新人教版六年级下册比例及鸽巢问题教学设计

第九课时学习内容：成正、反比例的量练习课（练习九第8-16题）教学目标：1、进一步理解反比例的意义,会熟练判断两种相关联的量是否成比例,成什么比例。2、灵活运用多种方法(列表,关系式,画图等),判断两种量成什么比例。3、培养学生分析判断以及说理能力，进一步渗透函数思想。学习重点：进一步认识正、反比例的意义，能根据相关条件直接判断两种量成什么比例，提高判断成正比例、反比例量的能力。学习难点：能根据相关条件直接判断两种量成什么比例，提高判断成正比例、反比例量的能力。学习过程：一：基本练习（一）判断下面每题中的两种量是成正比例还是成反比例？1．速度一定，路程和时间。2．正方形的边长和它的面积。3．生产总时间一定，生产一个零件所用时间和零件总数。4．中国儿童报的订数和钱数。二、引导练习这节课我们要通过比较弄清成正、反比例的量有什么相同点和不同点。出示表格：表一：路程/时间4080160200时间/（时）1245表二：速度120906040时间34691．说一说。提问：从表1中，你怎样发现速度是一定的？根据什么判断路程和时间成正比例？从表2中，你怎样发现路程是一定的？根据什么判断速度和时间成反比例？2．想一想：路程、速度和时间这三个量中每两个量之间有什么样的比例关系？学生汇报：速度×时间=路程师：当速度一定时，路程和时间成什么比例关系？当路程一定时，速度和时间成什么比例关系？当时间一定时，路程和速度成什么比例关系？3．比较正比例和反比例关系。通过前面的例子，比较正比例关系和反比例关系。你能写出它们的相同点和不同点吗？学生同桌或前后桌讨论，教师提问并板书如下：相同点：都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。不同点：正比例：两种量中相对应的两个数的积一定。关系式X×Y=K（一定）三、完成练习九第8~16题引导学生独立完成，对学有困难的学生进行指导。第十课时学习内容：比例尺（教材53页的内容）学习目标：1、让学生在实践活动中体验生活中需要比例尺。2、通过观察、操作与交流，体会比例尺实际意义，了解比例尺的含义。3、运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题。学习重难点：运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，体会比例尺的实际意义，学会解决生活中的一些实际问题。学习过程：一、 训练铺垫，情境导入老师为了考考大家，给同学们出个脑筋急转弯：一只蚂蚁不到20秒钟从西安爬到了北京，你知道为什么吗？生思考回答：在地图上。师：那么大的地方可以用一幅地图来体现出来，这里运用了什么知识？这就是本节课我们要学习的内容。（板书课题）二、明确目标，探究新知1、通过预习，我知道了一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的（）。比例尺的表示形式有（）比例尺和（）比例尺。2、为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是（）的形式。三、合作交流，发现规律1、出示例1、在学生理解题意后提问：题目要求我们写出几个比？这两个比分别是哪两个数量的比？什么是图上距离？什么是实际距离？2、探索写图上距离和实际距离的比的方法。提问：图上距离和实际距离单位不同，怎样写出它们的比？引导学生通过交流，明确方法：先要把图上距离和实际距离统一成相同的单位，写出比后再化简。（学生独立完成后，展示、交流写出的比，强调要把写出的比化简。）3、揭示比例尺的意义以及求比例尺的方法。谈话：像刚才写出的两个比，都是图上距离和实际距离的比。我们把图书距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。提问：这张长方形草坪平面图的比例尺是多少？图上距离：实际距离=比例尺4、思考：比例尺能带单位名称吗？比例尺一定的情况下，图上距离和实际距离成什么关系？（1）比例尺与一般的尺不同，它是一个比，不应带有计量单位．（2）求比例尺时，前、后项的长度单位一定要化成同级单位．（3）比例尺的前项，一般应化简成“1”．如果写成分数的形式，分子也应化简成“1”．四、变式训练，巩固新知完成53页“做一做”五、课反馈思考，拓展应用说说本节课的收获。六、板书设计板书设计比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。比例尺的表示形式有：数值比例尺和线段比例尺。第十一课时学习内容：比例尺的应用（例2、例3）教学目标：1、联系学生的生活实际，理解比例尺的意义。根据比例尺的意义解决实际问题。2、体会比例尺在实际生活中的运用。结合实际，经历提出问题、分析问题、解决问题的过程，初步学会数学的思维方式，培养问题意识和解决问题的能力。3、让学生经历和体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受到比例尺的实用性和科学的探索方法。教学重难点：能按给定的比例尺求相应的实际距离及比例尺在生活实际中的运用。学习过程：一、训练铺垫，情境导入1.什么叫做比例尺？（板书：图上距离:实际距离=比例尺）2．说一说下列各比例尺表示的具体意义。（1）比例尺1：45000（2）比例尺80：1二、合作交流，发现规律1．教学例2。（1）观察教材例题及插图。（2）说一说从中你得到哪些信息。已知条件：①1号线从苹果园站至四惠东站的图上长度是7.8㎝；②这幅地图的比例尺1：400000。