广西柳州市2025-2026学年度九年级(上)期末质量监测试题数学（原卷版+解析版）

柳州市2025-2026学年度九年级（上）期末质量监测试题数学（考试时间：120分钟，全卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分，请把选择题的答案填入下面的表格中）1.科技飞速发展时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元．下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A B. C. D.2.任意画一个三角形，其内角和是，这一事件是（）A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.确定事件3.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（）A. B. C. D.4.如图，在中，，则等于（）A. B. C. D.5.把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（）A. B.C. D.6.下列各点在反比例函数的图象上的是（）A. B. C. D.7.一元二次方程根的情况为（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.有两个正的实数根8.苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（）A.1 B. C.2 D.39.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（）A. B.C. D.10.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（）A. B. C. D.11.如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（）A.B.若点，在抛物线上，则C.D.对任意实数m，均成立12.如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（）A.4 B. C.2 D.二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）13.若点与点关于原点对称，则a的值为_____．14.如果关于x的一元二次方程的一根为，则另一根为________．15.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：投篮的次数投中的次数投中的频率这名球员投篮一次，投中的概率约是______（精确到）．16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____．三、解答题（本题共7小题，满分72分．解答题写出必要的文字说明、演算步理或推理过程）17.解一元二次方程：（1）；（2）．18.在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：作出关于原点成中心对称的，写出点的坐标________；作出绕点逆时针旋转的，写出点的坐标________．19.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性．（1）若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是；（2）若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．21.某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米，如图1所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系．（1）求上半部分抛物线的函数表达式；（2）有一辆宽3米，高米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中，，为三根承重钢支架，、在抛物线上，，在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？22.综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．【拓展应用】外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______．23.我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．（1）已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在平面直角坐标系网格内，坐标分别为，请你写出三个D点坐标，使得四边形是3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上（_____，____），（_____，____），（_____，____）；（2）如图2，长方形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；（3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．柳州市2025-2026学年度九年级（上）期末质量监测试题数学（考试时间：120分钟，全卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分，请把选择题的答案填入下面的表格中）1.科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元．下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A．不中心对称图形，故A不符合题意；B．不是中心对称图形，故B不符合题意；C．是中心对称图形，故C符合题意；D．不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：C．2.任意画一个三角形，其内角和是，这一事件是（）A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.确定事件【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了不可能事件以及三角形内角和定理，正确掌握各种事件的定义是解题关键．把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，直接利用三角形内角和定理，结合不可能事件的定义分析得出答案．【详解】解：任意画一个三角形，其内角和是，则内角和为这一事件是不可能事件，．故选：B．3.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据概率的计算公式即可求解．【详解】解：小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为．故选：C．4.如图，在中，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.【详解】解：∵，∴故选：C5.把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可．【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为：，故选：D．6.下列各点在反比例函数的图象上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上的点，解题关键是明确反比例函数图象上的点的横纵坐标乘积等于比例系数k，据此逐项判断即可．【详解】解：∵，，，，∴在反比例函数的图象上，故选项B符合题意，故选：B．7.一元二次方程根的情况为（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.有两个正的实数根【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况即可．【详解】解：一元二次方程根的判别式，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：A．8.苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键．根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，由此即可求解．【详解】解：正六边形，点为中心，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，故选：A

．9.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：，故选：D．10.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查基本作图、三角形内心：三角形三条内角平分线的交点，根据内心的定义判断即可．【详解】A、一条是内角平分线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意；B、两条均为内角平分线，根据三角形内心是角平分线的交点，可以利用直尺成功找到三角形内心，选项符合题意；C、两条线均为边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意；D、一条是边的高线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意；故选：B．11.如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（）A.B.若点，在抛物线上，则C.D.对任意实数m，均成立【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解．【详解】解：抛物线与轴相交于点，，对称轴是直线．．．又图象可得，，，．，故A正确，不符合题意；抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又，，故B错误，符合题意；∵函数图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴，故C正确，不符合题意；对称轴是直线，且抛物线开口向上，当时，取最小值为．对于任意的，当时，函数值．，故D正确，不符合题意；故选：B．12.如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可．【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，，∴，，∴，设，∴，∴，解得：，过作于，∴，∴，∴，∴；故选：D二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）13.若点与点关于原点对称，则a的值为_____．【答案】2【解析】【分析】根据关于原点对称点的特点，求出a的值即可．【详解】解：∵点与点关于原点对称，∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称点的特点，14.如果关于x的一元二次方程的一根为，则另一根为________．【答案】3【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．【详解】解：设方程的另一个根为，则，解得：，故答案为：3．15.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：投篮的次数投中的次数投中的频率这名球员投篮一次，投中的概率约是______（精确到）．【答案】【解析】【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中概率为．故答案为：．16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了等边对等角，含角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每旋转4次点B回到初始位置是解题关键．利用已知条件，先求出点B的坐标，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，从而将旋转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果．【详解】解：如图，过点B作轴于点C，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，，，∴，由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，，，∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了，由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时，故答案为：

．三、解答题（本题共7小题，满分72分．解答题写出必要的文字说明、演算步理或推理过程）17.解一元二次方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果．【小问1详解】解：，，或，，；【小问2详解】解：，，，或，，．18.在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：作出关于原点成中心对称的，写出点的坐标________；作出绕点逆时针旋转的，写出点的坐标________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征分别写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，于是可得到△A2B2C2，再写出点C2的坐标．【详解】解：(1)如图,为所作，点的坐标为(4,−4)；(2)如图,为所作，点的坐标为(1,4)．故答案为(4，4)，(1，4)．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，熟悉掌握是关键．19.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性．（1）若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是；（2）若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．（1）根据概率公式直接求解；（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．【小问1详解】解：慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：列表如下：

ABCDA

B

C

D

∴共有12种可能结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的有2种，∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为．20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径是4.5【解析】【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵，∴，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴又∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，∵，∴四边形OGEC是矩形，∴，设⊙O的半径为x，Rt△CDE中，，∴，∴，，由勾股定理得，∴，解得：，∴⊙O半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．21.某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米，如图1所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系．（1）求上半部分抛物线的函数表达式；（2）有一辆宽3米，高米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中，，为三根承重钢支架，、在抛物线上，，在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？【答案】（1）抛物线的表达式为（2）消防车能正常进入（3）仅钢支架一项，最多需要花费910元‌【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．（1）根据所建坐标系知顶点和与y轴交点E的坐标，可设解析式为顶点式，进行求解，由城门宽度为4米知x的取值范围是；（2）根据对称性当车宽3米时，x＝，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论；（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点B的坐标，表示三段的长度从而得出表达式．【小问1详解】解：由题意知，抛物线的顶点，设抛物线的表达式为，抛物线过点，，，抛物线的表达式为，即；【小问2详解】解：由题意知，当消防车走最中间时，进入可能性最大，即当时，，消防车能正常进入；【小问3详解】解：设B点的横坐标为m，的长度为l，由题意知，即，，，当时，l最大，且，费用为（元），答：仅钢支架一项，最多需要花费910元．22.综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．【拓展应用】外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______．【答案】（1）；4；2；（2）不能，见解析；（3），8；（4）【解析】【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题．（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解；（2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解；（3）由直线与反