重难点2-2 抽象函数的综合性质应用（10题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

重难点2-2抽象函数的综合性质应用三年考情分析2025年考向猜测近三年高考中抽象函数的性质考查主要集中在选择题和填空题中，间或也会在解答题中消灭．题目难度从基础到较难不等，涉及多种函数性质的综合应用，且难度逐年上升，题目更加留意综合推理力量，常结合导数、不等式等学问点进行考查．估计2025年高考中，抽象函数的性质仍将以选择题和填空题的形式消灭，且可能作为压轴小题。题目将连续考查同学的综合推理力量．可能消灭创新题型，如结合实际问题或新定义的函数性质进行考查．题型1抽象函数的定义域求解1、已知fx的定义域，求fgx的定义域：若fx的定义域为a,b，则fgx中a≤g2、已知fgx的定义域，求fx的定义域：若fgx的定义域为a,b，则由a≤x≤b确定3、已知fgx的定义域，求fhx的定义域：可先由fgx定义域求得f4、运算型的抽象函数：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．留意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是x的取值范围，同一个f下括号内的范围是一样的．1．（24-25高三上·福建三明·月考）已知函数的定义域是，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函数的定义域是，即，则；对于函数，可知，解得，所以函数的定义域为.故选：C.2．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·月考）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函数的定义域是，所以，所以y=fx的定义域为，又由于，即，所以，所以函数的定义域为.故选：A.3．（24-25高三上·安徽亳州·月考）函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于的定义域为，故，因此的定义域满足，解得且，故定义域为，故选：C4．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为．【答案】.【解析】由于函数的定义域是，所以，故，由于有意义，所以，所以，所以函数的定义域为2,3.题型2抽象函数的值域求解抽象函数的值域求解通常需要机敏运用多种方法．可以利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来推断值域；通过赋值法代入特殊值或参数简化问题；借助数形结合法直观观看函数图像的特征；或者利用不等式、导数等工具争辩函数的极值和最值．此外，还可以通过构造具体函数模型、分别常数、整体代换等技巧来求解值域．1．（23-24高三上·上海·月考）已知函数的值域为，则函数的值域为.【答案】【解析】函数的图象是通过一下操作得到的：首先将函数上全部点的横坐标缩小到原来的得到，然后将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，以上操作过程中不转变函数图象的“高度”，也就是说函数的值域和函数的值域一样，都是.故答案为：.2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，可知，又由于为奇函数，且连续不断，则，则，且，可知，由奇函数对称性可知：时，，且，，所以在定义域的值域为.故选：B.3．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】令，则，令有，又，所以，令，所以，所以，设，则，所以，所以，则，故在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为.故选：D.4．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，将置换解得：，，设当时，当时，，又由于，当时，取得最大值，，即函数最大值为，故选：B.题型3抽象函数的函数值求解以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值，常用赋值法来解决．常见的赋值状况：（1）第一层次赋值：经常令字母取等；（2）其次层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，依据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）．1．（24-25高三上·江西·月考）已知函数的定义域为，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【解析】令，则.故选：A2．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令可得，即，解得，令，可得，则，令，可得，则，令，可得，可得，因此，.故选：C.3．（24-25高三上·广西·月考）已知函数的定义域为，，且，则（

）A．−2 B． C． D．【答案】B【解析】由于，令，则，即，由于，所以，令，则，即解得，则即故选：B.4．（24-25高三上·河南·期中）已知函数的定义域为，且，，设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，令，得，即，令，得，即，令，得，即，令，得，即，同理可得，，，，则.故选：C.题型4抽象函数的解析式求解=1\*GB3①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)．=2\*GB3②凑合法：在已知f(g(x))=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(x)表示的代数式，再利用代换即可求fx；=3\*GB3③待定系数法：已知函数类型,设定函数关系式,再由已知条件，求出出关系式中的未知系数．=4\*GB3④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式．=5\*GB3⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发觉规律，求出f(x)的表达式．=6\*GB3⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如f(x),f(−x))，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f(x)的解析式．1．（24-25高三上·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为．【答案】【解析】是定义在R上的函数，且对任意恒成立，令，得，即．故答案为：2．（24-25高三上·福建泉州·模拟猜测）已知函数满足，若，则（

