广西崇左市2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

高一数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“”的否定为（）A. B.C. D.2.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.3.若，且，则的最小值为（）A.36 B.12 C.9 D.184.“”是“不等式对恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.6若，则（）A.2 B. C. D.7.若函数为偶函数，则的值可能为（）A. B. C. D.8.某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（）A.5 B.6 C.7 D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知幂函数，则下列说法正确的是（）A B.C. D.的图象经过第三象限10.已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.C.图象的对称轴方程为D.的单调递增区间为11.已知函数，，则下列结论正确是（）A.是奇函数B.，C.若，则为定值D.若是三条边的边长，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.集合的元素个数为______，子集个数为______．13.为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示：年度碳排放量区间收费标准不超过24000吨0元／吨（使用免费基准配额）超过24000吨但不超过36000吨部分65元／吨（按市场均价购买）超过36000吨的部分90元／吨（惩罚性溢价）若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元．14.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）若角的终边经过点，求；（2）计算：.16.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.已知函数.（1）设的图象恒过点，求点的坐标；（2）试判断的奇偶性，并说明理由；（3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围.18.已知函数．（1）若的定义域为，求的值．（2）当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）若在上单调，求的最小值．19.已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点．（1）求的长度及的值；（2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围；（3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围．高一数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定得出选项.【详解】“”的否定为.故选：B.2.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用幂函数的单调性，结合零点存在定理即可得解.【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增，则至多有一个零点，又，，所以在上有且只有一个零点，即的零点所在的区间为.故选：C.3.若，且，则的最小值为（）A.36 B.12 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】直接使用基本不等式即可得解.【详解】因为，且，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为18.故选：D4.“”是“不等式对恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先利用二次不等式恒成立求得等价条件，再利用集合与充要条件的关系即可得解.详解】对于“不等式对恒成立”，有，解得，因为是的真子集，所以“”是“不等式对恒成立”的充分不必要条件.故选：A.5.如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知为半径，求解扇形面积再减去的面积即可.【详解】由题意知圆心与弧的中点恰好重合，则和互相垂直平分，由，且即知为等腰直角三角形，故四边形是正方形，因为半径，，所以.阴影部分的面积为扇形面积减去的面积，即，故选：B.6.若，则（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切即可求解.【详解】因为，所以，所以.故选：A7.若函数为偶函数，则的值可能为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简，然后根据奇偶性列方程即可得解.【详解】，因为为偶函数，所以，即，当时，A正确，经检验BCD都不满足.故选：A8.某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】依题意列出不等式再由对数运算法则计算，解不等式可得结果.【详解】设过滤次后杂质含量为，初始杂质含量为，每次过滤后杂质含量变为过滤前的，，要求，列不等式：变形得：两边取对数：，，代入不等式：，化简得：为整数，故.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知幂函数，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.的图象经过第三象限【答案】AB【解析】【分析】根据幂函数的定义，可得到关于的方程，进而求得的值，再根据的值逐一分析选项.【详解】因为函数为幂函数，所以，解得，所以选项A正确，选项B正确；由，得，所以选项C错误；又，所以其图象不经过第三象限，所以选项D错误.故选：AB10.已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.C.图象的对称轴方程为D.的单调递增区间为【答案】ABD【解析】【分析】根据图象得到函数的解析式判断A，再根据平移规律得到的解析式判断B，根据余弦函数的对称轴和单调递增区间判断CD.详解】由图可得，由得，对于A，由得，因为，所以，A正确；对于C，由上述过程可知，令得，所以图象的对称轴方程为，C错误；对于B，因为将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以，B正确；对于D，令，得，所以的单调递增区间为，D正确；故选：ABD11.已知函数，，则下列结论正确的是（）A.是奇函数B.，C.若，则为定值D.若是三条边的边长，则【答案】ACD【解析】【分析】根据奇函数定义可判断A；根据奇偶性和复合函数单调性判断的单调性，结合对称性和可判断B；利用对称性可判断C；先判断的单调性，然后结合三角形构成条件即可判断D.【详解】对A，因为恒成立，所以的定义域为，又，所以，所以，所以是奇函数，正确；对B，因为是奇函数，所以，所以，因为在上单调递增，且恒成立，所以由复合函数单调性可知在上单调递增，又因为为奇函数，所以在上单调递增，由平移变换可知在上单调递增，因为当时，恒成立，所以，所以，所以恒成立，错误；对C，由可知，当时，，所以，正确；对D，因为在上单调递增，且为增函数，所以在上单调递增，若是三条边的边长，则，所以，正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.集合的元素个数为______，子集个数为______．【答案】①.②.【解析】【分析】先利用自然数的概念及集合中满足的条件，确定集合中的元素，再利用集合的子集个数计算公式即可求解.【详解】，为自然数，故当时满足条件，故集合的元素个数为，子集个数为.故答案为：①；②13.为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示：年度碳排放量区间收费标准不超过24000吨0元／吨（使用免费基准配额）超过24000吨但不超过36000吨的部分65元／吨（按市场均价购买）超过36000吨的部分90元／吨（惩罚性溢价）若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元．【答案】【解析】【分析】算出年度碳排放量，然后结合收费标准计算即可.【详解】由题知，该数据中心年度碳排放量为，因为，所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元.故答案为：14.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据单调性性质可知在内单调递减，结合题意可知函数在上是单调递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为在定义域内单调递减，且在内单调递增，可知在内单调递减，又因为在定义域内单调递增，且在内单调递增，可知在内单调递增，可知在内单调递减，由题意可知：函数在上是单调递减，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）若角的终边经过点，求；（2）计算：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正切函数的定义及终边上的点求得，再由诱导公式求函数值；（2）应用指数幂和对数的运算性质化简求值即可.【详解】（1）由题设，则；（2）由.16.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据角的象限，利用同角三角函数的平方关系直接计算可得；（2）利用两角差的余弦公式直接计算即可；（3）利用二倍角公式展开，然后将代入的值即可得解.【小问1详解】因为，且，所以，.【小问2详解】由（1）可得.【小问3详解】由（1）可得：.17.已知函数.（1）设的图象恒过点，求点的坐标；（2）试判断的奇偶性，并说明理由；（3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）函数是奇函数，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）由，代入计算即可求解.（2）根据奇函数定义判定即可；（3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解，【小问1详解】令，则，可得，故函数的图象恒过点；【小问2详解】函数是奇函数，证明如下：由题意得函数的定义域为，且，因为，即，所以函数是奇函数；【小问3详解】当时，函数，不等式在上恒成立，即当时，，因为在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减，当时，函数有最大值，即，所以的取值范围为.18.已知函数．（1）若的定义域为，求的值．（2）当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）若在上单调，求的最小值．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由对数函数定义域可得的解集为，然后利用韦达定理求解即可；（2）转化为函数的最大值大于，结合二次函数性质列不等式组求解可知；（3）根据复合函数单调性列出关于的不等式组，利用放缩放求解即可.【小问1详解】由题可知，的解集为，所以0和3是方程的两根，由韦达定理得，即.【小问2详解】当时，，要使在内存在最大值大于1，只需函数的最大值大于.则，即，无实数解，故不存在实数，使得在内存