《4.4.3不同函数增长的差异》教案

第四章指数函数与对数函数4.4.3不同函数增长的差异

一、教学目标1.能够利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长方式进行比较，体会它们的增长差异；2.理解“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”的含义；3.体会函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识基本初等函数与现实世界的密切联系，及其在刻画现实问题中的作用.

二、教学重难点重点：一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.难点：函数增长快慢的因素.

三、教学过程（一）导入新课师生活动：教师提出问题，引导学生结合初中学习的函数知识进行回顾与思考.思考：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一:每天回报40元；方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？教师说明：这个问题涉及了不同函数增长的比较，我们今天就来研究三种不同函数-----一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.设计意图：通过实际问题引入课题，激发学生的学习兴趣.（二）探究新知任务1：探究指数函数与一次函数增长方式的差异.探究1：画出函数y=2x与y=2x在区间师生活动：教师提出问题，学生自主探究.作出图象后，师生合作观察、研究函数y=2x与y=2x在区间0,1，答：列表，画图如下：通过图象可以看到，函数y=2x与y=2x有两个交点1,2，2,4.在区间0,1上，函数y=2x的图象位于y=2x的图象之上，2x>2x；在区间1,2上，函数y=2x的图象位于y=2x的图象之下，2x<探究2：为了突出增长的差异，在更大的范围内观察这两个函数的增长情况.师生活动：教师指导学生列表，画图，师生再次合作观察、研究函数y=2x与答：列表，画图如下：通过图象可以看到，虽然函数y=2x与y=2x在区间0,+∞上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y=2x设计意图：通过数形结合，让学生直观感受一次函数和指数函数的增长差异.总结：一般地，指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似，即使k的值远远大于a注意：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长.师生活动：教师再出示几个函数实例来说明.设计意图：通过实例，推导出结论，培养学生分析、推理的能力.任务2：探究对数函数与一次函数增长方式的差异.探究：画出函数y=lgx，y=1师生活动：教师提出问题，学生自主探究，教师引导学生进行分析.师生合作观察、研究函数y=lgx，答：列表，画图如下：观察图象可知，虽然函数y=lgx，y=110x在区间(0,+∞)上都单调递增，但增长速度存在明显的差异：函数y=110x的增长速度保持不变，而y=lg思考：如果将y=lgx放大1000倍，再对函数y=1000lg答：仍保持上述规律，如下图所示：设计意图：类比前面的探究过程继续学习，学生易于接受，并能够较快得出正确的结论，提高学生类比学习的能力.师生活动：师生共同总结一次函数和对数函数增长方式的差异.总结：一般地，虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.即使k的值很小，在一定范围内，logax可能会大于kx注意：对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.设计意图：培养学生归纳总结的能力.任务3：探究一次函数、对数函数、指数函数的增长差异师生活动：教师出示问题，学生自主探究.探究1：画出一次函数y=2x，对数函数y=lg答：作图如下：随着x的增大，①y=2x在(0,+∞②y=2x在(0,+∞③y=lgx在探究2：试概括一次函数y=kx(k>0)，对数函数y=logax答：在区间(0,+∞)上，随着①y=kx(k>0)保持固定的增长速度；②y=log③y=bx(b>1)增长得越来越快.探究3：讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.答：直线上升→匀速增长；对数增长→缓慢增长；指数爆炸→增长越来越快.应用说明：1.当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；2.当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型；3.当变化趋势稳定、平稳，选用一次函数模型.设计意图：通过对本节课进行总结性探究，加深学生对一次函数、对数函数、指数函数增长差异的认识.（三）应用举例例1：在同一坐标系内画出下列函数的大致图象，并比较它们的增长情况.y=0.1ex−100y=20y=20x师生活动：教师出示例题，让学生自主解答，并比较它们的增长情况.解：三个函数的大致图象如下图所示.由图象可以看到，函数y=0.1ex−100以“爆炸”式的速度增长；函数y=设计意图：通过例题让学生进一步熟悉不同函数的增长情况.例2：函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两个函数的图象交于点A((1)请指出图中曲线C1，C2(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g

分析：（1）随着自变量x的增大，图象位于上方对应的函数是指数函数f(x)=2x，另一个图象对应的函数就是幂函数g解：（1）当x充分大时，位于上方的图象对应的函数是指数函数f(x)=2x，另一个函数就是幂函数g(x)=x3，

∴曲线C1对应的函数为（2）∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，∴1<x1<2∴x从图象上可以看出，当x1<x<x2当x>x2时，∴f(2020)>g(2020).又∴f(2020)>g例3：某公司2024年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份23456月收入(万元)1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司2024年月收入y(万元)与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y=x1(1)你认为哪个函数模型较好？并说明理由．(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据：lg2≈0.3010，分析：(1)

确定自变量与函数值之间的关系，将这些点描到坐标系中，发现这些点更与哪一个函数吻合是解决本题的关键．

(2)选择出好的模型之后利用方程思想求出相应的自变量，注意指数式与对数式的互相转化．解：(1)画出散点图，如图：由图可知点(2,1.4),(3,2.56),(4,5.31),(5,11),(6,21.30)基本上是落在函数y=2x3的图像的附近，

因此用函数y=2x3这一模型较好．

(2)当2x∴x>2+lg3lg2≈2+0.4771设计意图：通过例题，帮助学生进一步理解不同函数模型的增长差异，并发展学生的数学建模、解模及数学运算等核心素养.（四）课堂练习1.下列函数中随着x(x>1)的增大，函数值的增长速度最快的是(

)A.y=4lgx B.y=x4 C.解：当x>1时，随着x的增大，指数函数增长最快，幂函教其次，对数函数最慢，

故函数y=4×3x的增长速度最快．

故选2.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好(

)

A.指数函数：y=2t B.对数函数：y=log2t

解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，∴图象由指数函数来模拟比较好，

故选：A．3.当a>1时，有下列结论：①指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快;

②指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快;

③对数函数y=logax，当a越大时，其函数值的增长越快;

④对数函数y=A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解：当a>1时，

结合指数函数及对数函数的图象可知，指数函数y=ax，当对数函数y=loga x故①④正确．故选：B4.下表为2018年−2022年的中国数字经济规模(单位：万亿元):年份20182019202020212022年份代码x12345中国数字经济规模y31.335.839.245.550.2则下列所给函数模型中比较适合这一数据关系的是(

)A.y=2x+30 B.y=30+log2(x+1)

C.y=28×(98)x D.y=2x+30

解：对于y=2x+30，当x=5时，y=40，与50.2相差较大;

对于y=30+log2(x+1)，当x=5时，y<33，与50.2相差较大;

对于y=2x+30，当x=55.函数f(x)=lgx，g(x)=0.3x−1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2(2)比较两函数增长速度的差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g曲线C2对应的函数为(2)当