法算式。即时评价标准：1.任务完成的独立性：能否根据指令独立完成操作与记录。2.算式书写的规范性：余号使用、单位标注是否正确。3.操作与记录的一致性：算式是否准确反映了分物结果。形成知识、思维、方法清单：▲多样化实例积累：通过不同的被除数、除数组合，积累有余数除法的丰富表象，为后续归纳规律做准备。●易错点预警：余数应写在余号后面，并正确书写单位；商和余数的单位可能不同（如份、个）。教师提示：此环节是技能的初步应用，允许犯错，通过对比纠错深化理解。任务四：观察比较，发现规律教师活动：将学生任务三中产生的正确算式（如11÷2=5……1，14÷5=2……4）与之前板书上的10÷4=2……2并列呈现。提出驱动性问题：“请大家当一回侦察兵，仔细观察黑板上这几个算式，你发现了什么秘密？重点看看余数（用彩笔圈出）和除数（用彩笔圈出）之间，有什么小关系？”给予学生充分的观察和小组讨论时间。倾听学生的发现，当有学生提到“余数比除数小”时，给予高度评价：“了不起的发现！大家同意吗？我们一起来看看是不是这样？”引导全班逐一验证。进而追问：“为什么余数一定会比除数小呢？谁能结合我们分东西的过程来说说理由？”引导学生回归操作本质：“因为如果余下的数等于或大于除数，就说明还能再继续分一份啊！”学生活动：观察板书的多个算式，在小组内交流自己的发现。尝试用数学语言表述“余数比除数小”的规律。结合分物操作，理解这一规律的必然性。即时评价标准：1.观察的敏锐性：能否从多个算式中聚焦到余数与除数的关系。2.归纳与表达能力：能否用自己的语言清晰表述发现的规律。3.解释的逻辑性：能否结合操作原理解释“为什么余数比除数小”。形成知识、思维、方法清单：★余数和除数的关系：理解“余数必须比除数小”是有余数除法的根本法则。★规律的合理解释：其根源在于除法的定义和操作过程——“分到不够再分为止”。教师提示：这是本节课的思维高峰，要让学生经历“发现验证解释”的完整探究过程，切忌教师直接告知。任务五：逆向思考，深化理解教师活动：设计一个逆向思维活动，巩固对“余数<除数”的理解。出示算式框架：（）÷6=3……（），提问：“这个算式的除数是6，商是3，余数可能是几？把你认为所有可能的答案都写在学习单上。”引导学生思考：“余数可以是6吗？可以是7吗？为什么？”最后，引导学生有序地列出所有可能的余数：1、2、3、4、5。并小结：“看，只要余数比除数6小，这些答案都是有可能的。这就是我们发现的秘密的力量！”学生活动：根据刚发现的规律，推断余数所有可能的值。通过辨析“余数能否等于或大于除数”，反向巩固对规律的理解。尝试有序地列出所有可能情况。即时评价标准：1.规律应用的正确性：能否依据“余数<除数”正确推断余数的取值范围。2.思维的全面性与有序性：能否找出所有可能的余数，而非随意列举。形成知识、思维、方法清单：▲规律的应用：能运用“余数<除数”的规律解决简单的逆向推理问题。●有序枚举：在寻找所有可能余数时，渗透有序思考的数学方法。教师提示：此任务是对规律的直接应用和检验，能有效甄别学生是否真正理解。第三、当堂巩固训练  设计分层、变式的训练体系，并提供及时反馈。基础层（全体必做）：1.圈一圈，填一填。提供如“16个草莓，每5个装一盘”的图示，让学生圈画并填写算式。2.判断改错。出示如“19÷3=5……4”的算式，让学生判断并说明理由。综合层（大部分学生完成）：情境应用题。如：“有23个小朋友乘车，每辆车限乘4人，至少需要几辆车？”引导学生理解“进一法”的实际意义，并列出算式。挑战层（学有余力选做）：开放探究题。“在一道有余数的除法算式中，除数是8，商和余数相同。请写出所有可能的被除数。”此题为后续学习铺垫。  反馈机制：基础层练习通过同桌互查、教师投影核对答案快速反馈。综合层练习选取不同解法的学生作品进行投影展示，重点讲评“至少需要几辆车”为何是商加1，而非直接看余数。挑战层题目请完成的学生分享思路，教师点明有序思考的价值，供全班借鉴。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。知识整合：“孩子们，这节课的探索之旅就要结束了。谁能用‘今天我知道了……’或者‘我发现了……的秘密’这样的句式，来分享一下你的收获？”鼓励学生从知识（余数、算式）、规律（余数比除数小）、方法（动手分、观察比）等多角度发言。教师可适时用简明的思维导图板书梳理（中心：有余数的除法；分支：意义、算式、关系）。方法提炼：“回想一下，我们是怎样发现‘余数比除数小’这个重要规律的？”