第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案

第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案1.某卫星在距地面高度h=600km的圆轨道上运行，地球半径R=6.37×10³km，地表重力加速度g=9.80m·s⁻²。(1)求卫星运行周期T；(2)若卫星发动机沿切向短暂点火，使其速度增加Δv=120m·s⁻¹，求新轨道的远地点高度h_f；(3)若欲使卫星直接返回地面，求所需最小速度减量Δv_min。【答案与解析】(1)由万有引力提供向心力：GMm/(R+h)²=m(2π/T)²(R+h)，又GM=gR²，代入得T=2π√[(R+h)³/(gR²)]=2π√[(6.97×10⁶)³/(9.80×(6.37×10⁶)²)]=5.80×10³s≈96.7min。(2)点火后速度v′=v+Δv，圆轨道速度v=√[gR²/(R+h)]=7.56×10³m·s⁻¹，v′=7.68×10³m·s⁻¹。新轨道半长轴a′由能量守恒：½mv′²−GMm/(R+h)=−GMm/(2a′)，解得a′=6.73×10⁶m。远地点半径r_a=a′(1+e)，而角动量守恒：(R+h)mv′=r_amv_a，联立得r_a=7.49×10⁶m，故h_f=r_a−R=1.12×10³km。(3)最小返回对应远地点恰为R，即半长轴a″=(R+h+R)/2，能量方程：½m(v−Δv_min)²−GMm/(R+h)=−GMm/(2a″)，解得Δv_min=v−√[2GM(1/(R+h)−1/(2a″))]=87m·s⁻¹。2.如图，长L、质量m的匀质细杆AB，A端用光滑铰链固定于天花板，B端靠在水平地面上，杆与地面夹角θ=60°。地面摩擦系数μ=0.30。现于B端施加水平向右的力F，使杆缓慢转动至θ=30°。(1)求F随θ变化的表达式；(2)求全过程F做的功W；(3)若突然撤去F，求杆落地瞬间角加速度β。【答案与解析】(1)设杆受地面支持力N、摩擦力f=μN，取A点为轴，力矩平衡：mg(L/2)cosθ=NLsinθ+fLcosθ，又水平力平衡：F+f=Ntanθ，联立得F(θ)=½mg(cosθ−2μsinθ)/(sinθ+μcosθ)。(2)功W=∫F·dx_B，x_B=Lcosθ，dx_B=−Lsinθdθ，θ:60°→30°，W=∫_{60°}^{30°}F(θ)(−Lsinθ)dθ=½mgL∫_{π/3}^{π/6}(2μsinθ−cosθ)sinθ/(sinθ+μcosθ)dθ=½mgL[μ(θ−½sin2θ)+cosθ]_{π/3}^{π/6}=0.186mgL。(3)撤F后，力矩方程：I_Aβ=mg(L/2)cos30°，I_A=⅓mL²，β=3gcos30°/(2L)=1.30g/L。3.如图，平行板电容器极板面积S，间距d，中间插入厚度t=d/3、介电常数ε=4ε₀的均匀介质板，介质与极板间留有空隙δ=d/15。极板带电量±Q。(1)求电容C；(2)求介质板所受净电场力F；(3)将介质板缓慢抽出δ，求外力做功A。【答案与解析】(1)系统等效为三个电容串联：空气δ、介质t、空气(d−δ−t)。C₀=ε₀S/d，C₁=ε₀S/δ=15C₀，C₂=4ε₀S/t=12C₀，C₃=ε₀S/(d−δ−t)=2.5C₀，总电容1/C=1/C₁+1/C₂+1/C₃=1/15+1/12+1/2.5，C=1.85C₀=1.85ε₀S/d。(2)介质内场强E₂=Q/(C₂t)=Q/(4ε₀S)，空隙场强E₁=Q/(C₁δ)=Q/(15ε₀S)，介质板上下表面受电场力差：F=½εE₂²S−½ε₀E₁²S=Q²/(32ε₀S)−Q²/(450ε₀S)=0.030Q²/(ε₀S)，方向向上。(3)抽出δ后空隙变为2δ，新电容C′=1.80C₀，能量变化ΔU=½Q²(1/C′−1/C)=−0.014Q²d/(ε₀S)，外力做功A=−ΔU=0.014Q²d/(ε₀S)。4.如图，半径r=2.0cm的薄壁圆筒，质量m=30g，均匀带电量q=+8.0×10⁻⁸C，静止于水平玻璃板上。空间有竖直向下匀强磁场B=0.50T。现给圆筒瞬时冲量，使其获得初速度v₀=1.2m·s⁻¹沿水平方向。(1)求圆筒运动后首次速度为零的时间t₁；(2)求圆筒运动过程中离出发点最远距离s_max；(3)求圆筒最终静止位置相对出发点的水平位移Δx。