2026高考数学概率统计专项训练与答题技巧

2026高考数学概率统计专项训练与答题技巧一、古典概型与几何概型（共3题，每题6分）第1题（6分）某城市地铁1号线和2号线相交于市中心站点，1号线每10分钟一班，2号线每8分钟一班。乘客随机到达该市中心站点，求乘客等待两趟地铁时间之和不超过10分钟的概率。第2题（6分）在一个边长为10米的正方形内随机取一点，求该点到正方形对角线距离小于3米的概率。第3题（6分）从装有3个红球、2个白球的袋中不放回地抽取3个球，求抽到2个红球和1个白球的概率。二、条件概率与独立性（共2题，每题7分）第4题（7分）某班级有男生30人，女生20人，其中会游泳的男生有18人，会游泳的女生有12人。现随机抽取一名学生，已知该学生会游泳，求该学生为男生的概率。第5题（7分）甲、乙两人独立投篮，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.6。求两人投篮至少有一人命中的概率。三、随机变量及其分布（共3题，每题8分）第6题（8分）某商店售出一件商品利润为10元的概率为0.6，亏损5元的概率为0.4。求售出一件商品利润的期望值。第7题（8分）某路口每分钟通过的车辆数服从泊松分布，平均每分钟通过2辆车。求1分钟内通过3辆车的概率。第8题（8分）已知随机变量X～N(μ,σ²)，且P(X≤μ+1)=0.8，求P(X≤μ-1)。四、离散型随机变量（共2题，每题9分）第9题（9分）某篮球运动员每次投篮命中率为0.8，求他连续投篮3次至少命中2次的概率分布列及期望值。第10题（9分）盒中有5个灯泡，其中2个是坏的，现随机抽取3个灯泡使用，求抽到坏灯泡个数的分布列及方差。五、正态分布与抽样分布（共2题，每题10分）第11题（10分）已知样本容量为n=16的样本来自正态总体N(50,100)，求样本均值落在45到55之间的概率。第12题（10分）设总体X～N(μ,16)，样本容量为n=25，样本均值为x̄，求μ的置信水平为95%的置信区间。六、统计推断与假设检验（共2题，每题10分）第13题（10分）某厂生产某种零件，已知正品率为95%。现随机抽取100个零件，发现有3个次品。检验该厂正品率是否仍为95%（α=0.05）。第14题（10分）某中学随机抽取30名学生测试身高，样本均值为170cm，样本标准差为5cm。检验该校学生平均身高是否为172cm（α=0.01）。七、实际应用题（共2题，每题12分）第15题（12分）某农场种植两种作物A和B，种植面积之比为3:2。作物A的产量服从N(1000,100²)，作物B的产量服从N(800,80²)。求随机选取1亩土地，其产量超过1100的概率。第16题（12分）某公司招聘员工，需通过两项测试。测试A合格率为70%，测试B合格率为80%，两项测试合格率相关系数为0.4。求随机一名应聘者通过两项测试的概率。答案与解析一、古典概型与几何概型第1题（6分）解：两趟地铁时间之和X～U[0,18]，P(X≤10)=10/18=5/9。解析：1号线周期10分钟，2号线周期8分钟，最小公倍数为40分钟，故两线重合周期为40分钟。在40分钟内，两线重合点有18个（10+8+10+10），等待时间≤10分钟的有10个，概率为5/9。第2题（6分）解：正方形对角线长10√2，对角线围成的区域面积为50π/2，正方形面积为100，概率为(50π/2)/100=π/4。解析：点到对角线距离小于3米的区域为两个相切圆，面积差为π(3²)/2，概率为(9π/2)/100=π/4。第3题（6分）解：总取法C(5,3)=10，抽到2红1白有C(3,2)×C(2,1)=6种，概率为6/10=3/5。解析：直接用组合数计算基本事件数，无放回抽取，古典概型公式应用。二、条件概率与独立性第4题（7分）解：P(男生|会游泳)=P(男生且会游泳)/P(会游泳)=18/(18+12)=18/30=3/5。解析：条件概率公式，先求联合概率再除以边缘概率。第5题（7分）解：P(至少一人命中)=1-P(均不命中)=1-(0.3×0.4)=0.88。解析：独立事件对立事件概率求解，先求补事件概率。三、随机变量及其分布第6题（8分）解：E(X)=10×0.6+(-5)×0.4=4。解析：离散型随机变量期望公式，直接加权求和。第7题（8分）解：P(X=3)=e⁻²×(2³)/3!=0.08。解析：泊松分布概率质量函数P(X=k)=e⁻λ(λ^k)/k!，λ=2。第8题（8分）解：P(X≤μ-1)=1-P(X>μ-1)=1-0.2=0.8。解析：正态分布对称性，μ为对称轴，P(μ-1<X<μ+1)=0.6，故P(X>μ-1)=0.2。四、离散型随机变量第9题（9分）解：分布列：P(X=0)=0.008，P(X=1)=0.096，P(X=2)=0.384，P(X=3)=0.512。E(X)=0×0.008+1×0.096+2×0.384+3×0.512=2.4。解析：二项分布B(n,p)，n=3,p=0.8，期望公式E=np=2.4。第10题（9分）解：分布列：P(X=0)=2/5，P(X=1)=8/15，P(X=2)=2/15。方差Var(X)=(0-2/3)²×2/5+(1-2/3)²×8/15+(2-2/3)²×2/15=4/9。解析：超几何分布，期望E(X)=n×K/N=3×2/5=6/5，方差Var(X)=n×K×(N-K)/N²(n+1)=4/9。五、正态分布与抽样分布第11题（10分）解：σ=10，标准误SE=x̄/√n=10/4=2.5，P(45≤x̄≤55)=P(17.5≤Z≤17.5)=0。解析：正态分布标准化，Z=(x̄-μ)/σ/√n，但区间概率为0，因μ=50。第12题（10分）解：t分布，自由度df=n-1=24，查表t₀.025,24=2.064，区间为(50-2.064×4/√25,50+2.064×4/√25)=(46.26,53.74)。解析：小样本均值区间估计，总体方差未知用t分布。六、统计推断与假设检验第13题（10分）解：原假设H₀：p=0.95，样本次品率p̂=0.03，Z=(p̂-p)/√(p(1-p)/n)=-4.47，拒绝H₀。解析：大样本比例检验，拒绝域Z<-1.645或Z>1.645。第14题（10分）解：原假设H₀：μ=172，t=(170-172)/(5/√30)=-2.31，拒绝H₀。解析：单样本t检验，拒绝域|t|>2.576。七、实际应用题第15题（12分）解：作物A产量Y～N(1000,100²)，P(Y>1100)=P(Z>1)=1-0.8413=0.1587。解析：正态分布标准化，先求Z值再查表。第16题（12分）