所求问题：1号线从苹果园站至四惠东站的的实际长度是多少（3）你认为可以用什么方法解决问题？①学生尝试解决问题。②教师巡视课堂，了解解答情况，并对个别学生进行指导，帮助他们找到解决问题的方法。③汇报解答情况。方程解：解：设地铁1号线从苹果园站至四惠东站的的实际长度是X厘米。根据图上距离：实际距离=比例尺，可以例比例式解答10/X=1/400000X=10×400000（问：根据什么？）根据比例的基本性质。X=40000004000000㎝=40㎞答：略算术解：根据：图上距离÷实际距离＝比例尺得出：实际距离＝图上距离÷比例尺10÷1/400000=10×400000=4000000（㎝）4000000㎝=40㎞答：略2、教学例3。（1）出示例题，学生了解题目要求。（2）讨论：你想怎样画？通过讨论，使学生进一步理解在绘制平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小，再画在图纸上。这时，就要确定；图上距离和相对应的实际距离的比。①确定比例尺1:10000；②求出图上的距离；③画出三家和学校的位置的平面图。（3）小组同学合作，解决问题。（4）汇报，交流。①小组派代表说明你的方案和结果。②选择合适的方案，展示结果，并说明解决方案三、变式训练，巩固新知1、完成54页“做一做”2、完成55页“做一做”四、课反馈思考，拓展应用五、板书设计第十二课时学习内容：图形的放大与缩小（例4及“做一做”）学习目标：1、了解图形放大与缩小的意义，能在方格纸上按一定的比例画出放大与缩小的图形；通过图形的放大与缩小体会图形的相似。2、通过观察、理解、动手操作等数学活动来体验图形放大与缩小的过程，掌握图形放大与缩小的方法。3、激发学生学习数学的兴趣和求知欲，使学生积极参与学习活动，在学习过程中感受成功的喜悦。学习重难点：理解图形的放大与缩小会把图形按一定的比例放大或缩小。学习过程：一、训练铺垫，情境导入1、看课本图片，你见过下面这些现象吗？这些现象中，哪些是把物体放大？哪些是把物体缩小？学生看图，汇报。2、像照像、用放大镜看书、投影仪放大图表、人和影子都是生活中放大与缩小的现象。今天我们就来研究这些图形是怎样放大或缩小。（板书课题：图形的放大与缩小）二、明确目标，探究新知学习例4：（按2：1画出下面三个图形放大后的图形。）①审题：从图中你获得什么信息？②小组讨论：按2∶1放大是什么意思？③画一画。请同学们在练习纸上画出放大后的图形。画完后小组里面比较一下，你们画的是不是一样，交流一下你们各是怎样画的？学生展示交流各自的画法。三、合作交流，发现规律重点评讲三角形的画法：按2∶1放大就是把图形的各边放大2倍，刚才同学们只把底和高放大2倍，斜边呢？（用尺子量一量）那你为什么不先画斜边？（斜边很难确定它的倾斜度。）小结：也就说按2∶1放大三角形，应先确定底和高，再画斜边。请同学们观察一下放大后的图形与原来的图形相比，你有什么发现？（图形的大小变了，形状没变。）你是怎么知道图形的大小没变的？如果把放大后的三个图形的各边按1：3缩小，图形又发生了什么变化？画画看。比一比，再发现：请同学们观察一下，这三组图形有什么相同的地方和不同的地方？（三组图形的大小不同，但形状相同。）下面请同学们打开书本59和60页，认真看看，你还想提出什么问题？四、变式训练，巩固新知把三角形按4∶1放大；把梯形按1∶4缩小。1、学生独立练习，在方格纸上作图。2、汇报画法。五、课反馈思考，拓展应用说说本节课的收获。六、板书设计第十三课时学习内容：用比例解决问题（例5及例6及“做一做”）学习目标：1、掌握用正比例、反比例知识解答含有正比例、反比例关系问题的步骤和方法。2、使学生熟练地判断两种相关联的量是否成正比例、反比例，从而加深对正比例、反比例意义的理解。3、发展学生探究解决问题策略的能力，帮助其构建相应的知识结构。学习重难点：1、判断题中相对应的两个量和它们的比例关系。2、利用正、反比例的关系列出含有未知数的等式，运用比例知识正确解决问题。学习过程：一、 复习铺垫，引入新课判断下面每题中的两种量成什么比例？（1）速度一定，路程和时间．（2）路程一定，速度和时间．（3）单价一定，总价和数量．（4）每小时耕地的公顷数一定，耕地的总公顷数和时间．（5）全校学生做操，每行站的人数和站的行数．二、探究新知1、教学例5。（1）学生再次读题，理解题意。思考和讨论下面的问题：①问题中有哪三种量？哪一种量一定？哪两种量是变化的②它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？③根据这样的比例关系，你能列出等式吗？（2）根据上面三个问题，概括：因为水价一定，所以水费和用水的吨数成正比例。也就是说，两家的水费和用水的吨数的比值是相等的。（3）根据正比例的意义列出方程：解：设李奶奶家上个月的水费是x元。28∶x=8∶108x=28×10x=28×10÷8x=353、教学例6（1）出示例6情境图，你能说出这幅图的意思吗？（指名回答）（2）学生根据例5的解题思路思考：题中已知两种量？什么是一定的？已知的两个量成什么关系？（3）学生独立解答。（4）指名板演，全班交流。三、拓展应用教材64页6、7题四、课堂总结今天这节课你有什么收获？能说给大家听听吗？用比例知识解决问题的关键是什么？五、作业设计教材64页8题、9题六、板书设计用比例解决问题一梳（梳理相关联的两种量）二判（判断相关联的两种量成什么比例）三列（设未知x，根据判断列出比例）四解（解比例）五检（用自己熟练的方法来检验）第十四课时学习内容：整理和复习及练习十二。