压轴题型07 立体几何解答题罕见压轴难题（学生版）

压轴题型07立体几何解答题罕见压轴难题命题猜测空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．高频考法（1）格外规空间几何体为载体（2）立体几何探究性问题（3）立体几何折叠问题（4）利用传统方法找几何关系建系01格外规空间几何体为载体找清楚几何关系再用空间向量法解决.【典例1-1】（2025·高三·江苏淮安·期中）如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

(1)证明：平面：(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．【典例1-2】（2025·四川泸州·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，且平面平面．，分别是，的中点，经过，，三点的平面与棱交于点，平面平面，直线与直线交于点．

(1)求的值；(2)若，求多面体的体积．【变式1-1】（2025·高三·全国·专题练习）很多次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄重金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星灿烂！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心憧憬之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且(1)写出三条正六棱台的结构特征.(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽视墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）(3)“小模糊”站在“六角楼”下，沉醉在歌声里.“大聪慧”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的观赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多奇特!”“小模糊”：“.....”友爱的同学们，快来帮“小模糊”求一下的最大值吧.02立体几何探究性问题（1）解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行规律推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．（2）在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理，利用向量相等，所求点坐标用表示，再依据条件代入，留意的范围．（3）利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．【典例2-1】（2025·高三·山东·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面．

(1)求证：；(2)当AC与平面所成的角为，在线段上是否存在点E，使平面ABE与平面BCE的夹角为?说明理由．【典例2-2】（2025·高三·北京海淀·阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.【变式2-1】（2025·高三·安徽六安·阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点.(1)求证：；(2)棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，恳求出的值；若不存在，请说明理由.03立体几何折叠问题立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面开放问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.【典例3-1】（2025·山东潍坊·模拟猜测）如图，三棱锥的平面开放图中，，，，，为的中点．(1)在三棱锥中，证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【典例3-2】（2025·高三·上海·阶段练习）如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．【变式3-1】（2025·湖北·模拟猜测）如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上.(1)求二面角的正切值；(2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.04利用传统方法找几何关系建系用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．【典例4-1】（2025·高三·广东·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥.(1)若，求证：平面平面；(2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【典例4-2】（2025·高三·云南大理·期末）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面分别是棱的中点．(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；(2)求平面截四棱锥所得的截面与交于点，求的值．【变式4-1】（2025·高三·上海·期末）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．(1)求证：当为的中点时，平面(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．(3)求三棱锥的体积的最大值．1．如图，四周体中，．

(1)求证：平面平面；(2)若，①若直线与平面所成角为30°，求的值；②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．2．如图，四棱锥中，二面角的大小为，，，是的中点.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值.3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．(1)求证：平面；(2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．4．如图1，已知在正方形中，，，，分别是边，，的中点，现将矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如图2所示．(1)证明：平面平面；(2)设是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值．5．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过作，垂足为.（i）证明:直线过定点；（ii）求的最大值.7．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足.(1)若，求证：直线平面；(2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？假如有恳求出的值，否则请说明理由；(3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值.8．如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.

(1)求四边形的面积；(2)证明：平面；(3)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.9．如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.

(1)证明平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.10．如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置.(1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围；(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四周体的内切球半径为，证明：.11．如图，已知直角的直角边，，点是从左到右的四等分点（非中点）.已知椭圆所在的平面垂直平面，且其左右顶点为，左右焦点为，点在上.

(1)求三棱锥体积的最大值；(2)证明：二面角的大小小于.12．如图所示，已知在四棱柱中，全部的棱长均为2，侧面底面为的中点，为棱上的动点（含端点），过三点的截面记为平面.

(1)是否存在点使得底面？请说明理由；(2)当平面与平面所成二面角的余弦值为时，试求平面截得四棱柱两部分几何体的体积之比（体积小的部分作比值的分子）.13．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.

(1)若，求证：平面；(2)若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.14．如图，四周体中，，，，为的中点．

(1)证明：平面平面；(2)设，，点在上；①点为中点，求与所成角的余弦值；②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．15．如图，在三棱柱中，平面平面，点为的中点，点在线段上，且.(1)求平面与平面的夹角的余弦值；(2)点在上，若直线在平面内，求线段的长.16．如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点．(1)若分别是棱的中点，，求棱和平面所成角的余弦值；(2)求的最小值与最大值．17．如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，．(1)证明：；(2)若且的面积为，求与平面所成角的正弦值．18．在如图所示的几何体中，平面平面，记为中点，平面与平面的交线为．(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系为上一点，求当最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值．19．如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．(1)求证：平面平面；(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．20．如图，在四棱锥中，为的中点，且满足平面，

(1)证明：；(2)若平面，点在四棱锥的底面内，且在以为焦点，并满足的椭圆弧上.若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值.21．如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．(1)求三棱锥的体积的最大值；(2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置．22．如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

(1)当点为线段的中点时，求证：；(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．23．如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，．(1)当时，求平面与平面的夹角大小；(2)若平面，求的最小值．24．如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，．．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)若平面