）A．25 B．125 C．625 D．15625【答案】C【解析】解法一：由题意取，可得即知则.解法二：令，则，所以，即，所以，则.解法三：由可构造满足条件的函数，可以快速得到.故选：C.3．（23-24高三下·四川德阳·模拟猜测）已知函数的定义域为，且，则（

）A．0 B．1 C．2025 D．2025【答案】D【解析】令可得，所以，再令x=0可得，即①，将上式中的全部换成可得②，联立①②可得,所以，故选：D4．（24-25高三上·全国·专题练习）（1）已知定义在R上的函数满足，求的解析式．（2）若满足关系式，求的解析式．（3）已知定义在R上的奇函数与偶函数满足关系式，求与的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）用代替已知条件中的，得．联立方程组，消去，得．（2）用代替已知条件中的，得．联立方程组，消去，得．（3）用代替已知条件中的，得．由是奇函数，是偶函数，得．联立方程组，解得.题型5抽象函数的单调性问题推断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论．（2）赋值：给变量赋值要依据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试．=1\*GB3①若给出的是“和型”抽象函数，推断符号时要变形为：或;=2\*GB3②若给出的是“积型”抽象函数，推断符号时要变形为：或．1．（23-24高三下·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在R上单调递增D．函数在上单调递增【答案】C【解析】由于是奇函数，且在区间上单调递增，所以在上也为单调递增函数，对于A：不妨令，，所以在单调递减，在单调递增，故A错误；对于B：不妨令，，所以在单调递增，在单调递减，故B错误；对于C：，其定义域为，又，所以是奇函数，取，则，，故所以，则函数在为递增函数；所以函数在也为递增函数，且当时，，所以在R上单调递增，故C正确；对于D：不妨令，，由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误；故选：C.2．（24-25高三上·全国·专题练习）定义在R上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（

）A．先单调通减后单调递增 B．在R上单调递增C．在R上单调通减 D．单调性不确定【答案】B【解析】任取，令，则，由于，所以，所以，所以在R上单调递增.故选：B.3．（24-25高三上·全国·专题练习）函数的定义域为，且对一切都有，当时，有．(1)求的值；(2)推断的单调性并证明；【答案】(1)0；(2)在上是增函数，证明见解析【解析】（1）．（2）在上是增函数．证明：设，则由，得，由于，所以．所以，即，即在上是增函数．4．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且.(1)求的值；(2)求在上的最值．【答案】(1)，；(2)，.【解析】（1）令，则，∴，∵，∴.（2）令，则，∴，∴，∴是奇函数，∴，∴，任取，，∵，∴，∴，即，∴在上为减函数，∵在上为减函数，∴，.题型6抽象函数的奇偶性问题推断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最终只保留和的关系．【留意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律．（1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等；（2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等；（3）通过各类抽象函数的式子来积累肯定的赋值技巧．1．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，函数的定义域为R，若“y=fx有，即“为偶函数”.若“为偶函数”，如，则为偶函数，不能得到“y=所以“y=fx2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【解析】由于，所以令，可得，令，则，所以，则既不是奇函数又不是偶函数，且，所以是奇函数.故选：C3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）（多选）已知函数的定义域为，则（

）A． B．C．是偶函数 D．是奇函数【答案】ABD【解析】令，可得，故A项正确；令，可得，令，可得，则，故B项正确；由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确.故选：ABD4．（24-25高三上·全国·专题练习）（1）已知函数，x∈R，若，，都有，求证：为奇函数；（2）已知函数，x∈R，若，，都有，求证：为偶函数；（3）设函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）令，则，．令，，则，．又的定义域为R，∴fx（2）令，，得①，令，，得②，由①②得，即f−x又的定义域为R，∴fx（3），，则的定义域也是．设，，则Fx与的定义域都是，关于原点对称，，，为偶函数，为奇函数，即是偶函数，是奇函数.题型7抽象函数的周期性问题函数周期性的常用结论（是不为0的常数）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则（）．1．（24-25高三上·广东广州·月考）已知函数的定义域为R，且，，则（