学习目标1、使学生进一步理解比例的意义和性质，明确比和比例的联系与区别。2、使学生能正确地、熟练地解比例。3、使学生进一步理解、掌握正、反比例的意义，能正确进行判断。学习重难点：运用所学知识解决实际问题。学习过程：教师提出复习要求，学生整理知识点：一、比、比例的意义1．什么是比？2．什么是比例？比例的基本性质是什么？3．比和比例有什么联系和区别？二、解比例1．什么叫解比例？2．解比例是解方程吗？解方程也是解比例吗？为什么？3．解比例。完成65“整理与复习”第2题。三、正、反比例的意义1．什么叫成正比例的量和正比例关系？2．什么叫成反比例的量和反比例关系？3．比较正、反比例的相同点和不同点。4．你是如何判断两种量是否成正比例或反比例的？学生通过交流，概括出“一找、二想、三判断”。一找：哪两种相关联的量。二想：两种相关联的量的变化情况，写出关系式。三判断：联系关系式，看商一定还是积一定，判断成什么比例。5．完成65页“整理与复习”第3题。四、巩固练习1.判断下面各题中两种相关联的量是否成比例，如果成比例，是成什么比例？（1）每公顷产量一定，播种的公顷数和总产量。（2）总产量一定，每公顷产量和播种的公顷数。（3）一个人的年龄和他的体重。2．判断下面一些相关联的量成什么比例。为什么？（1）除数一定，（）和（）成（）比例。被除数一定，（）和（）成（）比例。（2）前项一定，，（）和（）成（）比例。后项一定，（）和（）成（）比例。3．引导学生总结判断规律：一列（列出乘除法算式）、二找（找出定量）、三判断（积一定，则一个因数另一个因数成反比例，商一定则成正比例）。4.深化练习（1）从汽油的千克数，行的千米数和行1千米的耗油量这三种量中，分别说出谁一定时，谁和谁成什么比例？（2）从每千克花生榨油千克数，花生的千克数和花生油的千克数这三种量中，分别说出谁一定时，谁和谁成什么比例？五、作业布置：完成练习十二第1、3题。六、板书设计：整理与复习一列（列出乘除法算式）、二找（找出定量）、三判断（积一定，则一个因数另一个因数成反比例，商一定则成正比例）第十五课时学习内容：自行车里的数学学习目标：1、是学生综合运用所学知识解决实际问题，经历“提出问题—分析问题—建立数学模型—求解—解释与应用”的问题解决的基本过程。2、使学生获得运用数学解决实际问题的思考方法，并加深对所学知识及其相互关系的理解。3、使学生体会数学与生活的广泛联系。学习重难点：通过实践活动，研究普通自行车的速度与其内在结构的关系，研究变速字形成能变化出多少种速度的组合数。学习过程：一、训练铺垫，情境导入师：同学们，我们学数学用数学，生活中处处有数学，你看我们这自行车里就有许多数学知识。今天我们就一起研究自行车里的数学。二、明确目标，探究新知了解自行车的结构和行进原理：师：同学们，谁知道自行车是怎么行进的？通过学生观察回答，教师总结提出结论：脚趾蹬一圈，前齿轮转一圈链条跟着前齿轮转动，后齿轮跟着链条转动，后轮跟着后齿轮转动。链条间的孔与前后两个齿轮的每个齿对应，前齿轮转过一个齿，后齿轮也一定转过一个齿。前齿轮转多少齿，后齿轮也转多少齿。③后齿轮转一圈，车轮转一圈。三、合作交流，发现规律提出问题：师：我们刚才了解了自行车行进的原理，哪么谁知道脚踏噔一圈，自行车能走多远呢？分析问题：让学生以小组为单位，讨论研究解决问题的立案。方案1：蹬一圈，量一下就知道了。方案2：通过车轮的周长乘上后齿轮转的圈数来计算蹬一圈自行车走的距离。师：怎样知道前齿轮转一圈，后齿轮转多少圈呢？怎么办？（学生再观察、讨论）建立数学模型蹬一圈自行车走的距离=车轮的周长×（前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数）例题1、求解：⑴如果前齿轮齿数为48，后齿轮齿数为19，车轮直径为71cm，哪么蹬一圈能走多少米？⑵如果前齿轮齿数为26，后齿轮齿数为16，车轮直径为66cm，哪么蹬一圈能走多少米？汇报交流总结：蹬一圈自行车走的距离与车轮直径、前、后齿轮的比值有关。3、研究变速自行车能变化出多少种速度。师：通过我们刚才的观察、研究，我们了解了自行车蹬一圈所走的路程等于自行车车轮的周长×（前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数）。车轮大小不变时，前后齿轮的齿数的比值越大，蹬一圈自行车走距离就越远，速度也就越快。而为适应各种需要，人们还发明了变速自行车。师：老师这辆变速自行车，有2个前齿轮和6个后齿轮，它能变化出多少种速度呢？学生讨论交流，完成书本第67面的表格，并回报情况。师：蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走的最远？结论：蹬同样的圈数，前后齿轮的齿数的比值越大，自行车走的最远。4、知识拓展：让学生自己提出一些自行车里的数学问题并解决它。如，让学生按由远到近（蹬同样的圈数，使车走距离）的顺序，将各种组合排序；如何使这辆变速自行车能变化出12种不同的速度等等。四、板书设计：自行车里的数学蹬一圈自行车走的距离=车轮的周长×（前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数）五、数学广角—鸽巢问题第一课时学习内容：鸽巢问题（教材第68-70页例1、例2，及“做一做”，及第71页练习十三的1-2题）学习目标：1、了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。