2026年中考数学二轮复习难点题型突破课件：操作探究型问题

操作探究型问题操作探究型问题特征：操作探究型问题是通过图形的折叠、旋转、轴对称与图形剪

拼，探究图形性质的问题.类型：（1）折叠型问题.（2）旋转型问题.（3）分割与拼接型问题.解题策略：通过猜想和验证，或者是建立数学模型，运用观察、操作、联

想、推理、概括等多种方法得到结论或解决问题.类型之一折叠型问题1.

［2025•南充］在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上

异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点

P处.【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，

求证：FP＝FC.

图1（1）证明：如答图1，连接EF，答图1由折叠可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE.

∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°.∵E为BC的中点，∴BE＝EC，∴PE＝EC.

又∵EF＝EF，∴Rt△EPF≌Rt△ECF（HL），∴FP＝FC.

（1）证明：如答图1，连接EF，答图1由折叠可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE.

∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°.∵E为BC的中点，∴BE＝EC，∴PE＝EC.

又∵EF＝EF，∴Rt△EPF≌Rt△ECF（HL），∴FP＝FC.

【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4.在点E移动的过

程中，求PM的最小值.图2解：（2）∵AP＝AB＝10，在点E移动的过程中，AP＝10不变.∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上.如答图2，连接AM，答图2解：（2）∵AP＝AB＝10，在点E移动的过程中，AP＝10不变.∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上.如答图2，连接AM，当点P在线段AM上时，PM有最小值.∵AD＝17，AB＝CD＝10，CM＝4，∴DM＝6，

图2【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4.在点E移动的过

程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求

BE的长.图2解：（3）如答图3，过点P作PH⊥AD于点H，延长HP交BC于点G，连

接PD，NP，答图3解：（3）如答图3，过点P作PH⊥AD于点H，延长HP交BC于点G，连

接PD，NP，∵∠NPD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝∠2.∵∠PHN＝∠DHP，∴△PHN∽△DHP，

∵AN＝4，AD＝17，∴DN＝13.设HN＝x，HD＝13－x，∴AH＝x＋4，HP2＝x（13－x）.∵AB＝10，∴AP＝AB＝10.图2∵HP2＝AP2－AH2，∴HP2＝102－（x＋4）2，∴x（13－x）＝102－（x＋4）2，解得x＝4，∴HP＝6，AH＝8，HG＝AB＝10，PG＝4，BG＝AH＝8.设BE＝m，则PE＝m，GE＝8－m，在Rt△PGE中，PE2＝EG2＋PG2，∴m2＝（8－m）2＋42，解得m＝5，即BE的长为5.图22.

从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的

同学运用这一方法探究矩形的折叠.已知矩形纸片ABCD中，点P为射线

AB上一点，将△APD沿DP折叠得到△MPD，点A的对应点为M，延长

DP，DM交直线BC于点Q，N.

【尝试初探】已知AD＝6，AB＝8，（1）如图1，若点B与点N重合，求线段AP的长度；图1

解：（1）①∵AD＝6，AB＝8，

由折叠得DA＝DM＝6，AP＝MP，∴MN＝DN－DM＝4.∵PN＝AN－AP＝8－MP，∴在Rt△PMN中，PM2＋MN2＝PN2，即PM2＋42＝（8－PM）2，解得PM＝3，∴AP＝PM＝3.

图2解：（2）情况一，如答图1，点P在线段AB上，答图1

∵AD＝6，DC＝AB＝8，

∵∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADP＝∠APD＝45°，由折叠得∠MDP＝∠ADP＝45°，∴∠ADM＝90°＝∠ADC，∴点M在DC上，DN与DC重合，∴DN＝DC＝8.图2情况二，如答图2，点P在线段AB的延长线上，答图2

情况二，如答图2，点P在线段AB的延长线上，答图2

作NE⊥DQ于点E，则∠NED＝90°，

综上所述，DN的长为8或10.图2

备用图

（3）拓展延伸：①当点P在线段AB上，且∠PNQ＝90°时，如答图3，

此时B和N重合，

由∠ADP＝∠PDN＝∠Q得，

答图3②当点P在线段AB上，且∠NPQ＝90°时，如答图4，由∠ADP＝∠PDN＝∠Q得，BQ＝DN，答图4②当点P在线段AB上，且∠NPQ＝90°时，如答图4，由∠ADP＝∠PDN＝∠Q得，BQ＝DN，答图4∵∠NPQ＝90°，∴NP⊥DQ，∴DP＝PQ.