）A． B．4 C．0 D．【答案】A【解析】函数的定义域为R，且，，则，则于是，因此，即，则，函数是周期为6的周期函数，取，得，即，解得，取，得，即，解得，而，因此，所以.故选：A2．（24-25高三上·福建福州·月考）已知函数满足，，，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由题，，，令，可得，则，即，即，所以，函数是周期为12的周期函数，则.故选：C.3．（24-25高三上·河北承德·期中）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（

）A．0 B．1012 C．2025 D．4048【答案】B【解析】令，则，∴．令，则，又，．令，则，∴函数的图象关于直线对称．令，则，∴∴的图象关于点对称．∴，∴是周期的函数．又，，，，∴当为偶数时，．当为偶数时，也为偶数，此时；当为奇数时，令，，则．．故选：B．4．（23-24高三上·江苏淮安·月考）函数的定义域为，对任意，恒有，若，.【答案】【解析】设，可得，由于，即，若，令，则，所以；令，则，即所以；令，则，即所以；令，则，即所以；令，则，即所以；令，则，即所以；令，则，即所以；令，则，即所以，由此可得的值有周期性，最小正周期为，且，所以.题型8抽象函数的对称性问题1、轴对称：（1）函数关于直线对称（2）函数关于直线对称．2、中心对称：（1）函数关于点对称；（2）函数关于点对称．3、函数的奇偶性和对称性的关系：（1）若为奇函数，则关于对称；（2）若为偶函数，则关于对称；（3）若为奇函数，则关于对称；（4）若为偶函数，则关于对称．1．（24-25高三上·全国·专题练习）已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设，令，则，且，若，则，明显，A排解；若，则，明显，B排解；若，则，明显，C排解；故选：D2．（24-25高三上·山西太原·期中）（多选）已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（

）A． B．的图象关于点1,0对称C．的图象关于直线对称 D．【答案】AC【解析】对于A，令，可得，由，则，解得，令，可得，故A正确；对于B，由题意可知在函数的图象上，而点关于的对称点为，易知不在函数的图象上，故B错误；对于C，设点在函数的图象上，点关于直线x=1的对称点为，当点在函数的图象上时，函数的图象肯定关于直线x=1对称，此时由，可得，令，可得，则，故C正确；对于D，令，可得，则，当时，令，可得，则，所以；当时，令，可得，则，，所以，综上所述，，故D错误.故选：AC.47．（24-25高三上·全国·专题练习）（多选）已知函数的定义域为R，，，则（