学习重难点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。教学过程：一、创设情境，导入新知老师组织学生做“抢椅子”游戏（请3位同学上来，摆开2条椅子），并宣布游戏规则。师：象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来研究这个原理。板书课题：鸽巢问题二、合作交流，探究新知1、教学例1(观察例题1情境图）思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？（学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。）(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。(3)探究证明。方法一：用“枚举法”证明。方法二：用“分解法”证明。把4分解成3个数。由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。方法三：用“假设法”证明。通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。（4）认识“鸽巢问题”像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔„„小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。（5）归纳总结：鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。2、教学例2(观察例2情境图）思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。（1）探究证明。方法一：用数的分解法证明。把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。方法二：用假设法证明。把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）......1（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。（2）得出结论。通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。（1）用假设法分析。8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。（2）归纳总结：综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b（本）......1（本）或a÷3=b（本）......2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。三、巩固新知，拓展应用1、完成教材第70页的“做一做”。2、完成教材第71页练习十三的1-2题。四、课堂总结1、通过今天的学习你有什么收获？2、回归生活：你还能举出一些能用“鸽巢问题”解释的生活中的例子吗？五、板书设计第二课时学习内容：“鸽巢问题”的具体应用（教材第70页例3，及“做一做”，及第71页练习十三的3-4题。）学习目标：1、在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决简单的实际问题。2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。学习重难点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原理”进行反向推理。学习过程：一、创设情境、引入新课：师：一天晚上，有一个小女孩正要从抽屉里拿袜子。抽屉里有黑白两种颜色的袜子各10双。突然停电了。小女孩至少摸出多少只袜子，才能保证拿出相同颜色的袜子？（学生思考、发言。）师：学习了这节课我们就能解决类似的问题了。（板书课题）二、合作交流，探究新知（一）出示例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？1、学生提出猜想。2、用预先准备的学具，小组合作交流。3、小组反馈，师相机板书：4、得出结论：把颜色看作抽屉。（有两种颜色，只要摸出的球比他们的颜色至少多1，就能保证有两个球同色。）（二）研究规律师：如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，从盒子里摸出两个同色的球，至少要摸出几个球？分小组讨论后汇报。再出示“做一做”第2题，汇报后得出：问题结论只与球的颜色种数也就是抽屉数有关。小结：确定什么是抽屉什么是物体是解决抽屉问题的关键。三、巩固新知，拓展应用1、第70页“做一做”第1题。2、解决课前有趣的问题3、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸：（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？四、全课总结，畅谈收获1、通过今天的学习你有什么收获？2、回归生活：你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗？五、作业布置练习十三第3、4题。六、板书设计第三课时学习内容：“鸽巢原理”练习课（教材71页练习十三的