1.4+二次函数与一元二次方程的联系（课件）-2025-2026学年湘教版九年级数学下册

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件1.4二次函数与一元二次方程的联系第1章

二次函数授课教师：Home.

班

级：

九年级（---）班

.

时

间：.

2026年1月30日探究新知画出二次函数y=x2–2x–3的图象，你能从图象中看出它与x

轴的交点吗？二次函数y=x2–2x–3与一元二次方程x2–2x–3＝0有怎样的关系？

y=x2–2x–3二次函数y=x2-2x

-3的图象与x

轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.当x

＝-1时，y

＝0，即x2

-2x

-3＝0，也就是说，x

＝-1是一元二次方程

x2-2x

-3＝0的一个根.同理，当x

＝3时，y

＝0，即x2

-2x

-3＝0，也就是说，x

＝3是一元二次方程x2

-2x

-3＝0的一个根.

y=x2–2x–3一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c

＝0有两个不相等的实根x

＝x1，x

＝x2.观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9＝0和x2-2x+2＝0的根的情况.

y=x2-6x+9y=x2-2x+2观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9＝0和x2-2x+2＝0的根的情况.

y=x2-6x+9y=x2-2x+2说一说，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有几种？有两个不同的交点有两个重合的交点没有交点二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系ax2+bx+c=0的根抛物线

y=ax2+bx+c与x轴

△=b2–4ac

有两个不同实根有两个相同实根没有根有两个交点有一个交点没有交点△

>0△

=0△

<0求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）．分析

一元二次方程x2

－2x－1＝0的根就是抛物线y＝x2－2x－1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．【教材P25页】求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）．通过观察或测量，可得抛物线与x

轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，即一元二次方程x2

-2x

-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4．【教材P25页】求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）．我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.将二次函数y=x2

-2x

-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y

值列表如下：【教材P25页】如图，李东在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x

是铅球离初始位置的水平距离，y

是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？【教材P26页】（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？解（1）由抛物线的表达式得即x2

-6x+5=0，解得x1=1，x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得即x2

-6x+9=0，解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？（3）由抛物线的表达式得即x2

-6x+14=0，因为Δ=（-6）2-4×1×14=-20<0,所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.练习1.试判断下列抛物线与x

轴的交点情况：（1）y＝x2－x－2；（2）y＝9x2＋12x＋4；（3）y＝x2－2x＋3．解：（1）x2－x－2

=0，Δ=（-1）2-4×1×（-2）=9>0与x

轴有两个不同的交点.（2）9x2

+12

x

+

4

=0，Δ=（12）2-4×9×4=0与x

轴有一个交点.（3）x2

-2

x

+

3

=0，Δ=（-2）2-4×1×3=-8<0与x

轴没有交点.【教材P27页】2.用图象法求一元二次方程x2＋x－1＝0的根的

近似值（精确到0.1）．y=x2＋x－1

通过观察或测量，可得抛物线与x

轴的交点的横坐标约为－1.6或0.6，即一元二次方程x2

+x

-1=0的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6．【教材P27页】3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累积利润y

（万元）与销售时间x（月份）之间的关系.试根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）该公司第8月末所获利润是多少？（1）亏损期数是4个月，4月末开始盈利.（2）10月末累积利润可达到30万元.（3）第8月末利润是16万元.【教材P27页】返回B1．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为(

)A．直线x＝－4 B．直线x＝4C．直线x＝1 D．直线x＝－12．下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值：则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0.1)的是(

)A．3.0

B．3.1C．3.2

D．3.3C返回x…0.70.80.91.0…y…0.300.05－0.18－0.39…返回D5.已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则x1，x2，x3，x4的大小关系为___________．(用“<”连接)返回x1<x3<x4<x21，0，－1，28．已知抛物线y＝x2－(m＋n)x＋4m经过定点(4，8)，且当x取任意实数时，y的值始终为正数，则m

的取值范围为________________．9.现定义：对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”，若a≥0，则{a}＝a－1；若a＜0，则{a}＝a＋1.例如：{1}＝1－1＝0，{－0.5}＝－0.5＋1＝0.5.已知函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}，当直线y＝x＋b与该函数的图象有4个交点时，b的取值范围是(

)A．4≤b＜5 B．4＜b＜5C．4≤b≤5 D．b＞410．[2025武汉江夏区月考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(－2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p(p＜0)有整数解，则p的值有(

)A．2个

B．3个

C．4个

D．5个11．[2025遂宁]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b