云南省腾冲市第一中学2026届高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

云南省腾冲市第一中学2026届高二数学第一学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A. B.C. D.2．不等式的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.3．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（）A. B.C. D.4．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.105．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.26．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A或1 B.或C. D.17．圆（）上点到直线的最小距离为1，则A.4 B.3C.2 D.18．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切 D.外离9．设数列、都是等差数列，若，则等于（）A. B.C. D.10．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内的极大值点有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个11．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.12．若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（）A.相交 B.相切C.相离 D.不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.14．已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双曲线的离心率是______15．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.16．已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.问题：已知为数列的前项和，，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小19．（12分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由21．（12分）如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值22．（10分）2021年11月初某市出现新冠病毒感染者，该市教育局部署了“停课不停学”的行动，老师们立即开展了线上教学．某中学为了解教学效果，于11月30日复课第一天安排了测试，数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的统计图：（1）根据统计图填写下面列联表，是否有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学的时长不超过1小时25每天在线学习数学的时长超过1小时总计45（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，按分层抽样的方法抽取5名，再从这5名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过1小时的概率附：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则所以所以椭圆上点P到直线的最短距离为故选：A2、B【解析】解不等式，由此判断必要不充分条件.【详解】，解得，所以不等式的一个必要不充分条件是.故选：B3、D【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.【详解】由题意，设抛物线标准方程为，所以，解得，所以抛物线标准方程为.故选：D4、A【解析】由已知设双曲线方程为：，代入求得，计算即可得出离心率.【详解】双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，设双曲线方程为：，代入得：，.所以双曲线方程为：..双曲线C的离心率为故选：A5、B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.6、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时，直线过原点，；当截距不为零时，，.综上：或.故选：A.7、A【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题8、C【解析】将圆的一般方程化为标准方程，根据圆心距和半径的关系，判断两圆的位置关系.【详解】圆的标准方程为，圆的标准方程为，两圆的圆心距为，即圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，故选：C.9、A【解析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.【详解】设等差数列的公差为，即，由于数列也为等差数列，则，可得，即，可得，即，解得，所以，数列为常数列，对任意的，，因此，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.10、B【解析】利用极值点的定义求解.【详解】由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极大值点有2个，故选：B11、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.12、B【解析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线，因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径，所以动圆与直线相切.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【详解】由是等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为：.14、3【解析】如图利用条件可得，，然后利用双曲线的定义可得，即求.【详解】如图设双曲线的右焦点为，线段PF的中点为M，连接，则，又直线PF的斜率为，∴在直角三角形中，，∴，∴，即，∴.故答案：3.15、【解析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积【详解】由已知可得则故答案为：.16、【解析】当点和都在圆的内部时，结合点与圆的位置关系得出实数m的取值范围，再由圆心到直线的距离大于半径得出实数m的取值范围.【详解】当点和都在圆的内部时，，解得或直线的方程为，即圆心到直线的距离为，当圆心到直线的距离大于半径时，，且.综上，实数m的取值范围为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.小问1详解】由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；若选③：由，即，所以数列的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以数列等差数列，所以.18、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可【小问1详解】由题意得解得a＝2，c＝1，从而，所以椭圆C的方程为【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），则，，故，即∠PFQ＝90°当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，直线MA的方程为，令x＝4，得，即，同理可得所以，因为0，所以∠PFQ＝90°综上，∠PFQ＝90°19、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，，由解得与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值【小问2详解】由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点【小问3详解】设，①若，则，符合题意②若，则，故当时，，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，解得③若，则，故当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意综上，的取值范围是【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题，以及含参存在问题，属于难题.20、（1）（2）存在，【解析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线与的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.【小问1详解】（1）则，，，，故C的方程为：；【小问2详解】假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，，，，，所以Δ>0y1+即或，，，则，，使得直线与的斜率互为倒数.21、（1）（2）8【解析】（1）由抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，即可求得抛物线的方程；（2）设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，得到直线AB的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，解得，所以抛物线C的方程为【小问2详解】解：由（1）可知焦点为F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB斜率为k，则直线CD的斜率为，所以直线AB的方程为，联立方程，消去x得，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，因为M(