【答案与解析】圆筒滚动时，其表面电荷随筒转动，形成等效电流I=qω/(2π)，受磁力F=qv×B，对筒心产生力矩τ=−qBrv，由转动定律：I_cmβ=τ，I_cm=mr²，得β=−qBv/(mr)，又v=ωr，故a=−qBv/m，为线性阻尼，v(t)=v₀e^{−t/τ}，τ=m/(qB)=7.5×10²s。(1)首次速度为零对应t→∞，实际考虑滚动摩擦，设阻力矩τ_f=μmgr，当磁力矩等于τ_f时停止，qBrv_f=μmgr，v_f=μmg/(qB)=0.074m·s⁻¹，t₁=τln(v₀/v_f)=2.0×10³s。(2)位移s=∫vdt=v₀τ(1−e^{−t₁/τ})=0.86m。(3)最终静止时滚动摩擦耗散全部动能，Δx=½mv₀²/(μmg)=v₀²/(2μg)=0.073m。5.如图，折射率n=1.50的透明圆柱体，半径R=5.0cm，长L=20cm，一端磨成半径r=2.0cm的半球面。点光源S位于圆柱轴线上，距半球顶点d=3.0cm。(1)求像点S′位置；(2)若在圆柱另一端紧贴放置焦距f=8.0cm的薄凸透镜，求最终像S″位置；(3)若将圆柱体沿轴向切去厚度Δ=1.0mm，求S″的横向偏移δ。【答案与解析】(1)半球面折射公式：n₁/u+n₂/v=(n₂−n₁)/R，n₁=1，n₂=1.50，R=2.0cm，u=3.0cm，得v=9.0cm（在圆柱内）。(2)光线经圆柱直线传播至透镜，物距u′=L−v=11cm，透镜成像：1/u′+1/v″=1/f，v″=−19cm，即在透镜左侧19cm处，距圆柱左端1cm。(3)切去Δ后，等效光程增加(n−1)Δ=0.50mm，引起像移δ=(n−1)Δ·(v″/u′)=0.086mm向下。6.如图，截面积均匀的U形玻璃管，两竖直支管相距l=40cm，内装密度ρ=1.0×10³kg·m⁻³的液体，液柱总长度L=80cm。现对一支管施加瞬时横向冲量，使液面产生小振幅振荡。(1)求振荡周期T；(2)若同时在两支管加竖直磁场B=0.20T，液柱电阻率ρ_e=1.0×10⁻²Ω·m，截面积A=1.0cm²，求阻尼振荡的对数减缩Λ；(3)求液面速度减为初值1/e所需时间τ。【答案与解析】(1)恢复力F=−2ρgAx，等效质量m=ρAL，ω=√(2g/L)，T=2π√(L/(2g))=0.40s。(2)液柱运动产生电动势ε=Blv，电流I=ε/R，R=ρ_eL/A=10Ω，阻尼力F_d=BIl=B²l²vA/ρ_eL，阻尼系数γ=B²l²A/(ρ_eLm)=0.40s⁻¹，对数减缩Λ=γT/2=0.080。(3)τ=1/γ=2.5s。7.某理想气体经历如图所示循环：1→2绝热膨胀，2→3等压压缩，3→1等容加热。已知1态p₁=1.0×10⁵Pa，V₁=1.0×10⁻³m³，T₁=300K；2态V₂=3.0×10⁻³m³；3态p₃=p₂，V₃=V₁。(1)求2态温度T₂；(2)求循环效率η；(3)若将1→2改为多方指数n=1.20的过程，求新效率η′。【答案与解析】(1)绝热：T₂/T₁=(V₁/V₂)^{γ−1}，γ=1.40，T₂=300×(1/3)^{0.40}=193K。(2)吸热Q_in=C_V(T₁−T₃)，放热Q_out=C_p(T₂−T₃)，T₃=T₂(V₃/V₂)=193/3=64K，η=1−Q_out/Q_in=1−γ(T₂−T₃)/(T₁−T₃)=0.34。(3)多方过程：T₂′=T₁(V₁/V₂)^{n−1}=300×(1/3)^{0.20}=244K，Q_in′=C_n(T₁−T₃′)，C_n=C_V(γ−n)/(1−n)，η′=1−γ(T₂′−T₃′)/(T₁−T₃′)=0.28。8.如图，光滑水平导轨上放质量m=50g、电阻R=0.20Ω的金属杆，导轨间距l=20cm，区域内有竖直向上匀强磁场B=0.50T。杆初速v₀=2.0m·s⁻¹向右，导轨一端接C=500μF的电容器，初始不带电。(1)求杆速度v随时间t变化关系；(2)求杆所能到达的最远距离s；(3)若将电容器换为R₀=0.30Ω的电阻，求杆发热量Q。【答案与解析】(1)杆动生电动势ε=Blv，电容器电压U=ε，电流I=−CdU/dt=−BlCdv/dt，杆受力F=−BIl=B²l²Cdv/dt，由牛顿第二：mdv/dt=−B²l²Cdv/dt，解得v(t)=v₀e^{−t/τ