65正态分布课件高二上学期数学北师大版选择性

§5第六章第

六

章：概

率正

态

分

布1.通过实例了解正态分布密度曲线及其特点，体现逻辑推理能力（重点）2.理解正态分布的意义，并且会用图象和函数的观点分析随机变量的分布情况，体会正态分布在实际应用中的广泛性，体现数学计算能力（重难点）学习目标

前面讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一一列举的．但在实际问题中，还有许多随机变量可以取某一区间中的所有值．例如：1.某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取区间(0,+∞)内的所有值．2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量，它可以取区间[0,b]或[0,+∞)内的所有值．怎样描述这样的随机变量的分布情况呢?情景导入设X表示某产品的寿命(单位：h).假设人们对该产品有如下了解：寿命小于500h的概率为0.71，寿命在500h~800h的概率为0.22，寿命在800h~1000h的概率为0.07，如何用直观的方式呈现其概率分布?可以用直方图表示概率分布，如下图．这个直方图的缺点是比较粗糙，没有告诉我们寿命在200h~400h的概率是多少？情景导入2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量，它可以取区间[0,b]或[0,+∞)内的所有值．继续细分：假设人们对该产品有进一步的了解：寿命在0~200h的概率为0.2，寿命在200h~400h的概率为0.32，寿命在400h~600h的概率为0.25，寿命在600h~800h的概率为0.16，寿命在800h~1000h的概率为0.07，如何用直观的方式呈现其概率分布？可以用直方图表示概率分布，如下图．情景导入......继续细分那么，什么曲线可以更好表示概率分布呢？为了完全了解产品寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数，记为f(x)．情景导入X取值于区间(a,b]的概率是该曲线下相应“曲边梯形”(如下图中的阴影部分)的面积．

人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量。最常见的连续型随机变量是由误差引起的。如图中的分布密度的图象：1.误差在0附近的概率大，远离0的概率小，误差大于0的概率与小于0的概率相同，即误差分析具有对称性2.连续随机变量X的分布密度函数曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线探索新知一、连续型随机变量1.定义：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图,对应的分布密度函数解析式为其中实数μ,σ(σ>0)为参数,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布,对应的图象为正态分布密度曲线,简称为正态曲线.探索新知二、正态分布

2.特点：

正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，也称误差模型，其特点如下：①

如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何一个实数a,b(a<b)，随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度函数在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值.②如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记作X~N(μ,σ2),其中EX=μ,DX=σ2.探索新知二、正态分布ab3.性质(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；(非负性)(2)曲线是单峰的，关于直线x=μ对称；(对称性)(3)曲线的最高点位于x=μ处；(集中性)(4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．(单调性)探索新知二、正态分布（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移.参数μ的含义：参数μ反映了随机变量取值的平均水平．μ（6）当μ一定时，曲线的形状σ由确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．正态分布随机变量X在区间(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率为阴影部分面积.3.性质探索新知二、正态分布典例讲解例1：根据正态曲线的函数解析式，找出其均值μ和方差σ。

μ=0,σ=1

变式训练：已知一个正态曲线如图所示，试根据该图象写出对应正态分布密度函数的解析式，并求其均值和方差.

典例讲解

AD

4.3σ原则的概念P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974,

因此，随机变量X在区间(μ-σ,μ+σ]，(μ-2σ,μ+2σ]，(μ-3σ,μ+3σ]上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%.探索新知二、正态分布

而随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ]外取值概率只有约0.3%，通常认为这种情况在一次试验中不可能发生.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布X~N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的值，并称之为3σ原则.例3:某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为：μ=500g，σ=lg．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理?解：检查员是有道理的，理由如下:

当该设备正常运行，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500g，σ=1g，所以根据正态分布的性质可知产品的质量在区间(μ-3σ,μ+3σ]，即(497,503]之间的概率约为99.7%，而产品的质量超出这个范围的概只有0.3%，这是一个几乎不可能发生的事件．典例讲解

但是，检查员随机抽取的产品为504g，这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的．深度思考：上面的例子反映了质量控制的基本思想，那么什么是质量控制呢？在产品生产过程中，假设生产过程是稳定的，则产品质量指标X~N(μ,σ2)．

当生产正常时，产品质量指标观测值应在区间(μ-3σ,μ+3σ]内，而一旦观测值取值于区间(μ-3σ,μ+3σ]外，则属于小概率事件，由小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的原理，我们有理由拒绝“生产过程稳定”的假设，即认为生产过程的稳定性遭到破坏，须采取措施，以确保生产正常进行，此即为质量控制的基本思想，其实质是一个假设检验问题．

在产品质量处于稳定的条件下，可利用质量控制及时发现问题，在生产实践中，通常使用既直观又简单的控制图去实施质量控制．典例