∵∠A＝∠PBQ，∠APB＝∠BPQ，∴△ADP≌△BQP（AAS），∴AD＝BQ.

令AD＝1，则AB＝k，BQ＝1，

③当点P在AB延长线上，此时Q和N都在射线PC上，如答图5，答图5∵∠PBN＝90°，且∠PQN＞∠PBN＝90°，∴△PNQ是钝角三角形，不可能为直角三角形，故此情况不存在.

③当点P在AB延长线上，此时Q和N都在射线PC上，如答图5，答图5∵∠PBN＝90°，且∠PQN＞∠PBN＝90°，∴△PNQ是钝角三角形，不可能为直角三角形，故此情况不存在.

类型之二旋转型问题3.

［2025•河南模拟］【综合与实践】如图，△ABC是等边三角形，点D是射线AC上的一个动点，连接BD，

将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，连接CE，DE.

【观察发现】（1）∠BDE＝

°，∠BCE＝

°；6060（2）当点D在线段AC时上，请判断线段AB，CD，CE三条线段之间的

数量关系，并说明理由；解：（2）AB＝CD＋CE，理由如下.∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBE，DB＝EB，∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE，∴AB＝AC＝AD＋CD＝CE＋CD.

解：（2）AB＝CD＋CE，理由如下.∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBE，DB＝EB，∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE，∴AB＝AC＝AD＋CD＝CE＋CD.

【迁移探究】

备用图解：（3）如答图1，当点D在线段AC上时，过点D作DH∥AB，交CB于

点H.

答图1解：（3）如答图1，当点D在线段AC上时，过点D作DH∥AB，交CB于

点H.

答图1∵CE＝3CD，AD＝CE，∴AD＝CE＝3CD，∴AC＝CB＝AB＝4CD.

∵DH∥AB，∵CE＝3CD，AD＝CE，∴AD＝CE＝3CD，∴AC＝CB＝AB＝4CD.

∵DH∥AB，备用图∴△CDH∽△CAB，

设CD＝CH＝DH＝x，∴CE＝AD＝3x，AC＝CB＝AB＝4x.∵∠ABC＝∠BCE＝60°，∴AB∥CE.

∵DH∥AB，∴DH∥CE，∴△DFH∽△EFC，

备用图答图2

如答图2，当点D在线段AC的延长线上时，过点D作DH∥AB，交CB于点H，答图2

4.

［2024•东营］在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3.【问题发现】（1）如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接

AD，BE，线段AD与BE的数量关系是

，位置关系

是

⁠.图1BE＝3AD

AD⊥BE

（1）【解析】如答图1，延长DA交BE于点H.

答图1∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，

∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，（1）【解析】如答图1，延长DA交BE于点H.

答图1∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，

45°，∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，∴∠EHA＝90°，∴AD⊥BE，故答案为BE＝3AD，AD⊥BE.

∴∠EHA＝90°，∴AD⊥BE，故答案为BE＝3AD，AD⊥BE.

【类比探究】（2）将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接

AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一

致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由.图2解：（2）线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由

如下.答图2如答图2，延长DA交BE于点H.

∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，解：（2）线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由

如下.答图2如答图2，延长DA交BE于点H.

∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，

∴BE＝3AD.

∵∠CEB＋∠ENH＝∠CDA＋∠CND＝90°，∴∠EHD＝90°，∴AD⊥BE.

【迁移应用】（3）如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB

边上时，连接BE，求线段BE的长.图3解：（3）如答图3，过点C作CN⊥AB于点N.

答图3解：（3）如答图3，过点C作CN⊥AB于点N.

答图3∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，

∵CN⊥AB，∴∠ANC＝90°＝∠ACB.

又∠A＝∠A，

∴△ACN∽△ABC，

∵AC＝DC，CN⊥AB，

图3类型之三分割与拼接型问题5.

［2025•深圳］综合与探究.【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个

四边形.图1图2【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的

角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰

三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，

AC＝AD，∠D＝∠BAC.

此时，四边形ABCD是“双等四边形”，

△ABC是“伴随三角形”.

【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝

∠BAC.

图3（1）AD与BC的位置关系为

⁠；（2）AC2

AD•BC.

（填“＞”“＜”或“＝”）AD∥BC

＝

【方法应用】（3）如