2026高一数学应用题（含答案）

试卷第=page1414页，共=sectionpages1515页试卷第=page1313页，共=sectionpages1515页应用题知识点一：基本不等式与二次函数1．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是台．2.近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.（1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，最小？求出的最小值；（3）要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围.【答案】（1）实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费，（2）当时，的最小值为（3）【解析】【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义；（2）变形得，再利用基本不等式即可；（3）由题意得到不等式，解出即可.【小问1详解】表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费．即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费．当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得：，则，.【小问2详解】，，当且仅当，即等号成立，的最小值为.【小问3详解】由题可知．即，解得，即的取值范围为.3近年来，某企业每年消耗电费22.5万元.为了节能减排，决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，并接入本企业电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是，k为常数），C（0）的实际意义是未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费.记F（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和.（1）求F关于x的函数关系式：（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）（2）当太阳能电池板安装78平方米时，最小值为56万元【解析】【分析】（1）由，得，从而可得F关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式求解即可.【小问1详解】由，得，所以【小问2详解】当且仅当时取等号所以当时，F取得最小值答：当太阳能电池板安装78平方米时，该企业安装太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和最小，最小值为56万元.4受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足（其中），已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）促销费用投入2万元时，厂家的利润最大为16万元.5．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足（，）.前40天价格为（，），后60天价格为（，）.试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系.6．如图，电路中电源的电动势为E，内电阻为r，为固定电阻，是一个滑动变阻器.当调至何值时，消耗的电功率P最大？最大电功率是多少？（提示：）7．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价；方案丙：第一次提价，第二次提价.其中，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？8如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为（1）设，试用表示AP，并求的取值范围；（2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？【答案】（1）（2）m时，取得最小值1200.【解析】【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围；（2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200.【小问1详解】依题意可得，所以，即，可得；因此，又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即，解得，即；【小问2详解】易知，所以由基本不等式可得；当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值1200；因此m时，取得最小值，最小值为1200.知识点二：指数，对数，幂函数1．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的75%，大约经过多少年，该物质的剩留量是原来的？（参考数据：，）2．已知镭经过100年剩留原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y的函数关系是怎样的？试写出.3.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0．25%，已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（其中e是自然数的底数，为常数，为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则___________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为___________.（参考数据：）【答案】(1).(2).114.2021年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5730年（即每经过5730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半）.则该遗址距今约（）（参考数据：lg）A.3200年 B.3262年 C.3386年 D.3438年【答案】D【解析】【分析】设时间经过了年，则，结合参考数据计算得到答案.【详解】设时间经过了年，则，即，.故选：D.5．一般地，海面上的大气压强是760，高空中因空气稀薄，大气压强就小于760，高度越高，大气压强越低，大气压强p（单位：）和高度h（单位：m）之间的关系为，其中e是自然对数的底数，k是常数.根据实验，已知500m高空处的大气压强是700.（1）确定关系式中的常数k；（2）求1000m高空处的大气压强；（3）如果高空某处的大气压强是560，那么该处的高度是多少？6．一种放射性元素，最初质量为1000g，按每年10%衰减.（1）写出x年后这种放射性元素质量y与x之间的函数关系式；（2）求这种放射性元素的半衰期（放射性物质的质量衰减为原来的一半所需要的时间）.（精确到0.1）7.为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量.这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位.已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：请从①；②；③中选择合适的两个确定关于的函数解析式，并求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳）【答案】解析式为①和②；时长为；【解析】【分析】根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式；再由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式即可得出结论.【详解】易知模型③在上单调递减，因此可排除；因为这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意；又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意；因此在时，，当时，；结合图象可知经过点；即，解得，即；函数经过点，即，解得，即；因此符合题意的两函数解析式为①和②；因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳，当时，令，解得；当时，令，解得；综上可得，当时，满足题意；因此该水域生态环境最佳的时长为.知识点三：三角函数1.《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（）A.100 B.110 C.120 D.130【答案】C【解析】【分析】利用扇形面积公式直接代入计算可得结果.【详解】易知扇形所在圆的半径为8步，因此这块扇形田的面积为平方步.故选：C2.人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（）A.50 B.70 C.90 D.130【答案】B【解析】【分析】根据频率公式进行计算.【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为.故选：B3.一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动3圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示建立平面直角坐标系，将点P到水面的距离z（单位：m．在水面下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，则______．【答案】【解析】【分析】先设，再利用题给条件求得各参数值，进而求得函数的解析式.【详解】设，水轮每分钟逆时针转动3圈，则函数的最小正周期为20s，则，由水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，可得，又，则，又，则，则故答案：4.一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P水面下方，距离水面2米D.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为【答案】ABC5.如图1，有一块半径为2（单位：）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.为了求出等腰梯形的周长（单位：）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：（1）小明的方案：设梯形的腰长为（单位：），请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；（2）小亮的方案：如图2，连接，设，请你帮他求与之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值.【答案】（1）；（2），且；【解析】【分析】（1）作,垂足为,连接,,继而可求得函数关系，利用二次函数的性质可求得最大值；（2）点作垂直于于点，,及，可求得函数关系，换元后利用二次函数的性质可求得最大值.【小问1详解】因为，作,垂足为,连接,则是直角，故,即，所以，则，依题意得，，故，其对称轴为，则时，.小问2详解】过点作垂直于于点，因为,,所以，又,所以，所以，则梯形的周长，且，设，则，对称轴为，所以，即时，.6．在图中，点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为5，周期为4s，且物体向右运动到平衡位置时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x（单位：）和时间t（单位：s）之间的函数关系；（2）求该物体在时的位置7.现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.（1）求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域；（2）求养殖面积的最小值，及此时的值；（3）若分别以为直径制作两个圆形遮阳蓬，求两