广东省广州市南沙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省广州市南沙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（

）A. B. C. D.2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列事件中，属于必然事件的是（）A.明天不会下雨

B.掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2

C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯

D.圆中最长的弦是直径4.如图，是的直径，是的弦，，则为（

）

A. B. C. D.5.如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（

）

A. B. C. D.6.一元二次方程的根的情况是（

）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.有一个根为17.已知点，，都在反比例函数图象上，则（

）A. B. C. D.8.自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（

）

A. B. C. D.9.已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（

）A. B. C. D.10.抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（

）

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.二次函数y=x2-4x+3的顶点坐标是

.12.已知一元二次方程的两个实数根分别为，则

．13.中国传统折扇展开形状近似扇形，如图一扇子完全打开后，扇骨，扇形的面积是，则这把扇子外边缘的长是

．（结果保留）

14.列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到

km/h．

15.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为

．

16.如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是

．

三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题3分)解方程：．18.(本小题3分)如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的．

19.(本小题6分)电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：

(1)第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为

；(2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．20.(本小题6分)为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米．

(1)设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是

米（用含x的代数式表示）；(2)求车道的宽．21.(本小题6分)在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值．22.(本小题6分)如图1，是的直径，是的一条弦，于H，连接．

(1)求证：；(2)如图2，连接，延长至点F，使得，求证：为的切线．23.(本小题8分)如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．

(1)请写出：点坐标为

，点坐标为

，点的坐标为

；(2)观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围；(3)连接，求面积．24.(本小题6分)中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】问题情境图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，，杯体近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度．任务一如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体的抛物线解析式．任务二如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）．①求此时杯里水面的宽度CH；②求此时杯里水的最大深度．25.(本小题8分)如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，．

(1)如图1，连接，若，，①的度数为______；②如图2，射线与的平分线相交于，求的长；(2)如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】（2，-1）

12.【答案】-2

13.【答案】

14.【答案】240

15.【答案】7

16.【答案】①③④．

17.【答案】解：∴或，∴，．

18.【答案】解：如图所示，即为所求．

19.【答案】【小题1】​​​​​​​【小题2】解：如图：共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种，∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为．

20.【答案】【小题1】​​​​​​​【小题2】解：由题意得，，整理得，解得或（舍去），答：车道的宽为3米．

21.【答案】【小题1】解：把代入，得，解得，∴；【小题2】∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，∴，解得或．

22.【答案】【小题1】证明：如图所示，连接，∵是的直径，是的一条弦，，∴，∴，∵，∴；

【小题2】证明：如图所示，连接，

∵是的直径，是的一条弦，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵是的直径，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．

23.【答案】【小题1】​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​【小题2】解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且，∴；【小题3】解：如图，取中点，连接D．

∴是的中位线，∴．，∵轴，∴轴.对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为，∴，，∴．

24.【答案】解：任务一：∵，，∴，∵，∴，∴，设抛物线的解析式为，把代入得：，解得，∴杯体的抛物线解析式为．任务二：①∵，，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，把，代入得，，解得，∴直线的解析式为，联立方程组，解得，，∴，∴，∴杯里水面的宽度为．②将直线：向下平移得到直线：，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线与轴交于点，过点作于，联立，得：，∵只有一个交点，∴，解得，∴直线的解析式为，∴，∴，∵，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴杯里水的最大深度为．

25.【答案】【小题1】解：①四边形是正方形，，，，，，，，是等边三角形，，；②∵∴∵，是的平分线∴垂直平分∴∴如图，连接，在中，∵是等边三角形，∴设，则，在中，∴解得：（负值舍去）∴方法二，如图，过点作于点，同理可得，∵是等边三角形，∴