引导学生回顾“动手操作记录算式观察比较总结规律”的探究路径。作业布置：公布分层作业（见第六部分），并建立联系：“下节课，我们将带着今天发现的‘秘密’，去解决生活中更多有趣的分物问题。课后大家可以提前找找，生活中还有哪些‘分不完’的事情。”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.课本对应页面的基础练习题。2.生活小调查：回家后，找一找家里分东西时“有剩余”的情况（如分水果、分筷子），并尝试用今天学的算式说给家人听。  拓展性作业（建议完成）：完成一份“我的分物日记”：画一幅图，表示一个有余数分物的情境（如：把13块饼干分给4个朋友），并配上正确的除法算式和一句解释的话。  探究性/创造性作业（选做）：思维挑战：用一些棋子摆一个有余数的除法算式。例如，摆出“被除数是（），除数是4，商是2，余数是（）”的实物图，你能摆出几种不同的情况？把你的摆法和算式记录下来。七、本节知识清单及拓展1.★余数的意义：在平均分一些物品时，有时会出现分到最后还有剩余，并且不够再分一份的情况，这个剩余的数就叫做余数。它是平均分物活动中的“剩余量”。2.★有余数除法的算式：写法为：被除数÷除数=商……余数。读作：几除以几等于几余几。例如：10÷3=3……1，读作10除以3等于3余1。3.★算式各部分与分物过程的对应：被除数是要分的物品总数，除数是要分的每份数（或平均分成的份数），商是分得的份数（或每份数），余数是分完以后剩下的数量。理解这种对应关系是正确解题的关键。4.★余数和除数的关系（根本规律）：在有余数的除法中，余数必须比除数小。即：余数<除数。这是由“分到不能再分为止”的操作定义决定的。5.▲规律的验证与解释：如果余数等于或大于除数，就意味着剩下的部分还能至少再分一份，这与“分到不能再分”矛盾。例如，11÷4=2……3，余数3<4；若写成11÷4=1……7，余数7>4，显然不对，因为剩下的7里还能分出1个4来。6.●有余数除法的读写易错点：余号是“……”六个点，位置在等号后，商之后。商和余数后面都要根据问题情境正确书写单位，两者单位可能不同。7.▲从操作到算式的抽象：数学建模思想的初步体现。将具体的分物动作（摆、圈）转化为抽象的数学符号（算式），是数学学习的重要能力。8.●“至少需要”问题（进一法）：在解决如租船、装盒等实际问题时，有时余下的部分也需要单独占用一个单位，这时商需要加1。例如：22人划船，每条船坐4人，需要几条船？22÷4=5（条）……2（人），剩下的2人也需要1条船，所以至少需要5+1=6条船。这与单纯看余数不同，需结合情境理解。9.▲找规律类问题：根据除数确定余数的可能值。例如，（）÷6中，余数可能是1、2、3、4、5。这是对“余数<除数”规律的直接应用，并能训练有序思考。10.★平均分是前提：所有关于有余数除法的讨论，都必须建立在“平均分”的基础上。如果不是平均分，就不能直接用除法算式表示。11.▲与整除除法的联系与区别：联系是都基于平均分，用除法计算。区别在于整除除法结果是“恰好分完”，余数为0；有余数除法是“分后有剩余”。可以把整除看作余数为0的特殊情况。12.●生活中的余数：体会数学与生活的联系。如日历中的星期循环、物品的包装、队伍分组等，都蕴含着有余数除法的原理。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和巩固练习反馈，绝大多数学生能正确读写有余数除法算式，并能解释算式含义。在发现“余数<除数”规律环节，约70%的学生能通过观察自主或经小组讨论后初步发现，但在解释“为什么”时，仍需教师引导和操作回溯才能透彻理解，这说明学生的抽象概括和因果推理能力仍处于发展阶段，规律的内化需后续练习持续强化。情感目标方面，学生在“分不完”的真实冲突和动手操作中表现出浓厚兴趣，小组合作有序。  （二）环节有效性评估：导入环节的生活情境和认知冲突迅速抓住了学生注意力，效果良好。新授的五个任务构成了有效的认知阶梯。任务一（动手分）和任务二（尝试记）搭建了从具体到符号的桥梁，但部分学生在尝试列式时暴露了新旧知识的混淆，此处停顿和对比讲解十分必要。任务三（变式练）是巩固书写规范的关键，但时间稍显紧张，个别学生书写仍需个别指导。任务四（发现规律）是本节课的高潮，讨论充分，但如何让更多学生（尤其是思维较慢者）参与规律的“再发现”而非“听结论”，是后续设计需优化处，可考虑提供更结构化的观察记录单作为支架。任务五（逆向用）有效检验了规律理解，挑战题也为学优生提供了思维空间。  （三）学生表现