大题培优02 数列综合大题归类（ 11大题型）（原卷版）

大题培优02数列综合大题归类名目TOC\o"1-1"\h\u【题型一】“函数型”裂项求和：基础型 1【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型 2【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型 3【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和 3【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型 4【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型 5【题型七】递推公式：分式型不动点 5【题型八】插入数型 6【题型九】数列跳项型 7【题型十】证明数列不等式 7【题型十一】新结构第19题型：差分密码型 8【题型一】“函数型”裂项求和：基础型基础原理：，如：；基本题型：①；②；留意（避开掉坑）①分母分解因式：；②系数不相同就提系数：；③求和化简时，要写到“前三后二”，并且肯定要强调每项加括号，这样简洁观看剩余的时首尾项（或正负项）对应.(1)；（2）；（3）；（4）；分式型分子裂差法形如型，假如，则可以分子裂差：1.（22·23·龙岩·二模）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．(1)求数列的通项公式；(2)令，证明：．2.（22·23·秦皇岛·模拟猜测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)数列的前项和为，求证：.3.（2025下·福建·高三校联考开学考试）已知正项数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合．【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型指数裂项法形如型，假如，则可以分子裂差：1.（2025·广西玉林·校联考模拟猜测）记为数列的前项和，已知，．(1)证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．2.（2025上·海南海口·高三校考阶段练习）在数列和中，，且是和的等差中项.(1)设，求证：数列为等比数列；(2)若的前n项和为，求证：.3.（2025上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)记，求数列的前项和．【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型正负型：等差裂和型形如型，假如，则可以分子裂差：1.（2025·河北唐山·三模）设为数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.2.（2025·江苏镇江·二模）已知数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.3.（2025·湖南永州·三模）记正项数列的前项积为，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，求数列的前项和.【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和正负型：指数裂和型形如型，假如，则可以分子裂和：1.（23·24上·湖北·期中）已知为等比数列，且，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围.2.（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；(2)令，求的前n项和.3.（22·23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型仿写规律：①（可通分反解）；②（可通分反解）1.（23·24上·甘南·期中）在数列中，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前项和为，证明：.2.（23·24上·合肥·阶段练习）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.3.（23·24上·昆明·阶段练习）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型常见的三角函数裂项：1.正切型裂项：若（特殊角），则，；2.正余弦和与差公式应用裂项型：1.（2025·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前100项和．2.（22·23高三上·山东济宁·期中）已知，抛物线与x轴正半轴相交于点A，在点A处的切线在y轴上的截距为(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．3.（22·23上·芜湖·期末）已知是数列的前项和，．且(1)求的通项公式；(2)设，已知数列满足，求的前项的和【题型七】递推公式：分式型不动点已知分式一次型数列递推关系求通项的问题解法：法一，化归法.当时，递推关系两边取倒数，再裂项构造即可；当时，为了保持取倒数后分母全都性，通常可以令，可由解得的值，即可得到构造方向，通过这样的转化将问题又化归为的情形再求解.法二，特征根法求解.先构造特征方程，解方程得根，若，则为等比数列；若，则为等差数列.1.（22-23高三·河南·阶段练习）已知数列满足．(1)证明：数列是等差数列；(2)证明：．2.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，且，求数列的通项公式.3.（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足性质：对于且求的通项公式.【题型八】插入数型插入数型1.插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：2.插入数构成等比数列在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解个数构成等比数列，公差记为，所以：3.插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列供应了多少项，其余都是插入进来的。1.（2025·全国·武钢三中校联考模拟猜测）已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.(1)求，的通项公式；(2)若数列满足，将中的项按原有挨次依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.2.（2025·上海虹口·华东师范高校第一附属中学校考三模）若数列满足（n为正整数，p为常数），则称数列为等方差数列，p为公方差．(1)已知数列的通项公式分别为推断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且，求正整数m的值；(3)在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，，求数列中前50项的和．3.（·江苏南京南京外国语学校校考）设等比数列的前项和为；数列满足（，）．（1）求数列的通项公式；（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，符到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的全部正整数．【题型九】数列跳项型1.（湖北省黄冈中学第三次模拟考试理科数学试题）设是等差数列，是等比数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和为，求.2.（宁夏银川一中2025届高三上学期第三次月考数学（文）试题）.已知数列的前项和为，，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)选取数列的第项构造一个新的数列，求的前项和．【题型十】证明数列不等式数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个亲密联系：一是数列和函数之间的亲密联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是争辩函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行机敏的处理．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行精确     的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．解决数列与函数、不等式的综合问题要留意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特殊重视；(2)解题时精确     构造函数，利用函数性质时留意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩．1.（2025上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）数列的前n项和，已知，，k为常数.(1)求常数k和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，证明：2.（2025上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）为数列的前项和.已知，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和为，证明.3.设数列的首项（1）求的通项公式；（2）设，证明：，其中为正整数.【题型十一】新结构第19题型：差分密码型关于新定义问题的常见思路为：（1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等；（2）新定义问题要与平常所学学问相结合运用；（3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类争辩的时机.1.（2025·贵州·三模）差分密码分析（DifferentialCryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观看密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.假如的一阶差分数列满足，则称是“确定差异数列”；假如的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”.(1)设数列，推断数列是否为“确定差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；(2)设数列的通项公式，分别推断是否为等差数列，请说明理由；(3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.2.（2025·辽宁葫芦岛·一模）大数据环境下数据量积累巨大并且结构简单，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前n项和为．(1)求；(2)是否存在不同的实数，使得，，成等差数列？若存在，求出全部的；若不存在，说明理由；(3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．3.（20