）A．B．的图象关于点对称C．的图象关于点12,0D．【答案】ABD【解析】对于A，令，，则，即，解得，故A正确；对于B，令，则，得，由A可知，则，即，故是奇函数，B正确；对于C，对任意的都有，可得，因此的图象关于点对称，故C错误；对于D，由于且是奇函数，得，即，因此，，，…，，故D正确．故选：ABD．4．（24-25高三上·江苏镇江·期中）定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为；若，则数列的通项公式为．【答案】【解析】关于对称，则∴，则关于对称，，∴，则．故答案为：1,2；．题型9抽象函数解不等式问题利用单调性解不等式的相关结论（1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，．（2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，．当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论．抽象函数解不等式的关键是利用奇偶性、对称性、周期性将变量转化到同一单调区间内进行求解．1．（24-25高三上·辽宁抚顺·期末）若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，即y=fx的图象关于点所以，而，即，则，又y=fx在故，即，，因在上单调递增，且，由，可得，即不等式的解集为1,+∞.故选：C.2．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知函数对任意x∈R满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，函数对任意x∈R满足，所以关于直线对称.由于任意，且，都有，所以在上单调递增，则在上单调递减，所以由可得，即，两边平方并化简得，解得，所以不等式的解集.故选：D3．（23-24高三下·陕西西安·模拟猜测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】任取，从而,由于，所以，所以，则在R上单调递增．不等式等价于不等式，即．由于在R上单调递增，所以，解得．故选：A.4．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，得，故，令，得，故，令，得，即，令，则定义域为，且，故为偶函数.，且，则，∵，∴，∵时，，∴，故，∴，即，∴在上为增函数，在上为减函数，由得，，即，∴，解得且，故不等式的解集为.故选：D.题型10抽象函数比较大小问题抽象函数比较大小问题的思路总结：（1）首先考虑函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过这些性质来推断函数值的大小关系．（2）对于含参数的抽象函数，可以通过合理赋值参数，简化问题，从而比较大小．（3）绘制函数图像，通过观看图像的走势、交点等特征，直观地推断函数值的大小关系．（4）构造具体的函数模型，类比抽象函数的性质，通过具体函数的性质来推断抽象函数的大小关系．（5）利用基本不等式或导数争辩函数的极值和最值，从而确定函数值的大小关系．1．（24-25高三上·天津·期中）已知偶函数在上单调递减，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函数是偶函数，所以又由，，所以，又由于在上单调递减，所以在上为增函数，所以故选：D.2．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数．记，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据题意，函数的定义域为，为偶函数，即，又为奇函数，则，即，所以，则，即函数周期为，在区间上是增函数，则在区间上是增函数，又为奇函数，则，所以，而，，，所以.故选：D3．（24-25高三上·云南昆明·月考）函数的定义域为R，且，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，令，得，即，所以，所以，AB选项错误.由于，所以，上述式子相加可得，而，所以，C选项正确.由，令，则，即，所以.令，得，同理C选项的分析可知，所以，D选项错误.故选：C4．（24-25高三上·新疆·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】任取，，且，设，，由，得，即，所以，所以在上为减函数，记，则，记，所以，所以在上单调递增且，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以，所以恒成立，所以，即.故选：.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，要使Fx有意义，则，解得，所以函数Fx的定义域为．故选：D．2．（24-25高三上·全国·专题练习）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函数的值域是，所以，所以，所以，所以，故函数的值域是.故选：C.3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是，由于在上单调递增，所以在上单调递减，由，有，即，解得或，所以不等式的解集为.故选：C.4．（24-25高三上·广西·月考）函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由①可知：为奇函数；由②可知：是上的增函数；且，由于，则，所以.故选：B.5．（24-25高三上·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（

）A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数【答案】C【解析】对A，令，则，得，故A错误；对B，令，得，由整理可得，将变换为，则，故，故，故是奇函数，故B错误；对C，设，则，且，故，则.又，是奇函数，故是增函数，故C正确；对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.故选：C6．（24-25高三上·全国·专题练习）若，且，则（

）A．-2 B．-1 C． D．0【答案】A【解析】令，，得，得，令，，又，故，即，故得到周期，令，，即，故是偶函数，又，，所以得到图象关于对称，所以，，，，所以.故选：A7．（24-25高三上·山东淄博·期中）已知函数满足，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，，令，得，则，所以，，，，上述式子累加可得，，则，所以.故选：B.二、多选题8．（24-25高三上·江苏·月考）欧拉对函数的进展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数争辩了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面推断肯定正确的是（

）A．是的一个周期 B．是奇函数C．是偶函数 D．【答案】ABD【解析】令，得，令，得，故为奇函数，所以选项B正确，选项C错误；令，得令，得所以选项A正确；令，得，所以令，得由于，所以，故选项D正确.故选：ABD9．（23-24高三上·湖南·月考）已知函数的定义域和值域均为，则（

）A．函数的定义域为 B．函数的定义域为C．函数的值域为 D．函数的值域为【答案】ABC【解析】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误．故选：ABC．10．（23-24高三下·河南郑州·月考）已知函数满足，，则（

）A． B．C．的定义域为R D．的周期为4【答案】ABD【解析】令，则，即，A正确，令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；由可知，令，则，即，故f−x=−f，故，即的周期为4，D正确，故选：ABD11．（24-25高三上·湖北·月考）已知函数的定义域为R，，且当时，，则（

）A． B．C． D．没有极值【答案】ABD【解析】对于A，令，得，故A正确；对于B，令，则由选项A得，所以，，据此类推可得，所以，故B正确；对于C，由选项B得，所以