模块04 数列与平面向量（原题版）

模块04数列与平面对量一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（

）

A． B． C． D．3．（24-25高三上·辽宁·期末）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（

）A． B． C． D．4．（2025·山东淄博·二模）已知等比数列则（）A．8 B．±8 C．10 D．±105．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知平面对量满足：，则（

）A． B． C．2 D．6．（2025高三·全国·专题练习）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．3 B．18 C．54 D．1527．（2025·江苏南通·模拟猜测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为，且，，则的值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则10．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知向量，，满足，，，则（

）A． B．当时，C．当时， D．在上的投影向量的坐标为11．（2025·湖北黄冈·二模）数列满足：，则下列结论中正确的是（

）A． B．是等比数列C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2025·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为．13．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式.14．（24-25高三上·上海奉贤·期中）意大利有名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾认真思考女人脖子上黑色项链的外形，这就是有名的悬链线外形问题.后续的数学家对这一问题不断争辩，得到了一类与三角函数性质相像的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2025项和四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2025高三·全国·专题练习）已知平面上肯定点和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：的任一条直径，求的最值．16．（24-25高三上·天津和平·期末）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，.(1)求数列，{}的通项公式；(2)求；(3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有.17．（24-25高三上·福建龙岩·期中）阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试依据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．(1)若AD=BC=3，求的值；(2)若，，求的值．18．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)当时，数列满足，求证：；(3)若对任意正整数都有成立，求正实数的取值范围．19．（23-24高三下·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面对量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个重量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公